Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Fonctions réelles à variables réelles en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Fonctions réelles à variables réelles
Exercice 1 :
1) On a une forme indéterminée de la forme . La présence de au dénominateur nous fait penser à un taux d’accroissement. Posons ainsi :
2) Il est classique que De m\^eme Comme
on a
5) On s’intéresse d’abord à En utilisant l’expression conjuguée de qui est on a :
Comme par continuité de la fonction en on a
et
6) Il y a une puissance, on commence par mettre l’expression sous forme exponentielle, pour on a :
ainsi
Alors, par produit,
7) Pour on a
Or c’est le taux d’accroissement de la fonction en et grâce à une croissance comparée. D’où
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Exercice 2 :
1) Montrons que
2) On forme le taux d’accroissement En procédant de la même façon que ci-dessus, on montre
3) Un simple calcul donne, pour On a, comme avant, il suffit donc montrer que n’admet pas de limite en
Exercice 3 :
Posons On a et Comme est continue sur comme différence de deux fonctions continues sur , le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’il existe tel que soit
Exercice 4 :
1) Il est clair que est continue sur et
2) Pour on pose : « « . Si l’on prend on a soit Ainsi est vraie.
Supposons vraie, montrons que vraie. Pour cela, écrivons
.
Ainsi est donc vraie pour tout
3) Pour soit et
4) Il est facile de montrer par récurrence que pour tout et pour tout on a Ainsi, si et on a
Or, d’où
Par la question 4, on a Or De plus, car la fonction est continue en
6) On vient de montrer que pour tout on a Ainsi, les seules fonctions solutions sont les fonctions linéaires.
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