Chapitres Maths en ECS2

Cours : Réduction des endomorphismes en ECS2

Ce résumé de cours concernant les réductions des endomorphismes est primordial de le maîtriser parfaitement, car elles revêtent une importance cruciale. Si vous rencontrez des difficultés, n’hésitez pas à solliciter l’assistance de cours de maths en ligne.

Cours ECS 2 : Valeurs propres, Vecteurs propres et Réduction

1. Eléments propres : présentation

Dans ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$ , $n \geq 1$ , sur $\mathbb{K}$ , ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ),
$\mathcal{B}=(e_{1},...,e_{n})$ est une base de $E$ , $f$ est un endomorphisme de $E$ , $M$ est la matrice dans la base $\mathcal{B}$ de $f$ .

Méthode 1 : Comment savoir si $x$ , $x \in E$ , est un vecteur propre de $f$ ?

Si $x=0$ , $x$ n’est pas un vecteur propre.
Si $x \neq 0$ , on calcule $f(x)$ . Si $f(x)=\lambda x$ , $\lambda \in \mathbb{K}$ , $x$ est vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda$ .

Exemple : $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})$ , $(e_{1},e_{2})$ est la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$ , $f(e_{1})=2e_{1}+e_{2}$ , $f(e_{2})=-e_{1}$ .
Les vecteurs suivants sont-ils vecteurs propres de $f$ :

$e_{1}+2e_{2}$
$e_{1}+e_{2}$

Réponse :

Non
Oui, attaché à la valeur propre $1$ .

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Méthode 2 : Comment savoir si $\lambda$ , $\lambda \in \mathbb{K}$ , est valeur propre de $f$ (ou de $M$ )? si $0$ est valeur propre de $f$ (ou de $M$ )?

$\lambda$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $f-\lambda \textrm{id}$ n’est pas injective ( $\lambda$ est valeur propre de $M$ si et seulement si $M-\lambda I$ est non inversible).

En particulier, $0$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $f$ n’est pas injective (ou $0$ est valeur propre de $M$ si et seulement $M$ n’est pas inversible) .

Exemple : Quelles sont les valeurs propres de :

$id$ ?
L’application nulle ?

Réponse :

1 est la seule valeur propre
0 est la seule valeur propre

Méthode 3 : Si $\lambda$ est valeur propre de $f$ , comment trouver le sous-espace propre associé?
Le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda$ est $E_{\lambda}$ , où :

$E_{\lambda}$ = $\textrm{Ker}(f-\lambda \textrm{id})$

= $\lbrace x\in E\ |\ (f-\lambda \textrm{id})(x)$ = $0 \rbrace$

= $\lbrace x\in E|f(x)$ = $\lambda x\rbrace$ .

En particulier, le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ est $\textrm{Ker}(f)$ .

Exemple :

$M=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ -2& 3& 0\\ 0& -2& 3 \end{pmatrix}$ . Justifier que $3$ est valeur propre de $f$ et trouver le sous-espace propre associé.

Méthode 4 : Si $\lambda$ est valeur propre de $f$ , comment trouver les vecteurs propres de $f$ associés à $\lambda$ ?

Ce sont les vecteurs non nuls qui vérifient $f(x)=\lambda x$ .

Exemple :

$f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$ qui admet la valeur propre $3$ . Le sous-espace propre de $f$ associé à $3$ est $\textrm{Vect}(4e_{1}-5e_{2})$ .
Les vecteurs propres de $f$ sont les $a(4e_{1}+5e_{2})$ , $a\in \mathbb{R}$ ?

Réponse : Non, $a(4e_{1}+5e_{2})$ est vecteur propre si et seulement si $a\neq 0$ .

2. Recherches des valeurs et vecteurs propres

Méthode 5 : Comment utiliser les éléments propres de $f$ pour trouver ceux de :
(i) $a\emph{id}+bf$ ?
(ii) $f^{k}$ , $k\in \mathbb{N}^{*}$ ?
(iii) $P(f)$ , où $P$ est un polynôme?

Si $\lambda$ est valeur propre de $f$ et si $x$ est un vecteur propre associé ( $f(x)=\lambda x$ , $x\neq 0$ ), alors
(i) $(a \textrm{id} +bf)(x)=(a+b\lambda)x$
(ii) $f^{k}(x)=\lambda^{k}x$
(iii) $P(f)(x)=P(\lambda)x$ ,
donc $a+b\lambda$ , $\lambda^{k}$ , $P(\lambda)$ sont valeurs propres de $a \textrm{id}+bf$ ,
$f^{k}$ , $P(f)$ , et $x$ est vecteur propre associé.

Exemple : $f$ a pour valeurs propres $2$ et $3$ .

A-t-on $\textrm{Sp}(2f-\textrm{id})=\{3,5 \}$ ?

Méthode 6 : Comment trouver le spectre de $f$ (ou de $M$ )?

Le spectre de $f$ (ou de $M$ ) est l’ensemble des valeurs propres de $f$ (ou de $M$ ).
(i) Si $M$ est triangulaire, les valeurs propres de $f$ (ou de $M$ ) sont les coefficients diagonaux de $M$ .
(ii) On sait que $f$ (ou $M$ ) admet un polynôme annulateur non nul.
Si $P$ est un tel polynôme ( $P(f)=0$ (ou $P(M)=0$ ) ), les valeurs propres de $f$ (ou de $M$ ) sont à chercher parmi les racines de $P$ .
(iii) En général, on résout l’équation $f(x)=\lambda x$ , d’inconnue $x$ , (ou le système fourni par l’équation matricielle $MX=\lambda X$ , d’inconnue $X$ ),
et on discute suivant les valeurs de $\lambda$ : si pour $\lambda=\lambda_{0}$ on obtient d’autres solutions que $0$ , alors $\lambda_{0}$ est valeur propre,
sinon elle ne l’est pas.

Exemple : Trouver le spectre de $A=\begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 0& -1& 4\\ 0& 0& 3 \end{pmatrix}$ .

Réponse : $\textrm{Sp}(M)=\lbrace 2, -1, 3 \rbrace$ .

Méthode 7 : Quand on a trouvé les valeurs propres de $f$ , que peut-on dire des sous-espaces propres?

(i) Des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
Donc, si $\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}$ sont des valeurs propres distinctes de $f$ , on a:
$\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{k} E_{\lambda_{i}}\subset E$ , et
$\displaystyle \sum_{i=1}^{k} \textrm{dim}(E_{\lambda_{i}})\leq \textrm{dim}(E)$ .
(ii) Si $f$ admet $n$ valeurs propres distinctes, les sous-espaces propres de $f$ sont de dimension $1$ et $E$ est somme directe de ces sous-espaces.

Exemple : $f\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{4})$ , $1, 2$ , et $3$ sont valeurs propres de $f$ , et on a: $f(e_{2}+e_{3})=e_{2}+e_{3}$ et $f(e_{4})=e_{4}$ .

Trouver le spectre de $f$ et la dimension des sous-espaces propres de $f$ .

Méthode 8 : Comment savoir qu’on a bien toutes les valeurs propres de $f$ (ou de $M$ )?

(i) Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
Une famille libre a au plus $n$ éléments, donc $f$ admet au plus $n$ valeurs propres distinctes.
(ii) Des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
Si $\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}$ sont valeurs propres de $f$ et si $E=\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{k} E_{\lambda_{i}}$ , ou si
$\textrm{dim}(E)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\textrm{dim}(E_{\lambda_{i}})$ , (les deux conditions sont équivalentes), alors
$\textrm{Sp}(f)=\lbrace \lambda_{1},\dots,\lambda_{k}\rbrace$ .

Exemple : $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^{5}$ , $M$ n’est pas inversible, $2$ est valeur propre de $f$ et le sous-espace propre associé est de dimension
$2$ , et $f(e_{1})=-e_{1}$ , $f(e_{3}+e_{4})+e_{4}=-e_{3}$ .

Trouver le spectre de $f$ .

Réponse : $0$ est valeur propre de $f$ , donc $\textrm{dim}(E_{0})\geq 1$ ; $-1$ est valeur propre de $f$ , $e_{1}$ et $e_{3}+e_{4}$ appartiennent à $E_{-1}$ , et
ces deux vecteurs forment une famille libre, donc $\textrm{dim}(E_{-1})\geq 2$ . La somme des dimensions des sous-espaces propres associés à $0, 2$ , et
$-1$ est au moins $5$ , donc égale à $5$ . On a donc toutes les valeurs propres de $f$ : ce sont $0, 2$ , et $-1$ .

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3. Réduction

Méthode 9 : Comment montrer que $f$ (ou $M$ ) est diagonalisable?

On doit montrer qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale (ou que $M$ est semblable à une matrice diagonale).

Exemple : $f\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})$ et $f(e_{1}+e_{2})=e_{1}+e_{2}$ , $f(e_{1}-e_{2})=-e_{1}+e_{2}$ . $f$ est-elle diagonalisable?

Réponse : Oui: $(e_{1}+e_{2}, e_{1}-e_{2})$ est une base de $\mathbb{R}^{2}$ et la matrice de $f$ dans cette base est $\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$ .

Méthode 10 : Comment caractériser une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale?

La matrice de $f$ dans une base de $E$ est diagonale si et seulement si cette base est formée de vecteurs propres de $f$ .

Exemple : $M=\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0 \end{pmatrix}$ . Peut-on trouver une base de $\mathbb{R}^{2}$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale?

Méthode 11 : Comment trouver une base de $E$ formée de vecteurs propres de $f$ ?

Si $\textrm{Sp}(f)=\lbrace \lambda_{1},\dots ,\lambda_{k} \rbrace$ , et si $\displaystyle E=\bigoplus _{i=1}^{k} \textrm{Ker}(f-\lambda \textrm{id})$ $(1)$
ou, ce qui est équivalent $\displaystyle \textrm{dim}(E)=\sum_{i=1}^{k} \textrm{dim}(\textrm{Ker}(f-\lambda \textrm{id}))$ $(2)$ , on obtient une base de $E$
en concaténant des bases $\mathcal{B}_{1},\dots, \mathcal{B}_{k}$ de $\textrm{Ker}(f-\lambda_{1}\textrm{id}),\dots, \textrm{Ker}(f-\lambda_{k}\textrm{id})$ .
Si l’une ou l’autre des conditions équivalentes $(1)$ ou $(2)$ n’est pas vérifiée, on ne peut pas trouver une telle base.

Exemple : $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ ; le noyau de $f$ est la droite vectorielle de base $e_{1}+e_{2}+e_{3}$ ; $f$ admet la valeur propre $2$ et le
sous-espace propre asocié a pour équation $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ .

Peut-on trouver une base de $\mathbb{R}^{3}$ formée de vecteurs propres de $f$ ?

Réponse : Oui: par exemple $(e_{1}-e_{2}, e_{1}-e_{3})$ est une base de $E_{2}$ , $e_{1}+e_{2}+e_{3}$ appartient à $E_{0}$ , donc

$(e_{1}-e_{2}, e_{1}-e_{3}$ ,

$e_{1}+e_{2}+e_{3})$ est une base convenable.

Méthode 12 : Dans quels cas simples peut-on dire que $f$ est diagonalisable si :

(i) $f$ admet $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ , $f$ est diagonalisable: $M$ est semblable à
$\textrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ , les sous-espaces propres sont de dimension $1$ .
(ii) $f^{2}=f$ , c’est-à-dire si $f$ est un projecteur, $f$ est diagonalisable: $f=0$ , ou $f=\textrm{id}$ , ou sinon $\textrm{Sp}(f)=\lbrace 0,1 \rbrace$ ,
$E_{0}=\textrm{Ker}(f)$ , $E_{1}=\textrm{Im}(f)$ , et $M$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0& 0\\ 0&I_{r} \end{pmatrix}$ , où $r=\textrm{rang}(f)$ .
(iii) $f^{2}=\textrm{id}$ , c’est-à-dire si $f$ est une symétrie vectorielle, $f$ est diagonalisable: $f=\textrm{id}$ , ou $f=-\textrm{id}$ , ou sinon
$\textrm{Sp}(f)=\lbrace 1,-1 \rbrace$ , et $M$ est semblable à $\begin{pmatrix} I_{k}& 0\\ 0& -I_{n-k}\end{pmatrix}$ , où $k=\textrm{dim}(E_{1})$ .

Exemple : $f$ vérifie $(f-2\textrm{id})^{2}=\textrm{id}$ . Est-elle diagonalisable ?

Méthode 13 : Quand on sait que $M$ est semblable à une matrice diagonale $D$ connue, comment retrouver à l’aide de $D$ les éléments propres de $f$ (ou de $M$ )?

(i) Le spectre de $f$ est l’ensemble des éléments diagonaux distincts de $D$ .
(ii) Pour $\lambda \in \textrm{Sp}(f)$ , la dimension de $\textrm{Ker}(f-\lambda\textrm{id})$ est le nombre d’éléments diagonaux de $D$ égaux à $\lambda$ .
(iii) Si $M=PDP^{-1}$ , les colonnes de $P$ sont les matrices dans la base $(e_{1},\dots,e_{n})$ de vecteurs propres $u_{1},\dots,u_{n}$ associés aux coefficients
diagonaux $d_{1},\dots,d_{n}$ de $D$ , et ces vecteurs forment une famille libre.
(iv) Si les éléments diagonaux de $D$ égaux à $\lambda$ sont $d_{k},\dots, d_{k+j}$ , alors
$\textrm{Ker}(f-\lambda\textrm{id})=\textrm{Vect}(u_{k},\dots,u_{k+j})$ .
(v) Si $\textrm{Sp}(f)=\lbrace \lambda_{1},\dots, \lambda_{k}\rbrace$ , et si, pour $1\leq i\leq k$ , $\textrm{dim}(\textrm{Ker}(f-\lambda_{i}\textrm{id})=n_{i}$ ,
alors $\textrm{Tr}(M)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k} n_{i}\lambda_{i}$ .

Exemple :

$M=PDP^{-1}$ , où $D=\textrm{diag}(1, 2, 1, 3)$ et $P=\begin{pmatrix} 1& 2& 0& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 1\end{pmatrix}$ .

Trouver les valeurs propres de $f$ , donner la dimension et une base des sous-espaces propres.

Réponse : $\textrm{Sp}(M)=\{ 1, 2, 3\}$ , $\textrm{dim}(E_{1})=2$ , $\textrm{dim}(E_{2})=\textrm{dim}(E_{3})=1$ , $E_{1}=\textrm{Vect}(e_{1}+e_{3}, -e_{2}-e_{4})$ ,
$E_{2}=\textrm{Vect}(2e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4})$ , $E_{3}=\textrm{Vect}(e_{1}+2e_{2}+e_{3}+e_{4})$ .

Méthode 14 : Comment utiliser la réduction pour étudier $f$ ?

(i) Les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $f$ , et la restriction de $f$ à $E_{\lambda}$ est $\lambda \textrm{id}$ .

Si $E$ est somme directe de sous-espaces propres, et que l’on veut établir une propriété de $f$ , il suffit souvent de l’établir sur chaque sous-espace propre.

(ii) Les calculs matriciels sont plus simples avec une matrice diagonale.

En particulier, si $A=PDP^{-1}$ , alors, pour $n\in \mathbb{N}$ , $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ .

Exemple : $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$ , de matrice $M=\begin{pmatrix} 1& 8\\ 1& 3\end{pmatrix}$ . Calculer $M^{n}$ .

Réponse : $\textrm{Sp}(M)=\{-1,5\}$ , si $D=\textrm{diag}(-1,5)$ et $P=\begin{pmatrix} -4& 2\\ 1& 1 \end{pmatrix}$ , $M=PDP^{-1}$ , donc
$M^{n}=P\textrm{diag}((-1)^{n},5^{n})P^{-1}$ .