Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Fonctions réelles à variables réelles en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Fonctions réelles à variables réelles
Exercice 1 :
1) On a une forme indéterminée de la forme . La présence de
au dénominateur nous fait penser à un taux d’accroissement. Posons
ainsi :
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8271338d9cdfb96d236371b43965a95_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to 1} \dfrac{x + \dfrac1x - 2}{x - 1} = f ' \left( 1 \right) = 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07fcd8cb7f047d1e7669b8782713c783_l3.png)
2) Il est classique que De m\^eme
Comme
on a
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\infty}{\infty}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4598a8588fb4061ec01762376ced9f3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x^2.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf1473fb09599b7fbc179dd522f7549d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{1}{x^2} =1,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a822dc91cf5efffe79546acf6d8f6d8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 + e^x}{x^2 + 1} = 1.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a4719916a68fbd1cd0c2720c3c29206_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\infty}{\infty}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4598a8588fb4061ec01762376ced9f3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to + \infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}} = + \infty.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6256cf241a4eb67fe431fdc64e08ba8d_l3.png)
5) On s’intéresse d’abord à En utilisant l’expression conjuguée de
qui est
on a :
![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35b00e8ddbf16454848a1fd4866faef3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \right) \left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x} \right) }{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6053b3dee7a1adf821ff7ca68406cd0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c094e037cc72aef8d513b4c46439511a_l3.png)
Comme
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8202328047b2ee9fdd8b0b19542db26e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \exp](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edfc5b3152b3601173d8887b121be69d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf4770355d567cab8db571d879e923cb_l3.png)
et
6) Il y a une puissance, on commence par mettre l’expression sous forme exponentielle, pour on a :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)^{\dfrac1x} = e^{\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{x}}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e9aeb5e980718732f8f3744f78d6967f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = e^{ \dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} \times \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} }.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38ad7668d8d9db045e5ac5b00c23ef69_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d077f1202cae43a1855e4e1bb5939948_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{x } = 1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5def00efa99899fe8888d6a93fabde17_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{ \ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)},](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec31d22e0a0b77f06b981228f2e3621e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u = \sin \left( x \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2325f6ad6f0682c48411d682bbbf3fc5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u \to 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d8a97a96ae2984e0bd62e304e96c6a5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x \to 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4bfe6367ff4f4ba72fe0b4ca996dfa2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{u \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + u \right)}{u} = 1,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2ee32499ffb0d1a7fd80fc430897b3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com u \mapsto \ln \left( 1 + u \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb659ca66218c7224b122426cedc9da5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf4770355d567cab8db571d879e923cb_l3.png)
ainsi
Alors, par produit,
![Rendered by QuickLaTeX.com \exp](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edfc5b3152b3601173d8887b121be69d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8271338d9cdfb96d236371b43965a95_l3.png)
7) Pour on a
Or c’est le taux d’accroissement de la fonction
en
et
grâce à une croissance comparée. D’où
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Exercice 2 :
1) Montrons que
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to 0} x^2 = 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-958747828d6b7536d01c36a738489fa1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to 0} f \left( x \right) = 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de893f1b50e02e11181297c751e3ae4e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5e437be25f29374d30f66cd46adf81c_l3.png)
2) On forme le taux d’accroissement En procédant de la même façon que ci-dessus, on montre
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5e437be25f29374d30f66cd46adf81c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f ' \left( 0 \right) = 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3a995c363a86a8a3dc8b0e217112dc4_l3.png)
3) Un simple calcul donne, pour
On a, comme avant,
il suffit donc montrer que
n’admet pas de limite en
![Rendered by QuickLaTeX.com u_n = \dfrac{1}{2n \pi}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35d5bd805a4214e2b23d10a09d7f64a6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com v_n = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2n \pi}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d25ce007aae2f8439750f21ed8b7651f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos \left( \dfrac{1}{u_n} \right) = 1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6eda55f70b18bfae6ca94405913b1d1d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos \left( \dfrac{1}{v_n} \right) = 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09ce20004a41c1435fa1e8f69c160d5f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f'](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c51071e7f83688fd795a68f01f2d1b64_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d077f1202cae43a1855e4e1bb5939948_l3.png)
Exercice 3 :
Posons On a
et
Comme
est continue sur
comme différence de deux fonctions continues sur
, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’il existe
tel que
soit
Exercice 4 :
1) Il est clair que est continue sur
et
![Rendered by QuickLaTeX.com \text{pour tout} \; \in \mathbb{R}, f \left( x + y \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-546ebbd5b93606246486fefa2085c404_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = a \left( x + y \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30863de90ef9d39fc48aeee1fc62d24b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = a x + a y = f \left( x \right) + f \left( y \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79b66cef463ffd29331c931323e1d252_l3.png)
2) Pour on pose
: «
« .
Si l’on prend
on a
soit
Ainsi
est vraie.
Supposons
vraie, montrons que
vraie. Pour cela, écrivons
.
Ainsi est donc vraie pour tout
3) Pour
soit
et
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n \in \mathbb{Z}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a448111ea35bede5a4405bb3caa2cfec_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n \ge 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12ee071a9967207b4abf4d0f37371c8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( n \right) = an .](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c1e2b7130a645d316a4a4ceb42e007f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n \le 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b12baffb01a1b7af1f1271a0858740b5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com - n \ge 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c60ac09cc7f811345cf3c0a4c3baf7f3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( - n \right) = a \left( - n \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-059af23996daada3737913b0c076c69a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( - n \right) = - f \left( n \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-976c0a3e39778e9573c80725602a3fc2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com - f \left( n \right) = - a n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d857b444d476f49c7e54d11d1ded895e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( n \right) = an.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d14ca66f8287393f1a35c0175f828638_l3.png)
4) Il est facile de montrer par récurrence que pour tout et pour tout
on a
Ainsi, si
et
on a
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( p \right) = f \left( q \times \dfrac{p}{q} \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66f0cd21e2a6f11066dc5eb76be94ff9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \underbrace{f \left( \dfrac{p}{q} \right) + \cdots + f \left( \dfrac{p}{q} \right)}_{q \; \text{fois}} = q f \left( \dfrac{p}{q} \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb1dbeb2a49c7c72ef94aec060ae29b4_l3.png)
Or,
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( p \right) = a p,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-132c4de88fdbf8669f4bb997ab9ad34d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( \dfrac{p}{q} \right) = a \dfrac{p}{q}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0f25981d2ee71bc12bf6951d8a0ba48_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 10^n x - 1 \le \lfloor 10^n x \rfloor \le 10^n x.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ecde7fb950d53aa49fb4d4b8eebec55_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x - \dfrac{1}{10^n} \le u_n \le x.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7ac2a034d0fdf931d9eeacfb2cf2fc4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{n \to +\infty} u_n =x.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a273ccb00251abc8e9c1e8abdcdaa19_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x \in \mathbb{R}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b33982431dba279472e2cf74bd91e5d4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left( r_n \right)_{n \in \mathbb{N}}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d02a06da16a9395e76cbf9c6751e62a5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{n \to +\infty} r_n = x.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3af0f8750cfcf6522e0100cf43a3ada_l3.png)
Par la question 4, on a Or
De plus,
car la fonction
est continue en
![Rendered by QuickLaTeX.com f \left( x \right) = a x .](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed53d023974f7a8977884d3d90f363e0_l3.png)
6) On vient de montrer que pour tout on a
Ainsi, les seules fonctions solutions sont les fonctions linéaires.
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