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Cours : Dénombrements en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Dénombrements en Maths Sup

Plan :

1. Démontrer qu’un ensemble est fini 2. Utiliser des ensembles finis dans des raisonnements 3. Récapitulatif des résultats 4. Quelle méthode utiliser ? Retrouvez nos cours particuliers de maths à Paris en cas de lacune ou de perfectionnement de votre niveau en maths sup.

1. Pour démontrer qu’un ensemble est fini

$\bullet$ Si $E$ est non vide, démontrer qu’il existe un entier $n \in\mathbb{N}^*$ et une bijection de $[\![1,\, n]\!]$ sur $E$ . Alors $n$ est unique et appelé cardinal de $E$ et noté $\# E = \textrm{Card }E = \vert E \vert$ .

$\bullet$

$\# \varnothing = 0$ .

$\bullet$ Démontrer qu’il existe une bijection

$\varphi$ d’un ensemble fini

$F$ sur

$E$ . Alors

$E$ est fini et

$\# E = \# F$ .

$\bullet$ Démontrer que

$E$ est une partie d’un ensemble fini

$F$ . Alors

$\# E \leq \# F$ .

$\bullet$ Démontrer que

$E$ est la réunion de deux ensembles finis

$A$ et

$B$

$\ast$ Si

$A \cap B = \varnothing,$

$\quad \quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B$ .

$\ast$ Si

$A \cap B \neq \varnothing$ ,

$\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$ .

$\bullet$ Démontrer que

$E = A \times B$ avec

$A$ et

$B$ finis :

$\quad \quad \# (A \times B) = \# A \, \times \, \# B$ .

$\bullet$ Plus généralement si

$n \in \mathbb{N}, n\geq 3$ et si

$E = \displaystyle \prod _{i = 1} ^n A_i$ où

$\forall\, i \in [\![1 ,\, n]\!],\, A _ i$ est fini,

$E$ est fini et

$\quad \quad \displaystyle \# \left ( \prod _{i = 1} ^n A_i \right ) = \prod _{i = 1} ^n \left ( \# A_i \right)$ .

Exercice Si $A,\, B,\, C$ sont trois parties de l’ensemble fini $E$ , calculer $\quad \quad \quad \# (A \cup B \cup C)$ .

Démo : On utilise le cardinal d’une réunion de deux ensembles avec $A \cup B$ et $C$ et $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ .

$\# (A \cup B \cup C) = \# ((A \cup B) \cup C)$ $= \# (A \cup B) + \# C - \# ((A \cup B) \cap C)$ $= \# (A \cup B) + \# C - \# ((A \cap C) \cup (B \cap C))$ On réutilise la formule donnant le cardinal de la réunion de deux ensembles et la relation : $\quad \; (A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C$ . $\# (A \cup B \cup C) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$ $\quad +\, \# C - \# (A \cap C) - \# (B \cap C)$ $\quad \quad \quad \quad +\, \# ( A \cap B \cap C)$ et en réordonnant : $\# (A \cup B \cup C)= \#A + \#B + \# C$ $\quad - \, \# (A \cap B) - \# (A \cap C) - \# (B \cap C)$ $\quad \quad \quad \quad + \, \# (A \cap B \cap C)$ .

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2. Utiliser des ensembles finis dans des raisonnements

$\bullet$ Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis de même cardinal et $\varphi$ est une application de $E$ dans $F$ , $\varphi$ est bijective ssi $\varphi$ est injective ssi $\varphi$ est surjective.

$\bullet$ Si

$E$ et

$F$ sont deux ensembles finis, pour démontrer que

$E$ =

$F$ , il suffit de prouver une inclusion et que

$E$ et

$F$ ont même cardinal.

$\bullet$ Si

$A$ est une partie de l’ensemble fini

$E$ , son complémentaire

$\overline{A} = C_E A$ est fini et

$\# \overline{A} = \# E - \# A$ .

3. Récapitulatif des résultats

Dans la suite, $n$ et $p$ sont des entiers non nuls et $E_n$ est un ensemble de cardinal $n$ .

$\bullet$

$n^p$ est le nombre

$\ast$ de choix successifs avec remise de

$p$ éléments de

$E_n$

$\ast$ de listes avec répétition de

$p$ éléments de

$E_n$

$\ast$ d’applications de

$E_p$ dans

$E_n\,$ . ⚠️ l’ordre des éléments a de l’importance !

$\bullet$ Si

$p \leq n$ ,

$\displaystyle A_n^p = \frac {n!} {(n - p)!}$ est le nombre

$\ast$ de choix successifs sans remise de

$p$ éléments de

$E_n$

$\ast$ de listes de

$p$ éléments distincts de

$E_n$

$\ast$ d’applications injectives de

$E_p$ dans

$E_n\,$ . ⚠️ les éléments sont choisis les uns après les autres et les

$p$ éléments choisis sont distincts.

$\bullet$ Si

$p \leq n$ ,

$\displaystyle {\binom {n} {p}} = \displaystyle \frac{n!} {p! \, (n - p)!}$ est le nombre

$\ast$ de choix simultanés sans remise de

$p$ éléments de

$E_n$

$\ast$ de listes strictement croissantes de

$p$ éléments de

$[\![1 , n]\!]$ (h.p. voir dem plus bas )

$\ast$ de parties à

$p$ éléments de

$E_n$ (ou

$p-$ combinaisons). ⚠️ Les éléments sont choisis en même temps. Les

$p$ éléments choisis n’ont pas d’ordre. Exercice Nombre de listes strictement croissantes de

$p$ éléments de

$[\![1 , n]\!]$ .

Correction : On suppose $p \leq n$ et on note $\mathcal{S}_{p,n}$ l’ensemble $\{(i_1\, ,\, \cdots \, , \, i_p) \in\mathbb{N}^{*p}\, / \, i_1 < \, \cdots \, < i_p \leq n \}$ et $\mathcal{P}_p(n)$ l’ensemble des parties de $[[1 , n]]$ à $p$ éléments. L’application $\mathcal{S}_{p,n} \to \mathcal{P}_p(n)$ $\quad \quad (i_1 \, ,\, \cdots \, , \, i_p ) \mapsto \{i_1 ,\, \cdots \, , \, i_p \}$ est une bijection (toute partie finie peut être rangée d’une unique façon sous forme strictement croissante), donc $\quad \quad \# \mathcal{S}_{p,n} = \# \mathcal{P}_p(n) = \displaystyle {\binom {n} {p} }$ .

Résultats à savoir démontrer : si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ , $\# \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i < j \leq n \}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2$ . $\# \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2$ .

Correction :

Soit $\mathcal{P}_2(n)$ l’ensemble des parties de $[[1 , n]]$ à $2$ éléments. $\ast$ $S = \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}$ . L’application $\mathcal{S} \to \mathcal{P}_2(n)$ $\quad \quad \quad \quad \quad (i \, ,\, j ) \mapsto \{i ,\,j\}$ est une bijection (toute partie finie peut être rangée d’une unique façon sous forme strictement croissante), donc $\quad \# \mathcal{S} = \# \mathcal{P}_2(n) = \displaystyle {\binom {n} {2} } = \frac {n(n - 1)}2$ . $\ast$ $C = \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}$ On écrit $C = S \cup E$ avec $\quad \quad \quad E = \{ (i , \, i) \, / \, 1 \leq i \leq n \}$

Comme $S \cap E = \varnothing$ , $\# C = \# S + \# E = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2 + n$ $\# C = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2$

$\bullet$ Si $E$ est un ensemble fini de cardinal $n$ , $\mathcal{P}(E)$ est fini de cardinal $2^n$ .

En connaître 2 démonstrations :

$\bullet$ Première démonstration. Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. On écrit $\mathcal{P}(E) = \displaystyle \bigcup_{k = 0} ^n \mathcal {P} _ k(E)$ en notant $\mathcal {P} _ k(E)$ l’ensemble des parties de $E$ à $k$ éléments. On introduit ainsi une partition de $\mathcal{P}(E)$ donc $\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \# \mathcal{P}_k(E)$ $\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k$ $\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, 1 ^k \, 1^ {n - k} = (1 + 1) ^n$ par le binôme de Newton. $\bullet$ Deuxième démonstration. Si $\# E_n = n$ , on note $p_n = \# \mathcal{P}(E_n)$ . $\ast$ $p_0 = 1$ car $\mathcal{P} (\varnothing) = \{ \varnothing \}$ . $\ast$ Relation entre $p_{n + 1}$ et $p_n\,$ . Soit $a \in E_{n + 1}$ et $E_n = E_{n + 1} \setminus \{a \}$ . On note $\mathcal{P}(E_{n + 1} ) = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ en notant $\mathcal{A} = \{ X \subset E_{n + 1} \, / \, a \in X \}$ et $\mathcal{B} = \{ X \subset E_{n + 1} \, / \, a \notin X \}$ $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont disjoints. $\mathcal{B} = \mathcal{P} (E_n)$ donc $\# \mathcal{B} = \# \mathcal{P}(E_n) = p_n\,$ . $\varphi : \mathcal{P}(E_n) \to \mathcal{A}, X \mapsto X \cup \{a \}$ est une bijection, donc $\# \mathcal{P}(E_n)= \# \mathcal{A}$ alors $\# \mathcal{P}(E_{n + 1} ) = \# \mathcal{A} + \# \mathcal{B}$ donne $p_{n + 1} = 2 \, p_n$ $\ast$ $(p_n)_n$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $p_0 = 1$ alors $p_n = 2 ^n$ . $\bullet$ Et une troisième démonstration. On rappelle que l’on note $\textbf{1}_A$ la fonction indicatrice de l’ensemble $A$ . L’application $\varphi : \mathcal{P} (E) \to \mathcal{F} ( E, \{ 0, 1 \} )$ , $A \mapsto \textbf{1}_A$ est une bijection, donc $\quad \quad \# \mathcal{P} (E) = \# \mathcal{F} ( E, \{ 0, 1 \} ) = 2 ^n$ .

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4. Quelle méthode utiliser ?

4.1. Règle du produit Si l’on doit choisir un premier élément de $n_1$ façons, un deuxième élément de $n_2$ façons , … , et le $p$ – ième élément de $n_p$ façons, le nombre de choix possibles est égal à $n_1\, n_2\, \cdots \,n_p\,$ . c’est en effet le nombre d’éléments de $A_1 \times A_2 \, \cdots \, A_p$ où $A_i$ est l’ensemble dans lequel on choisit le $i$ -ème élément.

4.2. Utilisation d’une réunion Si l’on doit choisir un élément vérifiant une propriété $P_1$ ou un élément vérifiant une propriété $P_2$ : On note $A$ (resp $B$ ) l’ensemble des éléments vérifiant $P_1$ (resp $P_2$ ). $\ast$ Dans le cas où il n’y a aucun élément vérifiant les propriétés $P_1$ et $P_2$ en même temps : $\quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B$ car $A \cap B = \varnothing$ . $\ast$ Dans le cas où il y a des éléments vérifiant les propriétés $P_1$ et $P_2$ en même temps : $\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$ .

4.3. Utilisation d’une partition Pour justifier

$\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,$ , commencer par prouver que la famille

$(A_k)_{0\leq k\leq n }$ est une partition de

$A$ (parties non vides, deux à deux disjointes, de réunion égale à

$A$ ). Puis

$\displaystyle \# \bigcup _{k = 0} ^n A_k = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,$ . 4.4. « avoir au moins un élément vérifiant une propriété

$\mathcal{P}$ «

$\ast$ Pour dénombrer un problème contenant un « au moins », en général il est plus simple de dénombrer le complémentaire (c’est le cas lorsque le complémentaire se traduit par « sans »).

$\ast$ Lorsque le nombre maximum

$M$ d’éléments vérifiant la propriété est faible, on peut envisager de noter

$B _ k$ « avoir

$k$ éléments vérifiant

$\mathcal{P}$ » et écrire

$A = \displaystyle \bigcup_{k = 1} ^{M} B_k$ , les ensembles étant deux à deux disjoints,

$\#A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^M \# B_k \,$ 4.5. Calculer

$\# A \cap B$ où $A$ et $B$ sont deux parties de

$E$ et

$B$ définie par « avoir au moins un élément vérifiant

$\mathcal{P}$ » Utiliser

$A = A \cap E = A \cap (B \cup \overline {B})$

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline {B})$ . Les deux ensembles étant disjoints :

$\quad \# A = \# (A \cap B) + \#(A \cap \overline {B})$ et utiliser

$\quad \# (A \cap B) = \# A - \#(A \cap \overline {B})$ pour répondre à la question.

Les cours en ligne de Maths Sup sont parfaits pour prendre de l’avance en mathématiques en MPSI, PCSI et PTSI. Ainsi, vous pouvez accéder dès maintenant aux chapitres suivants :

Cours : Dénombrements en Maths Sup

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1. Pour démontrer qu’un ensemble est fini

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