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Probabilités en Maths Sup, exercices et corrigés

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Les probabilités sont connues des étudiants en Maths Sup puisque c’est un chapitre qui revient régulièrement depuis les programmes du lycée. Cela n’empêche pas les étudiants de rencontrer des difficultés. En effet, d’année en année, ce chapitre se complexifie, des cours particuliers de maths peuvent alors être la solution pour garder le bon rythme.

Exercice sur des problèmes de dénombrement en Maths Sup

Soit $n$ un entier naturel non nul. On organise un tournoi de football entre $2\, n$ équipes : $n$ de première division, $n$ de deuxième division.

Question 1 :

On note $a_n$ la probabilité que chaque match fasse s’opposer une équipe de première division avec une de seconde. Calculer $a_n$ , en donner un équivalent.

On utilisera la formule de Stirling :

$\qquad \quad n! \underset {n \to + \infty} {\sim} n ^n \, \textrm{e} ^{ - n} \, \sqrt{2\, \pi \, n}$ .

Question 2 :

On note $b_n$ la probabilité qu’aucun match ne fasse s’opposer une équipe de première division avec une de seconde.

Calculer $b_n\$ , en donner un équivalent.

Exercice sur les probabilités de tirages en Maths Sup

On effectue $n \geqslant 4$ tirages avec remise dans une urne contenant $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$ .

Question 1 :

Calculer la probabilité d’avoir au moins l’un des trois chiffres 1, 2 ou 3.

Question 2 :

Calculer la probabilité d’avoir au moins une fois le chiffre 1 et 2 fois le chiffre 2.

Exercice sur les probabilités conditionnelles en Maths Sup

On dispose d’un sac contenant des dés dont une proportion $p$ est formée de dés pipés.

Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $1/2$ .

Question 1 :

On tire un dé au hasard. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.

Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?

Question 2 :

On tire un dé au hasard du sac. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$ .

Quelle est la probabilité $p_n$ que ce dé soit pipé ?

Comment interpréter la valeur de $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} p_n$ ?

Exercice de probabilités avec deux urnes en Maths Sup

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2\,$ .

L’urne $U_1$ contient deux boules blanches et deux boules noires.

L’urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires.

On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes.

$\ast$ Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.

$\ast$ Pour chaque tirage suivant, on tire dans l’urne $U_1$ si l’on vient d’obtenir une boule blanche et dans $U_2$ si l’on vient d’obtenir une boule noire. On remet la boule dans l’urne à l’issue de chaque tirage.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on note $B_n$ l’événement » la boule tirée au $n$ -ième tirage est blanche » et on pose $p_n = P(B_n)$ .

Question 1 :

Si $n \in \mathbb{N}^*$ , exprimer $\, p_{n + 1}$ en fonction de $p_n \,$ .

Question 2 :

Déterminer la probabilité d’avoir choisi l’urne $U_1$ si l’on a obtenu une boule blanche aux rangs 1 et 3.

Valeur (a/b) ?

Exercice de probabilités sur l’ajout de boules après tirage

Soit une urne contenant initialement $b$ boules blanches et $r$ boules rouges.

On note $N = b + r$ .

À la suite de chaque tirage, on remet dans l’urne la boule tirée ainsi que $a$ boules de la même couleur ( $a \in \mathbb{N}^*$ ).

La probabilité d’obtenir une boule blanche au deuxième tirage si l’on a obtenu blanc au premier et troisième tirage est égale à

a) $\displaystyle \frac {a } {N + a}$

b) $\displaystyle \frac {a + b} {N + a}$

c) $\displaystyle \frac {2 \,a + b} {N + 2\, a}$ .

Exercice sur le tirages de parties de $E$ en Maths Sup

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble de cardinal $n$ .

On se donne une partie $A$ de $E$ , de cardinal $k$ où $k \in [\![1 \,\, n]\!]$ .

On tire au hasard une partie $B$ de $E$ .

On suppose que toutes les parties de $E$ ont la même probabilité d’être tirées.

Question 1 :

Calculer la probabilité de tirer la partie $A$ .

Question 2 :

Calculer la probabilité de l’événement $F$ : « la partie tirée contient $A$ « .

Question 3 :

On note $G$ l’événement « la partie tirée est incluse dans $A$ « . Les événements $F$ et $G$ sont-ils indépendants ?

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Correction de l’exercice sur des problèmes de dénombrement

Question 1 :

$\bullet$ Relation de récurrence

On calcule le nombre $t_n$ de tournois que l’on peut organiser avec les $2 \, n$ équipes.

On note $(E_1\,,\, \cdots \, ,\, E_n)$ les $n$ équipes de première division et $(S_1\, ,\, \cdots \, ,\, S_n)$ celles de seconde division.

$\ast$ Pour $n = 1$ , $t_1 = 1$ , les deux équipes s’affrontent.

$\ast$ Si l’on considère les nouvelles équipes $E_{n + 1}$ et $S_{n + 1} \,$ , on écrit l’ensemble des maths possibles sous la forme $\qquad \quad \mathcal{M}_{2 n + 2} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$

où $\mathcal{A}$ est l’ensemble des matchs où $E_{n + 1}$ joue contre $S_{n + 1}$

et $\mathcal{B}$ l’ensemble des matchs où $E_{n + 1}$ ne joue pas contre $S_{n + 1}\,$ .

… Se donner un élément de $\mathcal{A}$ revient à se donner un élément de $\mathcal{M}_n$ avec les $n$ premières équipes de 1 ère et de 2 ème division.

Donc $\# \, \mathcal{A} =\textrm{Card}(\mathcal{M}_ n ) = t_n\,$ .

… Se donner un élément de $\mathcal{B}$ revient à se donner l’adversaire de $E_{n + 1}$ parmi les $2\, n$ premières équipes : il y a $2 \, n$ choix, et il reste $2\, n$ équipes à répartir en $n$ matchs il y a alors $t_n$ répartitions de ces $2 \, n$ équipes.

Donc

$t_{n + 1} = \# \,\mathcal{A} +\# \,\mathcal {B}$

$t_{n + 1} = t_n + 2 \, n \, t_n = (2 \,n + 1) t_n\,$ .

$\bullet$ Calcul de $t_n\,$ :

$t_n = (2 \, n - 1) \, (2 \, n - 3) \, \cdots \, 5.\, 3 . \, t_ 1$

On multiplie et on divise par $\qquad (2 \,n) (2 \, n - 2) \, \cdots \, 4 \cdot 2 = 2 ^{n} \, n !$ ,

$t_n = \displaystyle \frac {(2\, n)! } {2 ^n \, n ! }$ .

$\bullet$ Le nombre de tournois donnant un match d’une équipe de première division contre une équipe de deuxième division est le nombre de bijections de $\{E_1\,,\, \cdots \, ,\, E_n\}$ sur $\{S_1\, ,\, \cdots \,,\, S_n \}$ donc il y en a $n!\,$ .

$\qquad \quad \boxed{a_n = \displaystyle \frac {n!} {t_n} = \frac {2 ^n \, (n!) ^2} {(2\, n) ! }}$ .

$\bullet$ On utilise la formule de Stirling :

$\qquad \quad n! \underset {n \to + \infty} {\sim} n ^n \, \textrm{e} ^{ - n} \, \sqrt{2\, \pi \, n}$

donc

$a_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {2 ^n \, n ^{2\, n}\, \textrm{e} ^{ -2\, n} \, 2\, \pi \, n} {2 ^{2\, n} n ^{2\, n} \, \textrm{e} ^{- 2\, n} \sqrt{4\, \pi \, n} }$

$\boxed{a_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {\sqrt{\pi\, n} } {2 ^n } }$ .

Question 2 :

Pour que cet événement soit possible, il est nécessaire que $n = 2 \,p$ , ce que l’on suppose dans la suite.

$\bullet$ Le nombre de matchs possibles est égal à $t_n = t_{2p} = \displaystyle \frac {(4 \, p)!} {2 ^{2\, p} \, (2\, p)!}$

$\bullet$ Le nombre de matchs possibles entre équipes de première division est égal à $t _p = \displaystyle \frac {(2\, p)!} {2 ^p\, p!} \,$ , il est égal au nombre de matchs de deuxième division, donc

$b_n = b_{2p} = \displaystyle \frac {(t _ p ) ^2} {t _{2 p}}$

$b_n = \displaystyle \left ( \frac {(2 \, p)!} {2 ^{ p} \; p!} \right ) ^2 \times \frac {2 ^{2\, p} \,(2\, p)!} {(4 \, p)!}$

$b_n = \displaystyle \frac { \left ( (2 \, p)! \right ) ^3} { (p!) ^2 \, (4 \, p)! }$ .

$\bullet$ Avec la formule de Stirling,

$b_n \underset {p \to + \infty} {\sim}$ $\; \displaystyle \frac {\left (2 ^{2 \, p} \, p ^{2\, p} \,\textrm{e} ^{- 2\, p} \sqrt{4\,\pi\, p} \right ) ^3} { (p ^{ p} \, \textrm{e} ^{ - \, p} \sqrt{2\, \pi \, p} ) ^2 \cdot 4 ^{4 p}\, p ^{4 \,p} \, \textrm{e} ^{ - 4 \, p} \sqrt{8 \,\pi \, p} }$

$\underset {p \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {2 ^{6 \, p} \, p ^{6\, p} \,\textrm{e} ^{- 6\, p} \, 8 \, \pi\, p \, \sqrt{\pi\, p}} { p ^{6\, p} \, \textrm{e} ^{ - 6\, p} (2\, \pi \, p ) \cdot 4 ^{4 \,p}\, 2\, \sqrt{2 \, \pi \, p} }$

$b_n \underset {p \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {\sqrt{2} } { 2^{2\, p} } \;$ .

$\boxed{b_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \displaystyle \frac {\sqrt{2} } { 2^{n} } \; }$ .

Correction de l’exercice sur les probabilités de tirages en Maths Sup

Question 1 :

On note $A_i$ l’événement « en $n$ tirages, on a obtenu au moins une fois le chiffre $i$ «

On demande la probabilité de $\qquad \qquad B = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \,$ .

$\overline{B} = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}$

c’est l’événement : « on a tiré $n$ fois l’un des $n - 3$ numéros de $4$ à $n$ « .

Donc $\mathbb{P} \left (\overline{B}\right )= \displaystyle \left ( \frac {n - 3} n \right ) ^n$ .

$\mathbb{P}(B) = 1 - \mathbb{P} \left (\overline{B} \right ) =\boxed{\displaystyle 1 - \left ( 1 - \frac 3 n \right ) ^n}$ .

Question 2 :

On note encore $A_1$ « avoir au moins une fois le chiffre 1 » et $D$ « avoir 2 fois le chiffre 2 « .

On écrit $D = D \cap (A_1 \cup \overline{A_1} )$

$D = (D \cap A_1) \cup (D \cap \overline{A_1})$

ce sont des événements incompatibles,

$\mathbb{P} (D) = \mathbb{P} (D \cap A_1) + \mathbb{P} (D \cap \overline{A_1})$

donc $\mathbb{P}( D \cap A_1) = \mathbb{P} (D)- \mathbb{P} (D \cap \overline{A_1})$

$\ast$ Pour déterminer $\mathbb{P} (D)$ , on réalise $n$ expériences de probabilité de succès égale à $\displaystyle \frac 1 {n}$ (obtenir un 2 en tirant entre 1 et $n$ ) et on veut avoir 2 succès sur $n$ :

$\mathbb{P} (D) = \displaystyle \binom n 2\, \frac 1 {n ^2} \, \left ( 1 - \frac 1 n \right ) ^{n - 2}$

$\mathbb{P}(D) = \displaystyle \frac {n \, (n - 1) \, (n - 1)^{n - 2}} {2 \, n ^n}$

$\displaystyle \mathbb{P}(D) = \frac { (n - 1)^{n - 1} } {2\, n ^{n - 1}}$ .

$\ast$ Pour déterminer $\mathbb{P} (D \cap \overline{A_1} )$ , on réalise $n$ expériences de probabilité de succès égale à $\displaystyle \frac 1 {n - 1}$ (obtenir un 2 en tirant entre 2 et $n$ ) et on veut avoir 2 succès sur $n$ :

$\mathbb{P} (D \cap \overline{A_1} ) =$ $\qquad \quad \displaystyle \binom n 2\, \frac 1 {(n - 1) ^2} \, \left ( 1 - \frac 1 {n - 1} \right ) ^{n - 2}$

$\mathbb{P}(D \cap \overline{A_1} ) = \displaystyle \frac {n \, (n - 1) \, (n - 2)^{n - 2}} {2 \, (n - 1) ^n}$

$\mathbb{P} (D \cap \overline{A_1} ) = \displaystyle \frac {n\, (n - 2)^{n - 2} } {2\, (n - 1) ^{n - 1}}$ .

Donc $\mathbb{P} (D \cap A_1) = \displaystyle \frac { (n - 1)^{n - 1} } {2\, n ^{n - 1}} - \frac {n \,(n - 2)^{n - 2} } {2\, (n - 1) ^{n - 1}}$ .

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Correction de l’exercice sur les probabilités conditionnelles

Question 1 :

On note $T$ l’événement « le dé tiré est pipé » et $S$ « on obtient un six ».

L’énoncé donne $\mathbb{P}(T) = p$ , $\mathbb{P} (S \mid T) = 1/2$ et $\mathbb{P} (S \mid \overline {T} ) = 1/6$ .

On demande $\mathbb{P}(T \mid S) = \displaystyle \frac {\mathbb{P} (T \cap S)} {\mathbb{P} (S)}$ .
$\mathbb{P} (T \cap S) = \mathbb{P}(S \mid T) \; \mathbb{P}(T ) = \displaystyle \frac 1 2 \, p$ .

Par utilisation du système complet d’événements $\left ( T \, , \, \overline {T} \right )$ de probabilités non nulles et la formule des probabilités totales :

$\mathbb{P} (S) = \mathbb{P}(S \mid T) \, \mathbb{P}(T ) + \mathbb{P}(S \mid \overline{T} )\, \mathbb{P}( \overline{T} )$

Il reste à effectuer les calculs :

$\mathbb{P} (S) = \displaystyle \frac 1 2 \, p + \frac 1 6 (1 - p) = \frac {1 + 2\, p} 6$

et $\mathbb{P}(T \mid S) = \displaystyle \frac { p/2} {(1 + 2 \, p) / 6} = \boxed{\frac {3\, p } {1 + 2\, p} }$ .

Question 2 :

$\bullet$ On note cette fois-ci $S_n$ l’événement « on a obtenu $n$ fois le chiffre 6″.

On fera attention que l’on garde le même dé pendant les $n$ jets, on ne demande pas $\left ( \mathbb{P}(T \mid S) \right ) ^n$ .

Mais on demande $\qquad \qquad \mathbb{P}(T \mid S_n) = \displaystyle \frac {\mathbb{P} (T \cap S_n)} {\mathbb{P} (S_n)}$ .

$\ast$ $\mathbb{P} (T \cap S_n) = \mathbb{P}(S_n \mid T) \; \mathbb{P}(T )$ $\mathbb{P}(T \cap S_n) = \displaystyle \left ( \frac 1 2 \right ) ^n \, p$ .

$\ast$ Par la formule des probabilités totales

$\mathbb{P} (S_n) = \mathbb{P}(S_n \mid T) \, \mathbb{P}(T ) + \mathbb{P}(S_n \mid \overline{T} )\, \mathbb{P}( \overline{T} )$

$\ast$ Il reste à effectuer les calculs :

$\mathbb{P} (S_n) = \displaystyle \left ( \frac 1 2 \right ) ^n \, p +\left ( \frac 1 6 \right ) ^n (1 - p)$ $\mathbb{P}(S_n) = \displaystyle \frac {3^n \, p + 1 - p} {6 ^n}$

et $p_n = \mathbb{P}(T \mid S_n) = \displaystyle \frac { 3 ^n p} {3^n \, p + 1 - p}$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} p_n = 1$ .

Il est fortement probable d’avoir choisi un dé truqué si pour $n$ grand, on obtient $n$ fois un 6.

Correction d’exercice de probabilités avec deux urnes en Maths Sup

Question 1 :

Avec le système complet d’événements $\left ( B_n \, ,\, \overline {B_n} \right )$ et la formule des probabilités totales,

$\mathbb{P} (B_{n + 1} ) = \mathbb{P} (B_{n + 1} \mid B_n) \, \mathbb{P} (B_n)$ $\qquad \qquad \qquad +\, \mathbb{P} (B_{n + 1} \mid \overline {B_n})\, \mathbb{P} (\overline {B_n})$

$\mathbb{P} (B_{n + 1} \mid B_n) = \mathbb{P} (B_{ 1} \mid U_1)= \displaystyle \frac 1 2$

$\mathbb{P} (B_{n + 1} \mid \overline {B_n}) = \mathbb{P} (B_{ 1} \mid U_2) = \displaystyle \frac 4 7$ .

$p_{n + 1} = \displaystyle \frac 1 2 \cdot p_n + \frac 4 7 \cdot (1 - p_n)$

$\boxed{p_{n + 1} = \displaystyle \frac 4 7 - \frac 1 {14} \, p_n\, }$ .

Question 2 :

Valeur $(\dfrac{a}{b}) = \dfrac{7}{15}$

On demande $\alpha = \mathbb{P}(U_1 \mid B_1 \cap B_3)$

$\qquad \qquad \alpha = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_3)} {\mathbb{P}(B_1 \cap B_3)}$ .

$\bullet$ On va utiliser $\Omega = B_2 \cup \overline{B_2}$ pour renseigner le calcul sur le résultat du deuxième tirage.

$U_1 \cap B_1 \cap B_3 =$ $\qquad \qquad U_1 \cap B_1 \cap B_3 \cap (B_2 \cup \overline{B_2})$

$U_1 \cap B_1 \cap B_3 =$ $\qquad \qquad (U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)$ $\qquad \qquad \cup \, (U_1 \cap B_1 \cap\overline{B_2} \cap B_3)$

On a une réunion de deux événements incompatibles :

$\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_3) =$ $\qquad \qquad \mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)$ $\qquad \qquad +\, \mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap\overline{B_2}\cap B_3)$ $\; \; (1)$

$\bullet$ On utilise la formule des probabilités composées pour les deux calculs suivants :

$\ast$ $\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)=$ $\quad \mathbb{P}(B_3\, \mid U_1 \cap B_1 \cap B_2) \, \mathbb{P}(B_2\, \mid U_1 \cap B_1)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \times \, \mathbb{P}(B_1\, \mid U_1) \, \mathbb{P}(U_1)$

$\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)= \displaystyle \frac 1 2 \frac 1 2 \frac 1 2 \frac 1 2 = \frac 1 {16 }$

$\ast$ $\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap \overline{B_2 }\cap B_3)=$ $\mathbb{P}(B_3\, \mid U_1 \cap B_1 \cap \overline{B}_2) \, \mathbb{P}(\overline{B}_2\, \mid U_1 \cap B_1)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \times \, \mathbb{P}(B_1\, \mid U_1)\, \mathbb{P}(U_1)$

$\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap B_3)= \displaystyle \frac 4 7 \frac 1 2 \frac 1 2 \frac 1 2 = \frac {1} {14}$

Par (1),

$\mathbb{P}(U_1 \cap B_1 \cap B_3) = \displaystyle \frac 1 {16 } + \frac {1} {14} = \displaystyle \frac{15} {112}$ .

$\bullet$ En écrivant $\qquad B_1 \cap B_3 = B_1 \cap (B_2 \cup \overline{B_2} ) \cap B_3 \,$ ,

$B_1 \cap B_3 =$ $\qquad (B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)$

Ces deux événements incompatibles donnent la formule (2)

$\mathbb{P}(B_1 \cap B_3) =$

$\;\; \mathbb{P} (B_1 \cap B_2 \cap B_3) + \mathbb{P} (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)$

$\bullet$ Dans les deux calculs qui suivent, on utilise la formule des probabilités composées,

$\ast$ $\mathbb{P} (B_1 \cap B_2 \cap B_3)=$ $\qquad \mathbb{P} (B_3 \mid B_1 \cap B_2 )\, \mathbb{P} (B_2 \mid B_1 ) \, \mathbb{P} (B_1)$

$\mathbb{P} (B_1 \cap B_2 \cap B_3)= \displaystyle \frac 1 2 \frac 1 2 \frac {15} {28} = \frac {15} {112}$ .

$\ast$ $\mathbb{P} (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)=$ $\qquad \mathbb{P} (B_3 \mid B_1 \cap \overline{B_2} ) \, \mathbb{P} (\overline{B_2} \mid B_1 )\, \mathbb{P} (B_1)$

$\mathbb{P} (B_1 \cap \overline{B_2} \cap B_3)= \displaystyle \frac 4 7 \frac 1 2 \frac {15} {28} = \frac {15} {98}$ .

Par (2),

$\mathbb{P} (B_1 \cap B_3)= \displaystyle \frac {15} {112} + \frac {15} {98} = \frac {225}{784}$ .

On termine par $\alpha = \displaystyle \frac {15/112} {225/784 } =\boxed{ \frac {7} {15}}$ .

Correction d’exercice de proba sur l’ajout de boules après tirage

c) $\displaystyle \frac {2 \,a + b} {N + 2\, a}$ .

On demande $S = \displaystyle \mathbb{P} ( B_2 \, | \, B_1 \cap B_3)$

$S = \displaystyle \frac {\mathbb{P} ( B_1 \cap B_2 \cap B_3) } {\mathbb{P} ( B_1 \cap B_3)}$

$\mathbb{P} ( B_1 \cap B_2 \cap B_3) = \displaystyle \frac {b(b + a) (b + 2\,a)} {N(N + a)(N + 2 \, a)}$

Puis en écrivant $\Omega = B_2 \cup \overline {B_2}\,$ ,

$B_1 \cap B_3 = B_1 \cap ( B_2 \cup \overline {B_2} ) \cap B_3$

$B_1 \cap B_3 =$ $\quad \quad \quad (B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3)$

Ces deux événements étant incompatibles,

$\mathbb{P}(B_1 \cap B_3) =$ $\quad \mathbb{P}(B_1 \cap B_2 \cap B_3) + \mathbb{P} (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3)$

$\mathbb{P} (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3) =$ $\; \mathbb{P}(B_3 \, | \, B_1 \cap \overline {B_2}) \times \mathbb{P}( \overline {B_2} \, | \, B_1) \times \mathbb{P}(B_1)$

$\displaystyle \mathbb{P} (B_1 \cap \overline {B_2}\cap B_3) = \frac {b + a} {N + 2 \, a} \, \frac r {N + a} \, \frac b N$

On en déduit que :

$\displaystyle \mathbb{P}(B_1 \cap B_3) = \frac {b(a + b)(b + 2\, a + r)} {N(N + a)(N + 2\, a)}$

$\displaystyle \mathbb{P}(B_1 \cap B_3) = \frac {b(a + b) } {N(N + a)}$

donc $\displaystyle \mathbb{P} ( B_2 \, | \, B_1 \cap B_3) = \frac {2\, a+ b} {N + 2 \, a}$ .

Correction d’exercice sur le tirages de parties de $E$ en Maths Sup

Question 1 :

L’univers des possibles $\Omega$ est égal à $\mathcal{P}(E)$ .

La probabilité est uniforme sur $\Omega$ .

On note $C$ l’événement : ‘ »on a tiré la partie $A$ « .

$\mathbb{P} (C) = \displaystyle \frac {1} {2 ^n}$ .

Question 2 :

Réaliser $F$ revient à tirer une partie $B$ telle que $A \subset B$ , cela revient à choisir une partie de $\mathcal{P}(E \setminus A)$ et à lui joindre la partie $A$ .

$F = \{ A \cup X \, , \, X \in \mathcal{P}(E\setminus A) \}$ .

$\# \, F = \# \, \mathcal{P}(E\setminus A ) = 2 ^{n - k}\,$ .

$\mathbb{P} (F) = \displaystyle \frac {2 ^{n - k} } {2 ^n} = \frac 1 { 2 ^{k}}\,$ .

Question 3 :

$G = \mathcal{P}(A)$ donc $\# \, G = \# \, \mathcal{P}(A) = 2 ^k$

$\mathbb{P} (G) = \displaystyle \frac {2 ^k} {2 ^n} = 2 ^{k - n}\,$ .

$F \cap G = C$ ( $C$ défini dans la question 1), donc $\mathbb{P} (F \cap G) = 2^{ - n}$ .

$\mathbb{P} (F) \, \mathbb{P} (G) = 2 ^{- k}\, \, 2 ^{k - n}$

donc $\mathbb{P} (F) \, \mathbb{P} (G) = \mathbb{P} (F \cap G)$ .

$F$ et $G$ sont indépendants.

En Maths Sup, il est fondamental d’adopter un rythme de travail régulier pour pouvoir poursuivre son année de Maths Spé dans les meilleures conditions. Les maths doivent être particulièrement travaillées vu leur coefficient très élevé aux concours post-prépa. S’aider des cours en ligne et de leurs exercices corrigés sont de bons réflexes à adopter. Ainsi, les étudiants de PTSI, PCSI et MPSI pourront s’entraîner sur divers chapitres, comme :

Probabilités en Maths Sup, exercices et corrigés

Exercice sur des problèmes de dénombrement en Maths Sup

Exercice sur les probabilités de tirages en Maths Sup

Exercice sur les probabilités conditionnelles en Maths Sup

Exercice de probabilités avec deux urnes en Maths Sup

Exercice de probabilités sur l’ajout de boules après tirage

Exercice sur le tirages de parties de $E$ en Maths Sup

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