Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Corrigés : Nombres complexes en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Nombres complexes
Exercice 1 :
Il est facile de voir que
On a
et
d’où
On a
et
d’où
COURS DE MATHS
Les meilleurs professeurs particuliers
Pour progresser et réussir
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Exercice 2 : Produit scalaire
1) Mettons sous forme exponentielle.
On a Ainsi, si l’on pose
avec
de sorte que
On résout
On obtient trois valeurs pour dans un intervalle de longueur
:
et
et on obtient trois solutions :
2) une racine évidente est
donc les deux solutions sont
et
3) On pose On a donc la nouvelle équation :
Cette équation est facile à résoudre et donne deux solutions :
et
L’équation admet
solutions :
et
De la même fa\c{c}on, l’équation
donne deux solutions :
et
Finalement, l’équation admet solutions :
et
4) On calcule
Ainsi, il y a deux racines
et
5) On a
.
Calculons maintenant les racines carrées de méthode 6. Soient
et
deux réels tels que
En développant, on a soit en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires :
En utilisant le module dans l’égalité on récupère
On a finalement les relations suivantes :
En sommant la première et la troisième ligne, on a soit
ou
En utilisant la relation
on a
(si
) ou
(si
).
Finalement les deux racines carrées de sont
et
Les racines de l’équation sont donc :
et
Exercice 3 :
On rappelle que les racines -ièmes de l’unité sont de la forme :
avec
Somme :
On calcule
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{1 - \left( e^{2 i \pi / n} \right)^n}{1 - e^{2 i \pi / n}}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f61b66b95431ca9b8814d1a0290112f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{1 - 1}{1 - e^{2i \pi / n}}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f15a67b5bb1a94c73645be589e5d4e3c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78875bc33735907a10d2ce7a75c624e8_l3.png)
On calcule
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle\prod_{k= 0}^{n - 1} e^{2 i k \pi / n}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c48e31fe63ec6c50d2957aa74b3cf155_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\displaystyle e^{\sum_{k=0}^{n - 1} \left( 2 i k \pi / n \right)}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91a115e71e9b56280eeda0c21afadd81_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle e^{\dfrac{2i \pi }{n} \sum_{k=0}^{n - 1} k }](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be39dd6cd4c7d35ee86daae188654e28_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = e^{\dfrac{2 i \pi}{n} \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2} }](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d8264091a8311b257f57a4442c86000_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = e^{i \pi \left( n - 1 \right)}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12baf9ee2fa88769e96352b74b478a98_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left( e^{i \pi} \right)^{n - 1}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dab31e768c681f0abdc075b18e107343_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left( - 1 \right)^{n - 1}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5cd4474be920cf480cd7a165736157a9_l3.png)
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Exercice 4 :
L’inégalité à prouver est équivalente à :
Pour s’en convaincre, il suffit de remplacer par
Pour prouver cette dernière inégalité, on introduit
le point d’affixe
,
le point d’affixe
et
le point d’affixe
Si
ou
l’inégalité est claire (il y a même égalité).
On suppose donc
et
Ainsi, l’inégalité à prouver est :
Or dans un triangle, la longueur d’un des côtés est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, cela prouve l’inégalité précédente et termine l’exercice.
Pour plus d’exercices et corrigés d’exercices de maths en ECG1, rendez-vous sur les autres cours en ligne d’ECG1 :