Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Nombres complexes en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Nombres complexes
Exercice 1 :
Il est facile de voir que
On a
et
d’où
On a
et
d’où
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Exercice 2 : Produit scalaire
1) Mettons sous forme exponentielle.
On a Ainsi, si l’on pose
avec
de sorte que
On résout
On obtient trois valeurs pour dans un intervalle de longueur
:
et
et on obtient trois solutions :
2) une racine évidente est
donc les deux solutions sont
et
3) On pose On a donc la nouvelle équation :
Cette équation est facile à résoudre et donne deux solutions :
et
L’équation admet
solutions :
et
De la même fa\c{c}on, l’équation
donne deux solutions :
et
Finalement, l’équation admet solutions :
et
4) On calcule
Ainsi, il y a deux racines
et
5) On a
.
Calculons maintenant les racines carrées de méthode 6. Soient
et
deux réels tels que
En développant, on a soit en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires :
En utilisant le module dans l’égalité on récupère
On a finalement les relations suivantes :
En sommant la première et la troisième ligne, on a soit
ou
En utilisant la relation
on a
(si
) ou
(si
).
Finalement les deux racines carrées de sont
et
Les racines de l’équation sont donc :
et
Exercice 3 :
On rappelle que les racines -ièmes de l’unité sont de la forme :
avec
Somme :
On calcule



On calcule







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Exercice 4 :
L’inégalité à prouver est équivalente à :
Pour s’en convaincre, il suffit de remplacer par
Pour prouver cette dernière inégalité, on introduit
le point d’affixe
,
le point d’affixe
et
le point d’affixe
Si
ou
l’inégalité est claire (il y a même égalité).
On suppose donc
et
Ainsi, l’inégalité à prouver est :
Or dans un triangle, la longueur d’un des côtés est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, cela prouve l’inégalité précédente et termine l’exercice.
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