Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Forces Centrales : cours de physique de maths sup

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

Réviser le cours sur les forces centrales en physique en maths sup est essentiel en raison de l’importance de cette matière dans le programme de Maths Sup. Vous pouvez d’ailleurs le vérifier en allant faire un tour sur notre simulateur d’admissibilité pour les prépas scientifiques. On y voit clairement que réussir les concours est compliqué sans une bonne maîtrise de la Physique. Si vous rencontrez des difficultés en physique chimie, il est conseillé de prendre du cours en physique chimie durant votre maths sup.

A. Force centrales en classe de Maths Sup

1. Définition d’une force centrale en Maths Sup

Une force centrale de centre $O$ , point fixe d’un référentiel galiléen, est un champ de forces subi par un point matériel $M$ tel que

$\vec{f}$ est colinéaire à $\vec{OM}$

ou $\vec{f}=f\vec{u}_r$

avec $\displaystyle{\vec{u}_r=\frac{\vec{OM}}{OM}}$

2. Conservation du moment cinétique en Maths Sup

Soit $M$ un point matériel de masse $m$ soumis uniquement à une force centrale.

Le moment cinétique $\vec{L}_O$ est constant.

3. Planéité du mouvement en Maths Sup

La trajectoire de $M$ soumis uniquement à une force centrale est plane, dans un plan passant par $O$ .

4. Loi des aires en Maths Sup

Pour un mouvement à force centrale, le rayon vecteur $\vec{OM}$ balaie des surfaces égales en des temps égaux, ce qui revient à dire que la vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) est constante.

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B. Forces Centrales Conservatives en Maths Sup

1. Définition d’une force centrale conservative

Une force centrale est conservative si elle dérive d’une énergie potentielle.

Il suffit pour cela que la norme de la force ne dépende que de $r=OM$

$\vec{f}=f(r)\vec{uy}_r$

Dans ce cas, l’énergie potentielle est définie par

$\displaystyle{f(r)=-\frac{dEp}{dr}}$

On obtient donc $Ep$ en primitivant $f$ , la constante d’intégration est définie par la référence choisie (la plupart du temps, on prend $Ep$ nulle quand $r\rightarrow +\infty$ )

2. Grandeurs conservatives pour un mouvement à force centrale conservative

Un point $M$ est uniquement soumis à un champ de force centrale conservative.

Les deux grandeurs constantes sont

$\bullet$ le moment cinétique $\vec{L}_O=\vec{OM}\wedge m\vec{v}$

$\bullet$ l’énergie mécanique $Em=Ec+Ep(r)$

3. Énergie potentielle effective en Maths Sup

Le mouvement étant plan, on travaille en coordonnées cylindriques avec $\vec{u}_z$ selon $\vec{L}_O$

Mis à part dans le cas du mouvement circulaire, le PFD donne un système d’équations différentielles non linéaires en $r$ et $\theta$

Il est pratiquement toujours insoluble. Mais il est possible de déterminer rigoureusement l’ensemble des valeurs que peut prendre $r$ , en éliminant $\theta$ et ses dérivées entre les deux grandeurs conservatives.

On obtient ainsi

$\displaystyle{Em=\frac12m\stackrel{\cdot}{r}^2+Ep_{\mathrm{eff}}(r)}$

avec $\displaystyle{Ep_{\mathrm{eff}}(r)=Ep(r)+\frac{L_O^2}{2mr^2}}$

énergie potentielle effective.

4. Analyse de l’état

La positivité de l’énergie cinétique radiale
$\frac12m\stackrel{\cdot}{r}^2$

entraîne que l’ensemble des valeurs permises pour $r$ est définie par l’inégalité

$Ep_{\mathrm{eff}}(r)\leq Em$

On résout cette équation algébriquement ou graphiquement, on en déduit l’intervalle des valeurs permises pour $r$

$\bullet$ Si l’intervalle est borné, on dit que $M$ est dans un état lié ( $M$ ne peut pas s’éloigner de $O$ à plus d’une distance maximale)

$\bullet$ Si l’intervalle n’est pas borné, on dit que $M$ est dans un état libre, ou état de diffusion ( $M$ peut « partir à l’infini »).

C. Forces centrales newtoniennes en Maths Sup

1. Définition d’une force centrale newtonienne

Une force centrale newtonienne a pour expression générale

$\displaystyle{\vec{f}=\frac{K}{r^2}\vec{u}_r}$

Elle dérivec de l’énergie potentielle

$Ep(r)=\frac{K}{r}$

en prenant la référence d’énergie potentielle nulle à l’infini.

2. Cas de la force gravitationnelle : nature de la trajectoire

On admet que la trajectoire est une « conique ».

$\bullet$ Si $Em>0$ , l’énergie potentielle peut être nulle car $Ec$ est toujours positive, donc $M$ peut partir à l’infini et on est dans un état de diffusion. La trajectoire est une hyperbole, $O$ est son foyer.

$\bullet$ Si $Em=0$ , on est aussi dans un état de diffusion, la vitesse de $M$ tend vers zéro quand $r$ tend vers l’infini. La trajectoire est une parabole dont $O$ est le foyer.

$^\bullet$ Si $Em<0$ , à l’infini $Ep$ tend vers zéro, donc on aurait $Ec=Em$ ce qui est impossible car $Ec$ est toujours positive. L’état est donc lié. La trajectoire est une ellipse dont $O$ est un des foyers. Les points extrémaux sont diamétralement opposés, celui de rayon maximal est l’apogée, celui de rayon minimal le périgée.

3. Mouvement parabolique et vitesse de libération

Un corps $M$ est à la surface d’une planète de centre $O$ , de masse $m_S$ , de rayon $R$ et le référentiel planétocentrique est supposé galiléen.

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu’il faut donner à $M$ pour qu’il parte à l’infini.

On l’appelle aussi la deuxième vitesse cosmique, c’est celle qui donne une énergie mécanique nulle donc une trajectoire parabolique à $M$

$\displaystyle{v_L=v_{II}=\sqrt{\frac{2\mathcal{G}m_S}{R}}}$

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