Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Cours : Nombres complexes en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Résumé de cours et méthodes – sommes trigonométriques, linéarisation
Méthode 1 : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement.
Pour passer de la forme algébrique (supposé non nul avec ) à la forme exponentielle (), il faut commencer par factoriser par le module du nombre complexe et essayer de reconnaître un argument. On commencera donc par calculer et on trouvera un réel tel que :
Le passage de la forme exponentielle à la forme algébrique est plus simple, il suffit de calculer l’exponentielle.
Exemple : Soit
Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : .
Réponse :
En factorisant par on a
Ici, on pourrait penser que l’on a fini, il faut quand même vérifier que est bien le module de c’est-à-dire il faut vérifier que ce nombre est strictement positif.
Comme on a bien
Méthode 2 : Utiliser l’écriture exponentielle d’un nombre complexe.
On utilisera cette méthode pour calculer les puissances d’un nombre complexe.
Exemple : Calculer
Réponse : On pourrait utiliser la formule du binôme de Newton mais après on serait bloqué…
On écrit sous forme exponentielle, ainsi puis . Comme on a
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Méthode 3 : Calculer des sommes trigonométriques.
Si l’on doit calculer des sommes faisant apparaître des et/ou des il faut penser à utiliser les formules d’Euler :
et
Ou bien de manière équivalente, on a :
Exemple : Soient et ,
Réponse :
Pour cela, écrivons
=
=
=
Cette dernière somme est la somme des termes d’une suite géométrique de raison , ainsi
=
=
En appliquant les formules d’Euler, on a finalement :
=
=
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Méthode 4 : Linéariser des et .
On utilise les formules d’Euler rappelées ci-dessus pour pouvoir obtenir une expression linéarisée (c’est-à-dire qu’il n’y a plus de puissances mais seulement des termes de la forme et/ou ) de et/ou .
Il faudra se souvenir de cette méthode, notamment pour le calcul de primitives d’expressions polynomiales en et/ou
Exemple : Que vaut après linéarisation ?
Réponse : On utilise la formule d’Euler puis le binôme de Newton et on écrit
=
=
=
Méthode 5 : Utiliser les racines -ièmes de l’unité.
Dans l’équation admet exactement solutions : les racines -ièmes de l’unité
Intéressons-nous à la résolution dans de l’équation avec et
Si l’on écrit (forme exponentielle), alors il suffit de trouver une solution particulière de l’équation Par exemple, convient.
Exemple : Quel est l’ensemble des solutions de l’équation :
Réponse :
Méthode 6 : Calculer les racines carrées d’un nombre complexe en l’absence d’une forme exponentielle simple.
Rappelons que la notation n’a pas de sens ! D’ailleurs, un nombre complexe non nul admet deux racines carrées (c’est-à-dire qu’il existe deux nombres tels que ).
Exemple :
Quelles sont les racines carrées de ?
(i)
(ii)
(iii)
Réponse :
Soit tel que = =
Cela nous donne =
En calculant le module, on obtient soit Nous avons ainsi les relations suivantes :
En sommant les deux premières lignes, on a
Si alors la troisième équation donne
Si alors la troisième équation donne
Les deux racines carrées de sont, après avoir utilisé l’expression conjuguée, et
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