Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours : Nombres complexes en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

Ce cours en ligne sur les nombres complexes en prépa scientifique vous accompagnera tout au long de votre parcours en CPGE. Il est primordial de bien assimiler ce chapitre et de le comprendre de manière approfondie. N’hésitez pas demander de l’aide en cours de soutien de maths si vous trouvez des points bloquants.

Résumé de cours et méthodes – racines n-ième de 1, forme exponentielle

1. Pour traduire

$\bullet$ M1. Pour traduire que $Z$ est un réel, on écrit : $Z$ est réel ssi $Z = \overline{Z}$ .
M1B. Pour traduire que $Z$ est un réel non nul, on peut aussi écrire :
$Z$ est un réel non nul ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\textrm{Arg }Z = k \, \pi$ .

$\bullet$ M2. Pour traduire que $Z$ est un imaginaire pur, on écrit :
$Z$ est imaginaire pur ssi $Z +\overline{Z} = 0$ .
M2B. Pour traduire que $Z$ est un imaginaire pur non nul, on peut aussi écrire :
$Z$ est un imaginaire pur non nul ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\textrm{Arg }Z = \displaystyle \frac {\pi}2 + k \, \pi$

👍 Dans les deux cas, il est préférable pour ne pas alourdir les calculs de remplacer les complexes par leur forme cartésienne le plus tard possible (et même d’éviter si c’est possible d’introduire cette forme cartésienne).

$\bullet$ M3. Pour traduire que $Z$ est un complexe de module 1, le plus simple en général est d’écrire qu’il existe un réel $t$ tel que $Z = \textrm{e} ^{\textrm{i } t }$ .
Mais il peut être utile d’utiliser : si $Z$ est un complexe de module 1 , $\displaystyle \frac 1 Z = \overline{Z}$ .

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2. Utiliser les modules

$\bullet$ M1. Les complexes $z$ , $- z$ et $\overline{\,z\,}$ ont même module.
$\bullet$ M2. Le module d’un produit de complexes est égal au produit des modules, le module d’un quotient de complexes est égal au quotient des modules.
$\bullet$ M3. Un complexe $z$ est de module 1 si, et seulement si, $\displaystyle \frac 1 z = \overline{\,z\,}$ .
$\bullet$ M4. Si $z$ est un complexe, $\quad \vert \mathcal{R}\textrm {e}(z)\vert \leq \vert z \vert$ et $\vert \mathcal{I}\textrm {m}(z)\vert \leq \vert z \vert$ .
$\bullet$ M5. Inégalité triangulaire :
si $(z , \, z') \in \mathbb{C}^2, \, \vert z + z' \vert \leq \vert z \vert + \vert z' \vert$ .
Il y a égalité ssi $z = 0$ ou il existe $\lambda \in \mathbb{R}^+ ,\, z' = \lambda \, z$ .
$\bullet$ M6. Conséquence de l’inégalité triangulaire :
si $(z , \, z') \in \mathbb{C}^2, \, \vert \, \vert z \vert - \vert z' \vert \, \vert \leq \vert z - z' \vert$ .
$\bullet$ M7. Pour tout complexe $z$ de module 1, il existe un réel $t$ (unique modulo $2 \, \pi$ ) tel que $z = \cos t + \, \textrm{i} \, \sin t$ .
$\bullet$ M8. L’ensemble $U$ des nombres complexes de module $1$ vérifie :
$\quad \ast$ $1 \in U$ ,
$\quad \ast$ si $(z , \, z') \in U^2, z \, z' \in U$
$\quad \ast$ si $z \in U, z^{-1}\in U$ .
On dit que $(U , \ast)$ est un groupe.

3. Pour calculer la forme trigonométrique d’un complexe

$\bullet$ M1. Lorsque l’on a obtenu $Z = r \, \textrm{e} ^{\textrm{i } t }$ , ⚠️ ne pas conclure hâtivement :
$\ast$ si $r$ = 0, $Z$ = 0, $Z$ a un module nul, n’a pas d’argument,
$\ast$ si $r > 0$ , $\vert Z \vert = r$ et $\quad \textrm{Arg }Z \equiv t \; [2 \pi]$ .
$\ast$ si $r < 0$ , $\vert Z \vert = - r$ et $\quad \textrm{Arg }Z \equiv \pi + t \; [2 \pi]$ .

$\bullet$ M2. On peut faire le calcul de $\vert Z \vert = \sqrt{Z \, \overline{Z} }$ , puis écrire $Z = \vert Z \vert (u + \textrm{i}\, v)$ , alors il reste à trouver un réel $t$ tel que $u + \textrm{i}\, v = \textrm{e} ^{\textrm{i } t }$ , c’est-à-dire à trouver un réel $t$ tel que $\cos t = u$ et $\sin t = v$ .

$\bullet$ M3. Si $Z = x + \textrm{i}\, y$ n’est pas réel, on peut faire le calcul de $\vert Z \vert = \sqrt{Z \, \overline{Z} }$ et dire qu’un argument de $Z$ est $t$ où
$\quad \ast$ $t = \textrm{Arctan} \left ( \displaystyle \frac y x \right )$ si $x > 0$
$\quad \ast$ $t = \pi + \textrm{Arctan} \left ( \displaystyle \frac y x \right )$ si $x < 0$

$\bullet$ M4. Lorsque $Z$ est un produit ou un quotient de deux complexes, il est souvent plus simple de calculer module et argument des deux facteurs du produit ou du quotient et d’appliquer les règles sur les modules et arguments des produits ou des quotients.

$\bullet$ M5. Lorsque $Z = \textrm{e} ^{\textrm{i } t } \pm \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }$ , appliquer la transformation indiquée en M1 du §4 et la méthode décrite en M1 de ce paragraphe.

4. Pour simplifier

$\bullet$ M1. Pour simplifier lorsque $t$ et $t'$ sont réels, $\textrm{e} ^{\textrm{i } t } + \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }$ ou $\textrm{e} ^{\textrm{i } t } - \textrm{e} ^{\textrm{i } t' }$ ,
$\ast$ 👍 on met en facteur » e puissance la demi- somme des exposants « ,
ce qui donne :
$\textrm{e} ^{\textrm{i } t } \pm \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } =$ $\quad \quad \quad \quad \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2} \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t - t')/2} \pm \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, (t - t')/2} \right )$
$\ast$ ou l’on connaît par coeur les résultats : $\textrm{e} ^{\textrm{i } t } + \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac {t - t'} 2 \right ) \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2}$
$\textrm{e} ^{\textrm{i } t } - \textrm{e} ^{\textrm{i } t' } = \displaystyle 2\, \textrm{i}\, \sin \left ( \frac {t - t'} 2 \right ) \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (t + t')/2}$
$\ast$ En particulier, il est conseillé de retenir les formule très utilisées :
$\quad 1 + \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t /2}$
$\quad 1 - \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \displaystyle - 2 \, \textrm{i} \sin \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t /2}$ .

$\bullet$ M2. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $y$ ne soit pas un multiple de $2 \, \pi$ .
Pour simplifier $C = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \cos(x + k \, y)$ ou $S = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \sin(x + k \, y)$ , on introduit $T = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \textrm{e} ^{\textrm{i}\, (x + k \, y)}$ , on écrit que
$\quad \quad C = \mathcal{R}\textrm {e}(T)$ et $S = \mathcal{I}\textrm {m}(T)$ .
On calcule $T$ en écrivant
$\quad \quad \quad T =\textrm{e} ^{\textrm{i}\, x} \displaystyle \sum_{k = 0 }^n \left (\textrm{e} ^{\textrm{i}\, y} \right ) ^k$ .
En notant $q = \textrm{e} ^{\textrm{i}\, y}\neq 1$ , on utilise $\quad \quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n q^k = \frac {1 - q^{n + 1}} {1 - q}$ .On simplifie cette somme en utilisant la transformation décrite en M1.

5. Pour calculer les racines carrées d’un complexe $Z$ non nul

$\bullet$ M1. Si l’on sait calculer la forme trigonométrique du complexe $Z$ , $Z = r \; \textrm{e} ^{\textrm {i} \, t}$ où $r > 0$ , les racines carrées de $Z$ sont les deux complexes : $\quad \quad u = \sqrt{r} \; \textrm{e} ^{\textrm {i} \, t/ 2}$ et $v = - u$ .

$\bullet$ M2. Si l’on ne sait pas calculer la valeur d’un argument de $Z$ , on calcule les racines carrées sous forme cartésienne, en cherchant $u$ racine carrée de $Z = a + \textrm{i} \, b$ sous la forme $u = x + \textrm {i} \, y$ avec $(x , \,y) \in \mathbb{R }^2$ solution du système :
$\quad \quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&a \\ 2 \, x \, y &=&b\\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{a^2 + b ^2} \end{matrix} \right.$
👍 la dernière équation étant obtenue en écrivant que $\vert u ^2 \vert = \vert u \vert ^2 = \vert Z \vert$ .

Un cas simple : les racines carrées de $a$ où $a < 0$ sont $\textrm{i } \sqrt{ - a}$ et $- \textrm{i } \sqrt{ - a}$ .

⚠️ Important : la notation $\sqrt{x}$ est réservée aux $x$ éléments de $\mathbb{R} ^+$ , il n’y a pas de notation pour les racines carrées du complexe $Z$ non nul. Mais on peut dire que l’on note $u \in \mathbb{C}$ tel que $Z = u^2$ pour signifier que $u$ est une racine carrée de $Z$ .

👍 Les racines carrées de $a + \textrm {i} \, b$ sont $u_1 = \displaystyle \sqrt { \frac {a }2 + \frac 1 2 \, \sqrt{a^2 + b^2}}$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \varepsilon \, \textrm{i}\, \sqrt { - \frac {a }2 + \frac 1 2 \, \sqrt{a^2 + b^2} }$
et $-u_1$
avec $\varepsilon = 1$ si $b \geq 0$ et $\varepsilon = - 1$ si $b < 0$ .

6. Pour calculer les racines $n$ -ièmes d’un complexe non nul

Dans ce paragraphe, on suppose que $n \geq 2$ .
⚠️ Important : un complexe non nul a toujours $n$ racines $n$ -ièmes distinctes.
Il n’y a pas de notation pour les racines $n$ -ièmes d’un complexe.
Lorsque $n$ est pair, la notation $\sqrt[n \,]x$ est réservée aux réels $x$ positifs ou nuls et lorsque $n$ est impair, la notation $\sqrt[n \,]x$ est réservée aux réels $x$ .

$\bullet$ M1. On introduit la forme trigonométrique du complexe $Z$ : $Z = r \, \textrm{e} ^{\textrm{i}\, t }$ et on applique le résultat du cours :
$Z$ admet $n$ racines $n$ -ièmes distinctes données par $z_k =\sqrt[n \,]r \; \textrm{e} ^{\textrm{i}\, (t / n + 2 \, k \, \pi/n ) }$ pour $k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]$ ( mais on peut aussi prendre $n$ valeurs consécutives entières de $k$ comme $k \in [\! [1 , \, n]\!]$ ).

$\bullet$ M1.B. Dans le cas des racines $n$ -ièmes de 1, il faut savoir que $z_k = \omega^k$ avec $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n }$ où $k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]$ .
L’ensemble des racines $n$ -ièmes de $1$ est noté $\mathbb{U}_n\,$ .

$\bullet$ M2. On connaît une racine $n$ -ième du complexe $Z$ soit par exemple $u$ tel que $u^n = Z$ , alors les racines $n$ -ièmes de $Z$ sont obtenues en multipliant $u$ par les racines $n$ -ièmes de $1$ soit $z_k = u \, \omega ^k$ avec $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n }$ et $k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]$ .
exemples d’application
M2.1. Si $n$ est impair, une racine $n$ -ième de $-1$ est $-1$ , donc les racines $n$ -ièmes de $-1$ sont
$\quad \quad z_k = -\, \omega ^k$ avec $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n }$
$\quad \quad$ et $k \in [\! [0 , \, n - 1]\!]$ .
M2.2. Si $Z \in \mathbb{R}^*$ , les trois racines cubiques de $Z$ dans $\mathbb {C}$ sont $\quad \sqrt[3\, ]{Z},\, \sqrt[3\, ]{Z}\, \textrm{j},\,\sqrt[3\, ]{Z}\, \textrm{j}^2$ avec $\textrm{j} = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/3 }$ .

$\bullet$ M3. L’ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$ -ièmes de $1$ vérifie :
$\quad \ast$ $1 \in \mathbb{U}_n\,$
$\quad \ast$ si $(z , \, z') \in U_n^2, z \, z' \in \mathbb{U}_n$
$\quad \ast$ si $z \in \mathbb{U}_n , z^{-1}\in \mathbb{U}_n\,$ .
On dit que $(\mathbb{U}_n\, , \, \ast)$ est un groupe.

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7. Utilisation des racines $n$ -ièmes de 1

$\bullet$ M1. Cas des racines cubiques de 1 :
$\quad 1$ , $\textrm{j} = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/3 }$ , $\textrm{j} ^2 = \textrm{e} ^{4 \, \textrm{i} \, \pi/3 } = \overline {\, \textrm{j}\, }\,$ .
Et bien sûr $\textrm{j}^3 = 1$ .
$1 + \textrm{j} + \textrm{j}^2 = 0$ , donc $\textrm{j}$ et $\textrm{j}^2$ sont les racines de l’équation $x^2 + x + 1 = 0$ .

$\bullet$ M2. Si $z_0\, ,\, z_1\, , \, \cdots\, , \, z_{n - 1}$ sont les racines $n$ -ièmes de $1$ , il faut savoir et savoir redémontrer que :
Si $p \in \mathbb{Z}, \, S_p = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} z_k ^p\;$ ,
$\ast$ $S_p = n$ si $p$ est un multiple de $n$
$\ast$ $S_p = 0$ si $p$ n’est pas un multiple de $n$

$\bullet$ M3. Pour résoudre une équation du type $A^n = \alpha \, B^n$ où $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ :
$\ast$ a) on examine le cas où $B$ s’annule, $A$ s’annule-t-il en même temps?
$\ast$ b) puis on se place dans le cas où $B$ ne s’annule pas, l’équation est alors équivalente à $\displaystyle \frac {A ^n} {B ^n} = \alpha$ , soit à $\displaystyle \frac A B$ est une racine $n$ -ième de $\alpha$ .
On résout donc les $n$ équations obtenues $A = z_k \, B$ où $z_k$ est une racine $n$ – ième de $\alpha$ .

8. équation du second degré à coefficients dans $\mathbb{C}$

$\bullet$ M1. Résolution de $a\, z^2 + b\, z + c = 0$ dans $\mathbb{C}$ , les coefficients $a , \, b$ et $c$ étant complexes et $a \neq 0$ .
$\ast$ On calcule $\Delta = b ^2 - 4 \, a \, c$ .
Mais il est alors hors de question(sauf si $\Delta \in \mathbb{R}^+$ ) d’introduire la notation $\sqrt{\Delta}$
On note $\delta$ une des racines carrées de $\Delta$ , soit $\delta ^2 = \Delta$ , $\delta$ se calcule en utilisant les méthodes indiquées en §4.

$\ast$ Les racines de l’équation sont alors $\quad z_1 = \displaystyle \frac {- b + \delta} {2 \, a}$ et $z_2 = \displaystyle \frac {- b - \delta} {2 \, a}$ .
Elles sont distinctes ssi $\Delta \neq 0$ .

$\ast$ On a $z_1 + z_2 = \displaystyle \frac {- b} a$ et $z_1 \, z_2 = \displaystyle \frac {c} a$ .

👍 formules réduites :
Dans le cas où $b = 2\, b'$ , on peut utiliser les formules du $\Delta$ réduit :
On calcule $\Delta ' = b'^2 - a \, c$ , puis $\delta'$ tel que $\delta'^ 2 =\Delta '$ , et les racines s’obtiennent par les formules :
$\quad z_1 = \displaystyle \frac {- b' + \delta'} { a}$ et $z_2 = \displaystyle \frac {- b' - \delta'} { a}$ .

$\bullet$ M2. $z^2 - 2\, \cos t \, z + 1 = 0$ est une équation qu’il vaut mieux savoir résoudre très vite : elle admet pour racines $\textrm{e}^{ \textrm{i}\, t}$ et $\textrm{e}^{ - \textrm{i}\, t}$ .
Les racines sont confondues ssi il existe $k \in \mathbb {Z}$ tel que $t = k \, \pi$ . Dans ce cas, elles sont réelles.
Sinon, les racines sont complexes conjuguées.

9. Utilisation de la fonction exponentielle complexe

$\bullet$ La définition :
si $z = x + \textrm{i} \, y$ où $(x , y) \in \mathbb{R}^2$
$\textrm{e} ^z = \textrm{e} ^x \left ( \cos(y) + \textrm{i} \, \sin(y) \right ) = \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y}$
$\textrm{e} ^z$ est un complexe non nul, de module $\textrm{e } ^x$ et d’argument $y$ (modulo $2 \, \pi$ ).

$\bullet$ $\textrm{e} ^z = \textrm{e} ^{z'}$ ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z}, z - z' = 2 \, \textrm{i} \, k \pi$

$\bullet$ Si $(z , \, z') \in \mathbb{C} ^2$ ,
$\quad \ast$ $\textrm{e} ^z \, \textrm{e} ^{z'} = \textrm{e} ^{z + z'}$
$\quad \ast$ $\displaystyle \frac 1 {\textrm{e} ^z } = \textrm{e} ^{- z}$
$\quad \ast$ $\displaystyle \frac {\textrm{e} ^z} {\textrm{e} ^{z'} } = \textrm{e} ^{z - z'}$
$\quad \ast$ si $n \in \mathbb{Z}$ , $\left ( \textrm{e} ^z \right )^n = \textrm{e} ^{n \, z}$ .

Formules de Moivre : Si $t \in \mathbb{R}$ ,
$\quad \quad \cos(t) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} + \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )$
$\quad \quad \sin(t) = \displaystyle \frac 1 {2 \, \textrm{i}} \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} - \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )$

$\bullet$
Si $a \in \mathbb{C}^*$ , l’ensemble des solutions de $\textrm{e} ^{z} = a$ est l’ensemble des complexes
$\quad\quad \quad \ln(\vert a \vert) + \textrm{i} \, (t + 2 k \, \pi)$
où $k \in \mathbb{Z}$ et $t$ est un argument de $a$ .
(ce résultat peut être retrouvé sans difficulté) .

10. Plan complexe et géométrie

10.1. Plan complexe
On appelle plan complexe $\mathcal{P}$ un plan muni d’un repère orthonormal direct $\mathcal{R}(O , \vec{i} \, , \vec{j} )$ .

$\bullet$ À tout complexe $z = x + \textrm{i}\, y$ , on associe le point $M$ de $\mathcal{P}$ tel que $\overrightarrow{OM} = x \, \vec{i} + y \,\vec {j}$ . On dit que $M$ est l’image du complexe $z = x + \textrm{i}\, y$ et $z$ est l’affixe du point $M$ .
À tout complexe $z = x + \textrm{i}\, y$ , on peut associer le vecteur $\overrightarrow{u} = x \, \vec{i} + y \,\vec {j}$ .
On dit que $z$ est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$ .

$\bullet$ Si $A$ est l’image de $z$ et $B$ est l’image de $z'$ ,
$\ast$ l’image $C$ de $z + z'$ vérifie $\quad \quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
( $(O, A , C , B)$ est un parallélogramme)
$\ast$ l’image $D$ de $z - z'$ vérifie $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB}$

$\bullet$ Si $z$ est l’affixe de $M$ , $\vert z\vert = OM$ et si $a$ est l’affixe de $A$ , $\vert z - a\vert = AM$ .

$\bullet$ Si $a \in \mathbb{C}$ et $r > 0$ , l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\vert z - a\vert = r$ est le cercle de centre $A$ d’affixe $a$ et de rayon $r$ .

$\bullet$ Si $z$ est un complexe non nul écrit sous la forme $z = \vert z \vert (\cos \theta + \textrm{i} \, \sin \theta)$ , $\theta$ est une mesure modulo $2 \, \pi$ de l’angle orienté de vecteurs $(\overrightarrow{i} , \, \overrightarrow{OM})$ .

10.2. Alignement et orthogonalité
$\bullet$ M1. Si $A$ a pour affixe $a$ , $B$ a pour affixe $b$ et $M$ a pour affixe $z$ ,
si $Z = \displaystyle \frac {z - a} {z - b}$ , $\vert Z \vert = \displaystyle \frac {A M} {B M}$
$\textrm{Arg} (Z) \equiv \textrm{mes} (\overrightarrow{BM}\, , \, \overrightarrow{A M} ) \quad [2 \, \pi]$ .

$\bullet$ M2. Soient $A, B$ et $C$ trois points 2 à 2 distincts et $a, b, c$ leurs affixes respectives,
$\ast$ M2.1. $A, B$ et $C$ sont alignés
ssi $\textrm{mes} (\overrightarrow{BC}\, , \, \overrightarrow{A C} ) \equiv 0\quad [\pi]$
ssi $\displaystyle \frac {c - a} {c - b} \in \mathbb{R}^*$ .

$\ast$ M2.2. $(A C) \perp (B C)$
ssi $\textrm{mes} (\overrightarrow{BC}\, , \, \overrightarrow{A C} ) \equiv \displaystyle \frac {\pi} 2 \quad [ \pi]$
ssi $\displaystyle \frac {c - a} {c - b}$ est un imaginaire pur (non nul).

10.3. Transformations usuelles
$\bullet$ M1. Soit $b \in \mathbb{C}$ , l’application $t$ , de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ , qui au point $m$ d’affixe $z$ associe le point $M$ d’affixe $z + b$ , est la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe $b$ soit $\overrightarrow{m M } = \overrightarrow{u}$ .

$\bullet$ M2. L‘application $s$ , de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ , qui au point $m$ d’affixe $z$ associe le point $M$ d’affixe $\overline {\, z \, }$ , est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe $Ox$
Les points $m$ est $M$ sont symétriques par rapport à $Ox$ .

$\bullet$ M3. Si $a \in \mathbb{C} \setminus \{0 , 1 \}$ et $b \in \mathbb{C}$ ,
$\ast$ l’équation $z = a\, z + b$ admet une unique solution $\omega$ .
$\ast$ L’application $s$ , de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ , qui au point $m$ d’affixe $z$ associe le point $M$ d’affixe $Z = a z + b$ est une similitude directe de centre $\Omega(\omega)$ , de rapport $k = \vert a \vert$ et d’angle de mesure $t \equiv \textrm{Arg} (a) \quad [2 \, \pi]$ ,
c’est à dire
$\ast$ $s(\omega) = \omega$
$\ast$ si $m \neq \omega$ , $M = s(m)$ est défini par :
$\quad \quad \Omega \, m = k \, \Omega \, M$
$\quad$ et $\textrm{mes}(\overrightarrow{\Omega \,m }, \, \overrightarrow{\Omega \, M}) \equiv t \quad [2 \, \pi]$ .

Cas particuliers :
1. $a$ est un réel non nul et différent de $1$ $s$ est une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$ soit $\overrightarrow{\Omega M } = a \, \overrightarrow{\Omega m }$ .
2. Si $a = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, t}$ , $s$ est une rotation de centre $\Omega$ et d’angle $t$ .