Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Les Matrices, cours de Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

Découvrez avec ce cours en ligne en Maths Sup, un cours complet sur le chapitre des matrices. Un chapitre important dans le programme de maths en Maths Sup, mais un chapitre également très important pour obtenir de bons résultats aux concours post-prépa pour intégrer les écoles d’ingénieurs les plus réputées de France. Beaucoup d’étudiants en maths sup recherchent un prof de maths à domicile pour maîtriser les matrices et bien plus.

A. Matrices de type $(n,\, p)$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

On suppose que $n$ et $p$ sont deux éléments de $\mathbb{N}^*$ .

1. Définitions des matrices en Maths Sup

Soient $A\in\mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})$ ,

avec $A=\left(a_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant p}$

et $B=\left(b_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant p}\,$ .

$\bullet$ $A + B\in\mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})$ est définie par

$A + B = \left(c_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n,\, 1\leqslant j\leqslant p}$

où si $i \in [\![1 , \, n]\!]$ et $j \in [\![1,\, p]\! ]$ , $\quad \quad \quad \quad c_{i,\, j}= a_{i,\, j}+ b_{i,\, j}\,$ .

$\bullet$ Si $\lambda \in \mathbb{K}$ , $\lambda \,A\in\mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})$ est définie par $\lambda\, A = \left(d_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n, \, 1\leqslant j\leqslant p}$

où si $i \in [\![1 , \, n]\!]$ et $j \in [\![1,\, p]\! ]$ ,

$\quad \quad \quad \quad\quad d_{i,\, j}= \lambda \, a_{i,\, j}\,$ .

Lorsque $n = p$ , l’ensemble $\mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})$ est noté $\mathcal{M}_{n }(\mathbb{K})$ .

2. Propriétés de matrices en Maths Sup

P1 : $\mathcal{M}_{n ,\, p}(\mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$ –espace vectoriel.

P2 : Si $(r,\,s)\in [\![1 , n]\!] \times [\! [1 , p]\!]$ ,

on définit $E_{r,\, s} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$

par $\quad \quad E_{r,\, s}=\left(\delta_{i,\, r}\, .\, \delta_{j,\, s}\right)_{1\leqslant i \leqslant n,\, 1 \leqslant j\leqslant p}$

i.e. tous les éléments de $E_{r,\, s}$ sont nuls sauf celui situé en ligne $r$ et colonne $s$ qui est égal à 1.

On note $\mathcal {B} = ( E_{r,\, s})_{1\leqslant r \leqslant n ,\, 1 \leqslant s \leqslant p}\;$ .

La famille $\mathcal {B}$ est une base de $\mathcal{M}_{n, \, p}(\mathbb{K})$ , appelée base canonique de $\mathcal{M}_{n, \, p}(\mathbb{K})$ .

$\textrm {dim} \, \mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})= n\, p$ .

P3 : Décomposition de $A\in \mathcal{M}_{n , \, p} {(\mathbb{K})}$ :

$A=\left(a_{i,\,,j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n ,\, 1 \leqslant j\leqslant p}$

$A =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p} a_{i,\, j}\,E_{i,\, j}\,$ .

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B. Produit matriciel en Maths Sup

1. Définition du produit matriciel en Maths Sup

Si $A\in\mathcal{M}_{n ,\ p}(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_{p , \, q}(\mathbb{K})$ ,

où $A=\left(a_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n, \, 1\leqslant j\leqslant p}$

et $B=\left(b_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant p, \, 1\leqslant j\leqslant q}\;$ ,

on définit $A\, B \in \mathcal{M}_{n , q}(\mathbb{K})$

par $A \, B = \left(c_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n, \, 1\leqslant j\leqslant q}$

où si $i \in [\![1 ,\, n]\!]$ et $j\in [\![1 ,\, q]\!]$ ,

$\quad \quad \quad c_{i,\, j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}a_{i,\, k}\,b_{k,\, j}\,$ .

2. Produit d’une matrice de type $(n ,\, p)$ par une matrice colonne

$A\in\mathcal{M}_{n , \, p}(\mathds{K})$ , $A=\left(a_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i\leqslant n, \, 1\leqslant j\leqslant p}$

$X\in\mathcal{M}_{p ,\, 1}(\mathds{K})$ , $X=\left(x_{i} \right)_{1\leqslant i\leqslant p}$

alors $A\, X\in\mathcal{M}_{n , \, 1}(\mathds{K})$ , $A\, X=\left(y_{i} \right)_{1\leqslant i\leqslant n}\;$

si $i \in [\![1 , \, n]\!]$ , $\, y_i=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}a_{i,\, k}\, x_k\;$ .

3. Propriétés d’un prpduit matriciel

Si les produits et sommes sont définis, et si $\lambda \in \mathbb{K}$ ,

$A\, (B \, C) = (A \, B) \, C$
$A(B + C) = A \,B + A \, C$
$(B + C) \, A = B \, C + C \, A$
$A(\lambda \, B) = (\lambda \, A) \, B = \lambda (A \, B)$ .

C. Cas des matrices carrées d’ordre $n$ en Maths Sup

1. Définitions des matrices carrées d’ordre $n$

Si $A = (a_{i,\, j}) _{1 \leqslant i,\, j\leqslant n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ ,

a) les éléments $a_{1,\, 1} \, , \, a_{2 , \, 2} \, , \, \cdots \, , \, a_{n , \, n}$ forment la diagonale de $A$ . On dit que ce sont les éléments diagonaux de $A$ .

b) $A$ est dite diagonale lorsque
$\quad \quad \quad i \neq j \Rightarrow \, a_{i,\, j} = 0$ .

c) $A$ est dite triangulaire supérieure lorsque $\forall \, (i ,\, j) \in \mathbb{N}^2$ tels que $1 \leqslant j < i \leqslant n, \, a_{i,\, j} = 0$ .

d) $A$ est dite triangulaire inférieure lorsque $\forall \, (i , \, j) \in \mathbb{N}^2$ tels que $1 \leqslant i < j \leqslant n, \, a_{i,\, j} = 0$ .

e) $A$ est dite triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou inférieure.

2. Propriétés du produit matriciel en Maths Sup

Le produit matriciel dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ s’écrit :

si $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ,

$A\, B$ est défini et $A\, B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Si $A=\left(a_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i,\, j\leqslant n}\;$ et $B=\left(b_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i,\, j\leqslant n}\,$ ,

$\quad \quad \quad A\,B=\left(c_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i,\, j\leqslant n}\;$

où $\forall\, (i,\, j) \in [\![1 , \, n]\!]^2$ ,

$\quad \quad \quad c_{i,\, j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{i,\, k}\,b_{k,\, j}\;$ .

D : On définit la matrice unité d’ordre $n$ $\textrm{I}_n \in \mathcal{M}_{n }(\mathbb{K})$ par $\textrm{I}_n = (\delta _{i , \, j} ) _{1 \leq i,\, j\leq n}\,$ .

Rappel : $\delta _{i , \, j} = \displaystyle \left \{ \begin{matrix} 1 &\textrm{si}& i = j \\ 0 &\textrm{si}& i \neq j \end{matrix} \right.$

P1 : $(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), \,+ , \, \times)$ est un anneau.

Si $(A,\, B , \, C)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^3$ ,

associativité de la multiplication
$\quad A \, (B \, C) = (A \, B) \, C$
distributivité de la multiplication
$\quad A \, (B + C) = A \, B + A \, C$
$\quad (B + C) \, A = B \, A + C \, A$
la matrice $\textrm{I}_{n}$ est élément neutre pour la multiplication : $A \, \textrm{I}_{n} = \textrm{I}_{n } \, A = A$
$0_n \, A = A \, 0_n = 0_n\,$ .

P2 : Si $A\in\mathcal{M}_{n , p}(\mathbb{K})$ , $\textrm{I}_n \, A = A$ .
Si $B\in\mathcal{M}_{p , n}(\mathbb{K})$ , $B \, \textrm{I}_n= B$ .

3. Puissance $p$ -ième d’une matrice carrée

D : Si $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , on définit par récurrence :

$A ^0 = I_n$ et si $p \in \mathbb{N}, \, A ^{p + 1} = A ^p \, A$ .
(si $p \in \mathbb{N}^*$ , on démontre que $A$ est le produit de $p$ matrices $A$ .)

Formule du binôme de Newton.
Si $(A ,\, B) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^2$ vérifie $A \, B = B \, A$ , pour tout $p \in \mathbb{N }$ ,

$\quad (A + B)^p = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \, A ^ k \, B ^{p - k}$ .

4. Base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

D : Si $(p,\,q)\in [\![1 , n]\!]^2$ , on définit

$E_{p,\, q} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ par $\quad \quad E_{p,\, q}=\left(\delta_{i,\, p}\, .\, \delta_{j,\, q}\right)_{1\leqslant i,\, j\leqslant n}$

i.e. tous les éléments de $E_{p,\, q}$ sont nuls sauf celui situé en ligne $p$ et colonne $q$ qui est égal à 1.

P1 : On note $\mathcal {B} = ( E_{p,\, q})_{1 \leq p ,\, q \leq n}\;$ .

La famille $\mathcal {B}$ est une base, dite base canonique, de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

$\textrm{dim} \, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) = n ^2$ .

P2 : Décomposition de $A\in \mathcal{M}_n{(\mathbb{K})}$ :

$A=\left(a_{i,\, j} \right)_{1\leqslant i,\, j\leqslant n} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i,\, j}\,E_{i,\, j}\,$ .

P3 : Produit de deux éléments de la base canonique.

Si $(p,\,q,\,r,\,s)\in [\![1 , \, n]\!]^4$ ,

$\quad \quad \quad E_{p,\,q}\,.\,E_{r,\, s}= \mathrm{\delta}_{q,\,r} \,E_{p,\, s}$ .

5. Sous-espaces vectoriels particuliers en Maths Sup

P1 : L’ensemble $\mathcal{D}_n (\mathbb{K})$ des matrices carrées d’ordre $n$ diagonales à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un s.e.v de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ de dimension $n$ . Il est stable par produit.

P2 : L’ensemble $\mathcal{T}_{n, s} (\mathbb{K})$ des matrices carrées d’ordre $n$ triangulaires supérieures à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un s.e.v de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ de dimension $\displaystyle \frac {n(n + 1)} 2$ . Il est stable par produit.

P3 : Il en est de même de l’ensemble $\mathcal{T}_{n, i} (\mathbb{K})$ des matrices carrées d’ordre $n$ triangulaires inférieures à coefficients dans $\mathbb {K}$ .

6. Matrices inversibles en Maths Sup

P : On note $\textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ inversibles.

$(\textrm{GL}_n(\mathbb{K}), \times)$ est un groupe appelé groupe linéaire d’ordre $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

$\textrm{I}_n \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et son inverse est $\textrm{I}_n \,$ .
Si $(A , \, B) \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})^2$ , $A \, B \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $(A \, B) ^{-1} = B^{-1} \, A ^{-1}$ .
Si $A \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ , $A ^{-1} \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et son inverse est égal à $A$ .

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D. Matrices et applications linéaires

1. Matrice d’une famille de vecteurs

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de base $\mathcal{B}=(e_1\, ,\, ...\,,\,e_n)$ .

Soit $\mathcal{C}=(v_1\, ,\,...\,,\,v_p)$ une famille de $E$ .

La matrice de la famille $\mathcal{C}$ dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice $A$ de type $(n , p)$ telle que pour tout $k \in [\![1,\, p]\!]$ , la $k$ -ème colonne de $A$ est formée des coordonnées de $v_k$ dans la base $\mathcal{B}$ .

2. Matrice de $u\in\mathcal{ L}(E , F)$

D1 : La matrice de $u\in\mathcal{ L}(E , F)$ dans les bases $\mathcal{B}=(e_1\, ,\, ...\,,\,e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C}=(f_1\, ,\,...\,,\,f_n)$ de $F$ est une matrice notée

$\quad \quad \textrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ ou $\textrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$
de type $(n , p) = (\dim F , \dim E).$

$\textrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=(a_{i,\, j})_{1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j \leqslant p}$ où

$\forall\,j\in [\![1 ,\, p]\!]$ , $u(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i,\, j}\,f_i\,$ .

Pour retenir : Les coordonnées de $u(e_j)$ dans la base $\mathcal{C}$ forment la $j$ -ème colonne de $A$ .

P1 : L’application

$\mathcal{L}(E , F)\rightarrow \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ , $u\mapsto \textrm{M}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

$\dim \, \mathcal{L}(E ,\, F) = \dim \, \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K}) = n\, p$ .

3. Matrice d’un endomorphisme

D2 : La matrice de $u\in\mathcal{L}(E)$ dans la base $\mathcal{B} = (e_1\, ,\,... \,, \,e_n)$ de $E$ est une matrice carrée d’ordre $n$ où $n = \dim E$ que l’on note $\textrm{M}_{\mathcal{B}} (u)$ ou $\textrm{Mat}_{\mathcal{B}} (u)$ .

$\textrm{M} _{\mathcal{B}}(u)=(a_{i,\, j})_{1\leqslant i, \, j\leqslant n}$ avec

$\quad \forall\, j\in [\![1 , n]\!]$ , $u(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i,\, j}\,e_i$ .

Pour retenir : Les coordonnées de $u(e_j)$ dans la base $\mathcal{B}$ forment la $j$ -ème colonne de $A$ .

P2 : L’application

$\quad \mathcal{L}(E )\rightarrow \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , $u\mapsto \textrm{M}_{\mathcal{B}}(u)$
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

$\textrm{dim} \, \mathcal{L}(E) = \dim\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) = n^2.$

4. Application linéaire canonique- ment associée à $A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$

D3 : C’est l’unique application linéaire $u\in \mathcal{L}(\mathbb{K}^p , \mathbb{K}^n)$ dont la matrice dans les bases canoniques

$\mathcal{B} = (e_1\, ,\,... \,,\, e_p)$ de $\mathbb{K}^p$ et $\mathcal{C} = (f_1 \, ,\,... \, , \,f_n)$ de $\mathbb{K}^n$ est égale à $A$ ,

soit $\forall \,j \in [\![1 , \, p]\!]$ , $\, u(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i,\, j}\,f_i\,$ .

5. Endomorphisme canoniquement associé à $A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$

D4 : C’est l’unique endomorphisme $u\in \mathcal{L}(\mathbb{K}^n)$ dont la matrice dans la base canonique

$\mathcal{B} = (e_1 \, ,\, ... \, , \, e_n)$ de $\mathbb{K}^n$ est égale à $A$ ,

soit $\quad\forall \,j \in [\![1 , n]\!]$ , $u(e_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i,\, j}\,e_i\,$ .

6. Produit matriciel et applications linéaires

Soient $E$ , $F$ et $G$ trois $\mathbb{K}$ -espaces vectoriels de bases respectives $\mathcal{B}$ , $\mathcal{C}$ , $\mathcal{D}$ .

P4 : Si $u\in \mathcal{L}(E , \, F)$ et $x \in E$ ,

$\quad \quad \textrm{M}_{\mathcal{C}}(u(x)) = \textrm{M}_{\mathcal{B} , \, \mathcal{C}}(u) \, \textrm{M}_{\mathcal{B}}(x)$

soit $Y = A \, X$ .

P5 : Si $u\in \mathcal{L}(E)$ et si $x \in E$ ,

$\quad \textrm{M}_{\mathcal{B}}(u(x)) = \textrm{M}_{\mathcal{B}}(u) \, \textrm{M}_{\mathcal{B}}(x)$

soit $Y = A \, X$ .

P6 : Si $u \in \mathcal{L}(E , \, F)$ et $v \in \mathcal{L}(F , \, G)$ ,

$\quad \textrm{M}_{\mathcal{B},\, \mathcal{D}}(v\circ u)=\textrm{M}_{\mathcal{C},\, \mathcal{D}}(v)\, \textrm{M}_{\mathcal{B},\, \mathcal{C}}(u)$ .

P7 : Si $(u,\,v) \in \mathcal{L}(E )^2$ ,

$\quad \textrm{M}_{\mathcal{B}}(v\circ u)=\textrm{M} _{\mathcal{B}}(v)\, \textrm{M}_{\mathcal{B}}(u)$ .

7. Noyau, image et rang d’une matrice

D5 : Soient $A \in \mathcal{M}_{n,\, p}(\mathbb{K})$ et $u \in \mathcal{L}(\mathbb{K}^p,\, \mathbb{K}^n)$ l’application linéaire canoniquement associée à $A$ .

On appelle noyau de la matrice $A$ le noyau de $u$ , c’est donc un sev de $\mathbb{K}^p$ . On le note $\textrm{Ker}\, A$ .
On appelle image de $A$ l’image de $u$ . C’est donc un sev de $\mathbb{K}^n$ .
On le note $\textrm{Im}\, A$ .

D6 : Soient $A \in \mathcal{M}_{n,\, p}(\mathbb{K})$ et $u \in \mathcal{L}(\mathbb{K}^p,\, \mathbb{K}^n)$ l’application linéaire canoniquement associée à $A$ .

On appelle rang de $A$ le rang de $u$ .

C’est le nombre maximal de vecteurs colonnes de $A$ formant une famille libre. On le note $\textrm{rg} A$ .

P8 : Soit $A \in \mathcal{M}_{n,\, p}(\mathbb{K})$ .

$\bullet$ si $B \in \mathcal{M}_{p,\, q}(\mathbb{K})$ ,
$\quad \quad \textrm{rg} (A \, B) \leq \min( \textrm{rg}(A)\,,\, \textrm{rg}(B))$
$\bullet$ si $B \in \textrm{GL}_{p}(\mathbb{K})$ , $\textrm{rg} (A \, B) = \textrm{rg} (A)$
$\bullet$ si $C \in \textrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ , $\textrm{rg} (C \, A) = \textrm{rg} (A)$ .

P9 : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev de base $\mathcal{B}$
Le rang de la famille $\mathcal{C}=(v_1\, ,\,...\,,\,v_p)$ de $E$ est le rang de la matrice $A$ de $\mathcal{C}$ dans la base $\mathcal{B}$ .

P10 : Soient $u \in \mathcal{L}(E ,\, F)$ et $A$ sa matrice dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ , $\textrm{rg}(u) = \textrm{rg}(A)$ .

8. Compléments sur les matrices inversibles

T1 : Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Il y a équivalence entre

1. $A$ est inversible.

2. $\textrm{Ker} \, A = n$

3. L’endomorphisme $u$ canoniquement associé à $A$ est un automorphisme

4. Pour tout $u \in \mathcal{L}(E ,\, F)$ de matrice $A$ dans des bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ , $u$ est un isomorphisme de $E$ sur $F$ .

5. $\textrm{rg} (u) = 0$

6. $\exists \, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $A \, B = I_n$

7. $\exists \, C \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $C \, A = I_n$
Dans ce cas $B = C = A ^{ - 1}$ .

P11 : Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ une matrice triangulaire.

$A$ est inversible ssi le produit des termes diagonaux de $A$ est non nul.

L’inverse d’une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est triangulaire supérieure (resp. inférieure).

Les épreuves de mathématiques sont les épreuves de concours avec le coefficient le plus élevé. Les impasses sur les chapitres de maths en Maths Sup sont donc à proscrire. Pour se rendre compte de l’importance des mathématiques dans chaque concours, il est possible de consulter le simulateur d’admissibilité aux concours CPGE. Utiliser les cours en ligne et exercices corrigés de Maths Sup est une bonne solution pour préparer sa rentrée en Maths Spé. Quelques exemples de cours à bien travailler :

Les Matrices, cours de Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

A. Matrices de type $(n,\, p)$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

1. Définitions des matrices en Maths Sup

2. Propriétés de matrices en Maths Sup

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B. Produit matriciel en Maths Sup

1. Définition du produit matriciel en Maths Sup

2. Produit d’une matrice de type $(n ,\, p)$ par une matrice colonne

3. Propriétés d’un prpduit matriciel

C. Cas des matrices carrées d’ordre $n$ en Maths Sup

1. Définitions des matrices carrées d’ordre $n$

2. Propriétés du produit matriciel en Maths Sup

3. Puissance $p$ -ième d’une matrice carrée

4. Base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

5. Sous-espaces vectoriels particuliers en Maths Sup

6. Matrices inversibles en Maths Sup

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D. Matrices et applications linéaires

1. Matrice d’une famille de vecteurs

2. Matrice de $u\in\mathcal{ L}(E , F)$

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5. Endomorphisme canoniquement associé à $A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$

6. Produit matriciel et applications linéaires

7. Noyau, image et rang d’une matrice

8. Compléments sur les matrices inversibles

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