Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Polynômes en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices sur les Polynômes en ECG1

Exercice 1 :

Donner le reste dans les divisions euclidiennes suivantes :

1) $3X^5 + 4X^2 + 1$ par $X^2 - 4X + 3,$

2) $X^n$ par $X^2 - 3X + 2,$

3) $X^{2n}+2X^n +1$ par $X^2+1$ puis par $\left( X - 1 \right)^2.$

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Exercice 2 :

Déterminer les polynômes réels vérifiant les propriétés suivantes : le degré de $P$ est $5,$ son coefficient dominant est $3,$ $1$ est racine double, $2$ et $3 + 2i$ sont racines simples de $P.$

Exercice 3 :

Le but de l’exercice est de déterminer les polynômes $P$ de degré $5$ tels que $\left( X - 2 \right)^3$ divise $P + 2$ et $\left( X - 1 \right)^3$ divise $P - 1.$

1) Montrer qu’il existe un polynôme $Q = aX^2 +b X + c$ de degré $2$ tel que $P = \left( X - 1 \right)^3 Q \left( X \right) + 1.$

2) Montrer que $P \left( 2 \right) = - 2, P' \left( 2 \right) = 0$ et $P'' \left( 2 \right) = 0$ (on pourra utiliser le fait que $\left( X - 2 \right)^3$ divise $P + 2$ ).

3) Utiliser les questions précédentes pour trouver les valeurs de $Q \left( 2 \right), Q ' \left( 2 \right)$ et $Q '' \left( 2 \right).$

En déduire un système d’équations vérifié par $a, b$ et $c.$ En déduire $P.$

Exercice 4 :

Soit pour $n \in \mathbb{N}, n \ge 2,$ le polynôme $P_n = 2 X^{n + 2} - \left( n + 2 \right) X^2 + n.$ Montrer que $\left( X - 1 \right)^2$ divise $P_n.$

Exercice 5 :

Déterminer l’ensemble des polynômes $P \in \mathbb{R} \left[ X \right]$ tels que : $P \left( X^2 \right) = \left( X^2 + 1 \right) P \left( X \right).$

Indication : on pourra raisonner sur les degrés.

Exercice 6 :

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes réels tels que pour tout $x \in \mathbb{R},$

$P \left( x \right) \cos \left( x \right) + Q \left( x \right) \sin\left( x \right) = 0.$

Montrer que $P=Q=0.$

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