Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

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Exercices et corrigés sur ondes électromagnétiques dans les milieux en maths spé

Ces exercices corrigés pour la maths spé en physique chimie sur les ondes électromagnétiques dans les milieux pourront vous aider à mieux comprendre les notions sur Pseudo-OPPH, Vitesse de groupe, vitesse de phase. En plus de ces exercices et corrigés qui peuvent vous préparer aux concours, nous vous proposons sur notre plateforme des professeurs de physique chimie pour accompagner les élèves et progresser en CPGE.

QCM sur les ondes électromagnétiques dans les milieux en maths spé

Question 1 :

1. Dans un milieu donné, $v_g$ désigne la vitesse de groupe et $v_{\varphi}$ la vitesse de phase d’une onde électromagnétique.

a. On a toujours $v_g\cdot v_{\varphi}=c_0^2$

b. On a toujours $v_g<v_{\varphi}$

c. On a toujours $v_{\varphi}<v_g$

d. On a toujours $v_g<c_0$

e. On a toujours $v_{\varphi}<c_0$

Question 2 :

1. La conductivité d’un plasma est
a. un réel positif
b. un réel négatif
c. un imaginaire pur de partie imaginaire positive
d. un imaginaire pur de partie imaginaire négative.

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Corrigé du QCM de maths spé sur ondes électromagnétiques dans les milieux

Question 1 :

La bonne réponse est la d.

Question 2 :

La bonne réponse est C.

D’après le cours

$\displaystyle{\underline{\gamma}=\frac{n_0e^2}{i\omega m_e}}$

Exercices sur ondes électromagnétiques dans les milieux en maths spé

Exercice sur le milieu diélectrique : équations de Maxwell en formalisme complexe.

Un milieu diélectrique linéaire homogène isotrope, de susceptibilité réelle $\chi>0$ , est caractérisé par les deux relations suivantes :

$\rho=-\varepsilon_0\chi\mathrm{div}\vec{E}$

$\displaystyle{\vec{j}=\varepsilon_0\chi\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}}$

1. Établir les équations de Maxwell dans ce milieu.

2. Traduire ces relations en formalisme complexe.

Exercice sur la corde vibrante verticale.

Une corde verticale, de masse linéique $\mu$ , fixée en son extrémité supérieure $O$ , de longueur $L$ , est soumise à la pesanteur.

On munit le plan vertical du repère $(O,x,z)$ avec $x$ horizontal et $z$ vers le bas.

Une onde transversale de faible amplitude est caractérisée par un déplacement vertical. Le déplacement horizontal dut $M$ de cote $z$ est noté $x(z,t)$ .

On peut montrer que $x(z,t)$ vérifie l’équation aux dérivées partielles non linéaire

$\displaystyle{\frac{\partial^2x}{\partial t^2}=-g\frac{\partial x}{\partial z}+g(L-z)\frac{\partial^2x}{\partial z^2}}$

1. On fait l’hypothèse $z\ll L$ et on cherche une solution pseudo-OPPH

$\underline{x}(z,t)=X_0e^{i(\omega t-\underline{k}z}$

Établir l’équation de dispersion.

2. Montrer l’existence d’une pulsation de coupure $\omega_c$ . On pourra poser $\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}}$

3. Caractériser l’onde si $\omega>\omega_c$ .

4. Carcatériser l’onde si $\omega<\omega_c$

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Corrigé des exercices ondes électromagnétiques dans les milieux en maths spé

Corrigé sur le milieu diélectrique : équations de Maxwell en formalisme complexe.

1. MG donne $\mathrm{div}\vec{E}=0$

MT et MF sont inchangés.

MA donne $\displaystyle{\vec{\mathrm{rot}}\vec{B}=\varepsilon_0\mu_0(1+\chi)\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}}$

2. On obtient

$-i\vec{\underline{k}}\cdot\vec{\underline{E}}=0$

$-i\vec{\underline{k}}\cdot\vec{\underline{B}}=0$

$-i\vec{\underline{k}}\wedge\vec{\underline{E}}=-i\omega\vec{\underline{B}}$

$-i\vec{\underline{k}}\wedge\vec{\underline{B}}=i\omega\varepsilon_0\mu_0(1+\chi)\vec{\underline{E}}=\vec{0}$

Corrigé sur le calcul d’amplitude du champ à partir de la puissance.

1. On fait l’approximation $L-z\simeq L$ dans l’équation donnée.

En utilisant les règles de dérivation en grandeurs complexes, on obtient l’équation du second degré

$\displaystyle{\underline{k}^2-i\frac1L\underline{k}-\frac{\omega^2}{gL}=0}$

2. Le discriminant est réel et vaut

$\displaystyle{\Delta=-\frac1{L^2}+\frac{4\omega^2}{gL}=\frac1{L^2}\left[\frac{4\omega^2}{\omega_0^2}-1\right]}$

Son signe dépend donc de la position de $\omega$ par rapport à $\displaystyle{\omega_c=\frac{\omega_0}{2}}$

3. Si $\omega>\omega_c$ , $\Delta>0$ on pose

$\displaystyle{\Delta=\frac1{L_0^2}}$

Et en gardant la solution de partie réelle positive, car l’onde ne se propage que dans le sens des $x$ croissants

$\displaystyle{\underline{k}=\frac1{2L_0}+i\frac{1}{2L}}$

Donc l’onde est amplifiée.

4. Si $\omega>\omega_c$ , $\Delta<0$ , on pose

$\displaystyle{\Delta=-\frac1{L_0^2}}$ avec $L_0>L$

On en déduit

$\displaystyle{\underline{k}=i\left[\frac1{2L}\pm\frac1{2L_0}\right]}$

On observe donc une onde stationnaire, la corde se balance avec une amplitude qui croît en fonction de $z$ .

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