Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours : Oscillateur harmonique en MPSI, PCSI, PTSI

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de physique en Maths Sup

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Résumé de cours et méthodes – vibrations

1. Oscillateur élastique en maths sup

1. Modéliser l’action d’un ressort.

La force exercée par un ressort de constante de raideur $k$ , de longueur à vide $\ell_0$ , sur un point matériel $M$ accroché à son extrémité est dans la direction de ce ressort,

* elle repousse $M$ si le ressort est comprimé ( $\ell<\ell_0$ )

* elle attire $M$ si le ressort est tendu ( $\ell>\ell_0$ ).

La loi est donc

$\displaystyle{\vec{F}=\pm k(\ell-\ell_0)\vec{u}}$

où $\vec{u}$ est un vecteur unitaire dans la direction de l’axe du ressort.

La longueur $\ell$ du ressort doit en général être exprimée en fonction des coordonnées de $M$

Le signe est ajusté selon la règle précédente :

* on fait un schéma sans ambiguïté pour le caractère comprimé ou étiré du ressort

* on lit sur la figure l’expression de la longueur $\ell$

* on trace le vecteur force correspondant

* on en déduit le signe.

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2. Écrire l’équation différentielle de l’oscillateur élastique.

Pour obtenir l’équation différentielle vérifiée par l’oscillateur élastique, on applique le PFD à l’objet $M$ de masse $m$ dans le référentiel galiléen du laboratoire.
Il est soumis à au moins une force de rappel élastique de ressort, et à d’éventuelles autres forces (poids, réaction normale d’un support, forces de frottement, etc.).
Dans le cas le plus simple où $M$ est soumis à l’action d’un ressort unique, qu’il coulisse sans frottement sur un axe $(O,x)$ et que $O$ correspond à la position d’équilibre où le ressort est à sa longueur à vide, on a
$\displaystyle{-kx=m\stackrel{\cdot\cdot}{x}}$
soit $\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{k}{m}x=0}$
Cette équation facilement reconnaissable est l’équation du type oscillateur harmonique dont la forme générale sans second membre est
$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{X}+\omega_0^2X=0}$
et avec second membre constant
$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{X}+\omega_0^2X=\omega_0^2X_e}$

Exemple.
Un mobile $M$ est accroché à l’extrémité inférieure d’un ressort dont l’extrémité supérieure est accrochée au plafond.

L’axe $z$ est vertical, dirigé vers le bas, son origine est au plafond.
Quelle est l’équation différentielle vérifiée par $z(t)$ ?

Corrigé :

Le PFD appliqué à $M$ , soumis à son poids et à la force de rappel du ressort, dans le référentiel galiléen du laboratoire, s’écrit, en projection sur l’axe $z$
$\displaystyle{+mg-k(z-\ell_0)=m\stackrel{\cdot\cdot}{z}}$
soit $\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{z}+\frac{k}{m}z=\frac{k}{m}\ell_0}$

2. Mouvement harmonique

1. Conditions initiales.

La résolution d’une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ fait en général apparaître $2$ constantes d’intégration, et pour les déterminer, il faut donner 2 conditions initiales (notées CI dans tout ce qui suit) caractérisant la position et la vitesse à $t=0$
$x(0)$ et $\stackrel{\cdot}{x}(0)$

Exemple.

Dans le cas étudié au paragraphe précédent, on considère deux états initiaux.
1. $M$ est abandonnée sans vitesse initiale depuis sa position où le ressort n’est pas tendu.
2. $M$ est lancé vers le haut avec une vitesse initiale de norme $V_0$ depuis sa position d’équilibre.
Quelles sont les expressions de $z(0)$ et de $\stackrel{\cdot}{z}(0)$ dans ces deux cas ?

Corrigé :

1. L’origine étant au plafond, $z(0)=\ell_0$ et la vitesse initiale étant nulle
$\stackrel{\cdot}{z}(0)=0$ .
2. La vitesse initiale est vers le haut et l’axe $z$ orienté vers le bas donc
$\stackrel{\cdot}{z}(0)=-V_0$ .
À l’équilibre, la vitesse et l’accélération sont nuls donc
$\displaystyle{+mg-k(z_{\mathrm{eq}}-\ell_0)=0}$
soit $\displaystyle{z(0)=z_{\mathrm{eq}}=\ell_0+\frac{mg}{k}}$

2. Solution de l’équation d’oscillateur harmonique.

La solution générale de l’équation différentielle d’oscillateur harmonique sans second membre admet deux expressions équivalentes.
* La première fait apparaître les deux constantes d’intégration :
l’amplitude $C$ du mouvement et la phase $\varphi$
$X(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)$
* La seconde fait apparaître deux constantes d’intégration $A$ et $B$ moins riches de sens physique mais souvent plus faciles à déterminer grâce aux CI
$X(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$
De même, la solution de l’équation avec second membre s’écrit
$X(t)=X_e+C\cos(\omega_0t+\varphi)$
Nous traîterons, sauf mention explicite, le cas où $X_e=0$ .
Voici la méthode préconisée pour calculer les constantes d’intégration (( $C$ et $\varphi$ ) ou ( $A$ et $B$ )).
* On exprime $X(t)$ et on dérive aussitôt pour exprimer $\stackrel{\cdot}{X}(t)$
* On traduit ces deux relations à $t=0$
* Dans la première forme de solution, on détermine $\varphi$ en choisissant n’importe quel angle $\varphi$ solution (il est inutile d’eprimer un modulo $2\pi$ pour une phase) et en calculant $C$ dans ce cas.
Dans certains cas particulièrement difficiles, on pensera à éliminer $C$ en divisant deux expressions et en faisant apparaître $\tan\varphi$ , ou à éliminer $\varphi$ en utilisant la relation
$\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$
* Dans la seconde forme, on obtient un système linéaire en $(A,B)$ , qui est souvent facile à résoudre si l’abscisse initiale ou la vitesse initiale est nulle.

Exemple. Déterminer dans chaque cas les constantes d’intégration pour un oscillateur harmonique sans second membre avec les CI
1. $X(0)=X_0$ et $\stackrel{\cdot}{X}(0)=0$
2. $X(0)=0$ et $\stackrel{\cdot}{X}(0)=V_0$

Vous trouverez le corrigé de cet exemple dans notre application mobile PrepApp.

3. Évolutions dans le temps.

L’oscillateur harmonique a pour pulsation propre
$\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}$
Les oscillations de $M$ sont périodiques, de période
$\displaystyle{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$
L’amplitude des oscillations est $C$ (première forme), la phase $\varphi$ (première forme) qui dépend de la date $t=0$ choisie.
La vitesse, elle, varie avec la même période, mais elle est déphasée par rapport à la position, sa valeur absolue est maximale quand l’abscisse est nulle, et réciproquement.

Exemple.
Calculer la pulsation propre, la période et la fréquence des oscillations d’un oscillateur élastique défini par

$k=500~\mathrm{N\cdot m^{-1}}$ ,
$\ell_0=1,50~\mathrm{m}$

et $m=120~\mathrm{g}$

Corrigé :

Attention à deux choses :
$\omega_0$ ne dépend pas de $\ell_0$
et l’unité internationale de la masse est le kilogramme.
On calcule
$\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{500}{0,120}}=64,5~\mathrm{rad\cdot s^{-1}}}$
$\displaystyle{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=97,3~\mathrm{ms}}$
$\displaystyle{f_0=\frac1{T_0}=10,3~\mathrm{Hz}}$

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3. Aspect énergétique

1. Énergies cinétique, potentielle élastique, mécanique.

L’oscillateur élastique possède deux formes d’énergies.
* L’énergie cinétique
$\displaystyle{Ec=\frac12mv^2(t)=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2(t)}$
* L’énergie potentielle élastique
$\displaystyle{Ep=\frac12k(\ell-\ell_0)^2=\frac12kx^2(t)}$
On peut constater algébriquement que l’énergie mécanique
$Em=Ec+Ep$

est constante au cours du temps, ce qui traduit l’absence de pertes par frottement ou d’apport d’énergie.
Les énergies s’expriment en joules (J).
Graphiquement, on constate un échange périodique des deux formes d’énergie,
$Ec$ est maximale quand $Ep$ est nulle (ressort non tendu ou comprimé),
$Ep$ est maximale quand $Ec$ est nulle (positions extrémales de tension ou de compression).

En cas de faibles frottements, on constate une décroissance globale de l’énergie mécanique.

Exemple.
Vérifier que la solution
$x(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)$
est compatible avec la loi de conservation de l’énergie mécanique.

Corrigé :

On exprime
$x(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)$
$\stackrel{\cdot}{x}(t)=-C\omega\sin(\omega_0t+\varphi)$
On en déduit
$\displaystyle{Ep=\frac12kx^2(t)=\frac12kC^2\cos^2(\omega_0t+\varphi)}$
$\displaystyle{Ec=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2(t)=}$
$\displaystyle{Ec=\frac12mC^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0t+\varphi)}$
Or l’expression de $\omega_0$ prouve que
$\displaystyle{mC^2\omega_0^2=kC^2}$
De plus, la somme du sinus carré et diu cosinus carré du même angle vaut 1 donc
$\displaystyle{Em=Ep+Ec=\frac12kC^2=\mathrm{constante}}$

2. Obtenir l’équation différentielle en traduisant la conservation de $Em$ .

Il est possible réciproquement, à partir de l’expression de l’énergie mécanique d’un système mécanique, d’établir l’équation différentielle vérifiée par l’unique variable. On doit pour ça savoir que
$\displaystyle{\frac{d(u^2(t))}{dt}=2u'(t)u(t)=2\frac{du(t)}{dt}\cdot u(t)}$
Ainsi, en exprimant l’énergie mécanique de l’oscillateur élastique
$\displaystyle{Em=Ec+Ep=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2+\frac12kx^2(t)}$
et en dérivant cette grandeur qui est constante, on obtient
$\displaystyle{0=\frac12m\cdot 2\stackrel{\cdot\cdot}{x}\stackrel{\cdot}{x}+\frac12k\cdot 2\stackrel{\cdot}{x}x(t)=0}$
soit, après simplifications
$0=m\stackrel{\cdot\cdot}{x}+kx$
qui est bien l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique élastique.

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