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Cours sur les configurations du plan et de l’espace en seconde

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Les cours sur la configuration du plan et de l’espace, font partie des cours important de mathématique en seconde générale. Découvrez toutes les définitions indispensables pour réussir votre année en maths. De plus, envisager des cours en maths peut être une excellente option si vous souhaitez combler vos lacunes et améliorer votre compréhension en mathématiques.

Droites remarquables d’un triangle en seconde

Définition

La hauteur issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au côté opposé $(BC)$ .

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé l’orthocentre du triangle.

Définition

La médiane issue du sommet $A$ est la droite passant par $A$ et par le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$ .

Les trois médianes sont concourantes en un point $G$ qui est le centre de gravité du triangle.

Remarque

$G$ se trouve aux deux tiers de la médiane $[AI]$ en partant de $A$ : $\V{AG}=\dfrac23\V{AI}$ .

Définition

La médiatrice du segment $[AB]$ est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.

C’est aussi l’ensemble des points du plan équidistants de $A$ et de $B$ .

Les trois médiatrices sont concourantes en un point $O$ qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Définition

La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

Les trois bissectrices sont concourantes en un point $I$ qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Grands théorèmes de géométrie plane en maths en seconde

Propriété 1 : Théorème de Thalès

$O$ , $A$ , $B$ sont trois points du plan, $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux droites $(OA)$ et $(OB)$ .

Si les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles alors $\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OB}{ON}=\dfrac{AB}{MN}$ .

Si $\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OB}{ON}$ et si les points $O$ , $A$ , $M$ et $O$ , $B$ , $N$ sont alignés dans le même ordre alors les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Propriété 2 : Théorème des milieux

On se place dans un triangle quelconque.

La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté

Si une droite passe par le milieu d’un premier côté et est parallèle au second côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Remarque

Le théorème des milieux n’est qu’un cas particulier du théorème de Thalès

On a : $D$ milieu de $[AB]$

$E$ milieu de $[AC]$

Alors : $(DE)$ est parallèle à $(BC)$

Et $DE=\frac{1}{2}BC$

Propriété 3 : Théorème de Pythagore

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points du plan, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ équivaut à dire que $AC^2+AB^2=BC^2$ .

Propriété 4

Soient $A$ et $B$ deux points d’un cercle de centre $O$ .

Pour tout point $M$ de ce cercle, la mesure de l’angle géométrique $\widehat{AMB}$ est égale à la moitié de celle de l’angle au centre $\widehat{AOB}$ .

Conséquences

Si $M$ et $N$ sont deux points du cercle de centre $O$ alors $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$ ,

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ alors il est inscrit dans le cercle de diamètre $[BC]$

Si le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[BC]$ alors il est rectangle en $A$ .

Transformations : Configuration du plan et de l’espace

Définition

$M'$ est l’image du point $M$ par la symétrie de centre $O$ signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$ .

La symétrie centrale conserve les longueurs, le parallélisme, l’orthogonalité, les angles géométriques et orientés, les formes et les figures.

Définition

$M'$ est l’image du point $M$ par la symétrie d’axe $\Delta$ signifie que la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[MM']$ .

La symétrie axiale conserve les longueurs, le parallélisme, l’orthogonalité, les angles géométriques, les formes et les figures.

Par contre, elle inverse les angles orientés.

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Propriétés des quadrilatères en 2nde

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Propriété 5

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu.

Définition

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.

Propriété 6

Un losange est un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Propriété 7

Un rectangle est un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu et sont de même longueur.

Définition

Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Propriété 8

Un carré est un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires.

Cours volume usuel de l’espace en maths seconde

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