Chapitres Maths en ECS2

Cours : Compléments sur les variables aléatoires réelles en ECS2

Ce cours en ligne consacré aux compléments sur les variables aléatoire réelles en ECS2 représente une précieuse ressource pour vous aider à avancer tout au long de votre année en classe préparatoire aux grandes écoles. N’hésitez pas à enrichir votre apprentissage en combinant nos cours gratuits en ligne avec nos cours de soutien en maths.

Valeurs propres & Vecteurs propres et Probas à densité

1. Généralités sur les variables aléatoires réelles

Méthode 1 : Comment utiliser les tribus?

$\bullet$ Un espace probabilisable est un couple $(\Omega,\mathcal{A})$ où $\mathcal{A}$ est une tribu sur $\Omega$ : c’est la tribu des événements.

$\bullet$ Sur $\mathbb{R}$ , la tribu des Boréliens est la plus petite tribu contenant tous les intervalles de $\mathbb{R}$ .
On peut dire aussi que la tribu des Boréliens est la plus petite tribu contenant tous les intervalles du type $]-\infty, x]$ , $x\in \mathbb{R}$ , puisqu’on peut écrire tous les intervalles de $\mathbb{R}$ à l’aide d’intervalles de ce type et des opérations passage au complémentaire, intersection au plus dénombrable, union au plus dénombrable.

$\bullet$ Une application $X:\Omega\to \mathbb{R}$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\mathcal{A})$ si, pour tout $x\in \mathbb{R}$ , $[X\leq x]\in \mathcal{A}$ .

$\bullet$ Si $X$ est une variable aléatoire sur $(\Omega,\mathcal{A})$ , la tribu $\mathcal{A}_{X}$ liée à $X$ est la plus petite tribu contenant les $[X\leq x]$ , $x\in \mathbb{R}$ .
Alors, pour tout intervalle $I$ , $[X\in I]\in \mathcal{A}_{X}$ , et même pour tout Borélien $B$ , $[X\in B]\in \mathcal{A}_{X}$ .

$\bullet$ Utiliser les tribus permet de faire les opérations ensemblistes indifféremment sur les Boréliens ou sur les éléments de $\mathcal{A}_{X}$ , comme on le trouve le plus commode,
on passe des uns aux autres à l’aide de $X$ .
On ne cherche pas, en général, à décrire tous les éléments d’une tribu; on s’en sert, tout simplement.

Exemple : $X$ est une variable aléatoire réelle sur $(\Omega,\mathcal{A})$ . Est-ce que $[|X|>2]$ appartient à $\mathcal{A}_{X}$ ?

Méthode 2 : Comment montrer que $X$ est une variable aléatoire réelle?

On vérifie d’abord que $X$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ . Puis on peut

$\bullet$ Montrer que, pour tout $x$ réel, $[X\leq x]$ est un événement;

$\bullet$ Remarquer que $X$ s’écrit comme combinaison linéaire, somme, ou produit de variables réelles, et utiliser: si $U$ et $V$ sont deux variables réelles sur $(\Omega,\mathcal{A})$ , si $a$ et $b$ sont deux réels, alors $aU+b$ , $U+V$ , $UV$ sont des variables aléatoires réelles sur $(\Omega,\mathcal{A})$ .

Exemple : $X$ est une v.a.r. strictement positive sur $(\Omega,\mathcal{A})$ . On pose $Y=\ln (X)$ .

$Y$ est-elle une v.a.r.?

Réponse : Pour tout $y$ réel, $[Y\leq y]=[X\leq e^{y}]$ , et comme $X$ est une v.a.r., $[X\leq e^{y}]\in \mathcal{A}$ , donc $Y$ est une v.a.r..

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2. Recherches des valeurs et vecteurs propres

Méthode 3 : Comment peut-on calculer sur des sommes infinies?

Si la série $\displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} |a_{i}|$ converge, alors $\displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} a_{i}$ est un réel que l’on peut calculer, comme
lorsque la somme est finie, en changeant l’ordre des termes (commutativité généralisée), ou en regroupant certains termes (associativité généralisée).

De même, si la somme double $\displaystyle \sum_{(i,j)\in I\times J} |a_{i,j}|$ converge, on peut calculer $\displaystyle \sum_{(i,j)\in I\times J} a_{i,j}$ , et pour ce faire,
on peut changer l’ordre des termes ou regrouper certains termes comme dans le cas des sommes finies.

Exemple : Calculer $S$ , où $S=\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}} (i+j)e^{-(i+j)}$ .

Réponse : Les termes de la somme sont positifs. Sous réserve d’existence des sommes infinies, on a:
$S=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{(i,j):i+j=k} ke^{-k}=\sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)ke^{-k}=\sum_{h=1}^{+\infty} h(h-1)(1/e)^{h-1}= (1/e)\sum_{h=2}^{+\infty}h(h-1)(1/e)^{h-2}$ .
Comme $1/e \in [0,1[$ , cette dernière somme est un réel, à savoir $\dfrac{2}{(1-(1/e))^{3}}$ . Donc toutes les sommes écrites convergent, et
$S=(1/e)\dfrac{2}{(1-(1/e))^{3}}$

Méthode 4 : $X$ est une v.a.r. discrète sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ . Comment savoir si $X$ admet une espérance et la calculer? si $X$ est centrée?

$\bullet$ Si $X(\Omega)$ est fini, $X$ admet une espérance: $\mathbb{E}(X)=\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} x_{i}\mathbb{P}([X=x_{i}])$ .

$\bullet$ Sinon, $X$ admet une espérance si et seulement si $\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} |x_{i}|\mathbb{P}([X=x_{i}])$ converge, et si
c’est le cas $\mathbb{E}(X)=\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} x_{i} \mathbb{P}([X=x_{i}])$ .

$\bullet$ Si $X$ admet une espérance: $\begin{cases} \textrm{si}\ \mathbb{E}(X)=0, X \: \textrm{est centr\'ee}. \\ \textrm{en g\'en\'eral, la variable centr\'ee associ\'ee à}\ X\ \textrm{est}\ X-\mathbb{E}(X).\end{cases}$

Exemple : $X$ est une v.a.r. telle que $X(\Omega)=\mathbb{N}^{*}$ et, pour tout $k\in \mathbb{N}^{*}$ , $\mathbb{P}([X=k])=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ .

$X$ admet une espérance? Si oui, calculer $\mathbb{E}(X)$ ;

Réponse : $\mathbb{P}([X=k])=\dfrac{1}{k(k+1)}$ , donc $k\mathbb{P}([X=k])=\dfrac{1}{k+1}$ , et la série de terme général $\dfrac{1}{k+1}$

Méthode 5 : Comment utiliser les inégalités dans les études d’espérance?

$\bullet$ On peut prouver l’existence d’une espérance par domination: si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes telles que $0\leq|X|\leq Y$ p.s., et si $Y$ admet une
espérance, alors $X$ admet une espérance et $|\mathbb{E}(X)|\leq \mathbb{E}(Y)$ .
Pour des v.a.r. qui admettent une espérance, deux propriétés:

$\bullet$ Positivité de l’espérance: si $X$ est une variable discrète positive qui admet une espérance, $\mathbb{E}(X)\geq 0$ , et si $\mathbb{E}(X)=0$ , alors
$X=0$ p.s..

$\bullet$ Croissance de l’espérance: si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. discrètes qui admettent des espérances et si $X\leq Y$ p.s., alors $\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$

Exemple :

$Y$ est une v.a.r. à valeurs dans $\mathbb{N}$ qui admet une espérance, et $X=\ln (1+Y)$ . Montrer que $X$ admet une espérance et que

$0\leq \mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$ .

Réponse : On a: $0\leq X\leq Y$ , donc $\mathbb{E}(X)$ existe et $0\leq \mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$ .

Méthode 6 : Comment définir une probabilité conditionnelle? une loi conditionnelle?

$\bullet$ Si $A$ est un événement tel que $\mathbb{P}(A)\neq 0$ , on peut définir la probabilité conditionnelle par $A$ : pour tout événement $B$ , $\mathbb{P}_{A}(B)=\dfrac {\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}$ . Alors $\mathbb{P}_{A}$ est une probabilité sur $(\Omega,\mathcal{A})$ .

$\bullet$ Si $X$ est une v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , si $A$ est un événement de probabilité non nulle, la loi de $X$ sachant $A$ est la loi de $X$ pour la probabilité $\mathbb{P}_{A}$ . Elle est donnée par $X(\Omega)$ et les $\mathbb{P}_{A}([X=x_{i}])$ pour tout $x_{i}$ de $X(\Omega)$ .

Exemple :

$X$ est une v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ qui suit une loi géométrique de paramètre $p,\ p\in ]0,1[$ .

Que vaut la loi de

$X$ sachant

$[X\geq 2]$ ?

Réponse : La loi de

$X+1$ (Faire le calcul)

Méthode 7 : Qu’est-ce que l’espérance sachant $A$ ? Comment l’utiliser?

$\bullet$ Si $A$ est un événement de probabilité non nulle, l’espérance de $X$ sachant $A$ , si elle existe, est l’espérance de $X$ pour la probabilité $\mathbb{P}_{A}$ :
$\mathbb{E}(X|A)=\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} x_{i}\mathbb{P}_{A}([X=x_{i}])$ , si cette série est absolument convergente.

$\bullet$ On l’utilise dans la formule de l’espérance totale:
Si $(A_{k})_{k\in \mathbb{N}}$ est un système complet d’événements, $X$ admet une espérance si et seulement si
$\displaystyle \sum_{\stackrel{(x_{i},k)\in X(\Omega)\times \mathbb{N}}{\mathbb{P}(A_{k})\neq 0}}|x_{i}|\mathbb{P}_{A_{k}}([X=x_{i}])\mathbb{P}(A_{k})$ converge;
alors pour tout $k$ tel que $\mathbb{P}(A_{k})\neq 0$ , $\mathbb{E}(X|A_{k})$ existe et
$\mathbb{E}(X)=\displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}, \mathbb{P}(A_{k})\neq 0}\mathbb{E}(X|A_{k})\mathbb{P}(A_{k})$ .

Exemple : Les $A_{k}$ forment un système complet d’événements tels que, pour tout $k\in \mathbb{N}$ , $\mathbb{P}(A_{k})=(1/2)^{k+1}$ . La loi de $X$ sachant $A_{k}$ est uniforme
sur $\{ 0,1,\dots,k\}$ . Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

3. Compléments sur les intégrales généralisées

Méthode 8 : Comment définir le reste d’une intégrale convergente? Comment l’utiliser?

$\bullet$ Si $f$ est continue sur $[a,+\infty[$ (ou $[a,b[$ ), et si $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!f \quad$ (ou $\displaystyle \int_{a}^{b}\!\!\!f \quad$ ) converge,

on décomposera souvent l’intégrale en $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f=\int_{a}^{x}\!\!\!f+\int_{x}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \quad \quad$ pour

$x\geq a$ (ou $\displaystyle \int_{a}^{b}f=\int_{a}^{x}\!\!\!f+\int_{x}^{b}\!\!\!f \quad$ , pour $a\leq x<b$ ).

$\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f$ est l’intégrale de la fonction $f$ continue sur $[a,x]$ , le second terme, $\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \quad$
(ou $\displaystyle \int_{x}^{b}\!\!\!f \quad$ ), est le reste.

Quand $x\to +\infty$ (ou quand $x\to b$ ), $\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f\to \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f\quad$
(ou $\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f\to\int_{a}^{b}\!\!\!f \quad$ ), donc le reste tend vers 0 :

si $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \quad$ converge, $\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \to 0 \quad$ quand $x\to +\infty$ ;

si $\displaystyle \int_{a}^{b}f \quad$ converge, $\displaystyle \int_{x}^{b}f \to 0 \quad$ quand $x\to b$ .

$\bullet$ Si $f$ est continue sur $]-\infty,b]$ (ou sur $]a,b])$ , et si $\displaystyle \int_{-\infty}^{b}\!\!\!\!\!\!f \quad$
(ou $\displaystyle \int_{a}^{b}\!\!\!f \quad$ ) converge,on écrira de même

$\displaystyle \int_{-\infty}^{b}\!\!\!\!\!\!f=\int_{-\infty}^{x}\!\!\!\!\!\!f+\int_{x}^{b}\!\!\!f \quad$ pour $x\leq b \quad$

(ou $\displaystyle \int_{a}^{b}\!\!\!f=\int_{a}^{x}\!\!\!f+\int_{x}^{b}\!\!\!f \quad$ pour $a<x\leq b$ )

Le reste est alors $\displaystyle \int_{-\infty}^{x}\!\!\!\!\!\!f \quad$ (ou $\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f \quad$ ), il tend vers $0$ quand $x\to -\infty$ (ou quand $x\to a$ ).

Exemple : Calculer $\displaystyle \lim_{x\to 1,x>1}\int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t-1}}dt$ .

Réponse :

La fonction intégrée est continue sur $]1,2]$ et

$\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{t-1}}dt$ converge.

Pour $1<x\leq 2$ , $\displaystyle \int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t-1}}dt$ est le reste de cette intégrale, il tend vers $0$ quand $x$ tend vers $1$ , $x>1$ .

Méthode 9 : Comment intégrer par parties dans une intégrale généralisée?

Si $f=u'v$ où $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ sur un intervalle $I$ , on effectue une intégration par parties sur un segment $[\alpha,\beta]$ inclus dans $I$ :
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}u'v=[uv]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}uv'$ .
Si $I=[a,+\infty[$ (ou $I=[a,b[$ ), on prend $\alpha=a$ , et, si on le peut, on passe à la limite dans l’égalité quand $\beta\to +\infty$ (ou quand $\beta\to b$ );
si $I=]-\infty,b]$ (ou $I=]a,b]$ ), on prend $\beta=b$ , et, si on le peut, on passe à la limite dans l’égalité quand $\alpha\to -\infty$ (ou quand $\alpha\to a$ ).

Exemple :

Existence et valeur de $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{2} e^{-t^{2}/2} dt$ .

Méthode 10 : Comment effectuer un changement de variable dans une intégrale généralisée?

On utilise le théorème suivant:

Si $f$ est continue sur $]a,b[$ , ( $a,b$ réels ou infinis), si $\varphi:]\alpha,\beta[\to]a,b[$ ( $\alpha, \beta$ réels ou infinis), est une bijection strictement
monotone de classe $C^{1}$ , $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$ et $\displaystyle \int_{a}^{b}f(u)du$ sont de même nature, et
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\displaystyle \int_{\lim_{\alpha}\varphi}^{\lim_{\beta}\varphi}f(u)du$ .

Remarque 1: si $\varphi$ est strictement croissante, $\lim_{\alpha}\varphi=a$ et $\lim_{\beta}\varphi=b$ ;

Si $\varphi$ est strictement décroissante, $\lim_{\alpha}\varphi=b$ et $\lim_{\beta}\varphi=a$ ; on préfère écrire pour la suite des calculs
$\displaystyle \int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f$ .

Remarque 2: dans une intégrale généralisée, on peut toujours effectuer un changement de variable affine: $\varphi(t)=ct+d$ , où $c\neq 0$ .

Exemple :

Existence et valeur de $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-t}}dt$ .

Indication : On pourra effectuer le changement de variable $t=\sin x$

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4. Compléments sur les variables aléatoires à densité

Méthode 11 : $X$ est une v.a.r. à densité sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ . On considère une v.a.r. $Y$ de la forme $Y=g(X)$ .
Comment savoir si $Y$ est à densité et trouver sa loi?

On cherche la fonction de répartition $F_{Y}$ de $Y$ . Si $F_{Y}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ privé peut-être d’un nombre fini de points,
$Y$ est à densité.

Une densité de $Y$ est donnée par $f_{Y}(y)=F_{Y}'(y)$ si $F_{Y}$ est dérivable en $y$ , $f_{Y}(y)=0$ sinon.
Si $f_{Y}$ est nulle en dehors d’un intervalle $]a,b[$ ( $a$ et $b$ réels ou infinis), et strictement positive sur $]a,b[$ , alors $Y(\Omega)=]a,b[$ p.s..

Exemple : $Y=aX+b$ , $a\neq 0$ , et $X$ a pour densité $f$ . $Y$ admet pour densité

(i) $\dfrac{1}{a}f(\dfrac{y-b}{a})$ ?

(ii) $\dfrac{1}{a} f\left( \dfrac {|y-b|}{a}\right)$ ?

(iii) $\dfrac{1}{|a|}f\left(\dfrac{y-b}{a}\right)$ ?

Réponse :

(i) Faux: attention au signe de $a$ ; (ii) Faux; (iii) Vrai.

Méthode 12 : Si $X$ est une v.a.r. à densité et si $Y=g(X)$ , comment étudier l’espérance de $Y$ ?

Si $X(\Omega)=]a,b[$ p.s. ( $a, b$ réels ou infinis), et si $g$ est continue sur $]a,b[$ sauf peut-être en un nombre fini de points, $g(X)$ admet une espérance si et seulement si $\displaystyle \int_{a}^{b} |g(t)|f_{X}(t)dt$ converge, et si c’est le cas, $\displaystyle \mathbb{E}(g(X))=\int_{a}^{b}g(t)f_{X}(t)dt$ .

Méthode 13 : Quelles propriétés de l’espérance peut-on utiliser pour les v.a.r. à densité?

Les propriétés suivantes sont valables pour des v.a.r. $X, Y$ à densité:

$\bullet$ linéarité de l’espérance: si $X$ et $Y$ admettent une espérance, si $a,b$ sont des réels, $aX+bY$ admet une espérance et
$\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)$ ;

$\bullet$ positivité de l’espérance: si $X$ est à valeurs positives et admet une espérance, $\mathbb{E}(X)\geq 0$ ;

$\bullet$ croissance de l’espérance: si $X\leq Y$ p.s., et si $X$ et $Y$ admettent des espérances, alors $\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$ .

Exemple : $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $1/3$ , $Y$ suit une loi uniforme sur $[-1,2]$ .

L’espérance de $X+Y$ est :

(i) $11/6$

(ii) $9/2$

Réponse : La (ii) est vraie : $\mathbb{E}(X)=3$ et $\mathbb{E}(Y)=3/2$ .

Méthode 14 : Comment définir le moment d’ordre $r$ , $r\in \mathbb{N}^{*}$ , d’une v.a.r. à densité? Comment l’utiliser?

$\bullet$ Le moment d’ordre $r$ de $X$ est l’espérance de $X^{r}$ , quand elle existe.

$\bullet$ Si $X$ est à densité et admet un moment d’ordre $r$ , $r\in\mathbb{N}^{*}$ , $X$ admet un moment d’ordre $k$ pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq r$ .

Exemple : $X$ admet pour densité $f$ , où $f(t)=3/t^{4}$ si $t\geq 1$ , $f(t)=0$ sinon.

$X$ admet :

(i) un moment d’ordre 4 ?

(ii) aucun moment d’ordre $r$ , $r\geq 3$ ?

(iii) des moments d’ordre $1$ et $2$ ?

Réponse :

(i) Faux: $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!dt \quad$ diverge.

(ii) Vrai: pour $k\geq 3$ , $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \!\!\!(t^{k}/t^{4})dt \quad$ diverge.

(iii) Vrai: pour

$k\in \{1,2\}$ ,

$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\!\!\!(t^{k}/t^{4})dt \quad$ converge.

Méthode 15 : Comment calculer la variance ou l’écart-type d’une v.a.r. à densité $X$ ? Quelles en sont les propriétés?

$\bullet$ $X$ admet une variance si et seulement si elle admet un moment d’ordre $2$ . Alors $X$ admet une espérance et
$\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^{2})=\mathbb{E}(X^{2})-(\mathbb{E}(X))^{2}$ .

$\bullet$ Si $X$ est à densité et admet une variance,
(i) $\textrm{Var}(X)\geq 0$
(ii) si $a$ et $b$ sont réels, $aX+b$ admet une variance et $\textrm{Var}(aX+b)=a^{2}\textrm{Var}(X)$ .

$\bullet$ Si $X$ admet une variance, l’écart-type de $X$ est $\sigma(X)=\sqrt{\textrm{Var}(X)}$ .

$\bullet$ Si $X$ est à densité et admet une variance, la variable centrée réduite associée à $X$ est $X^{*}=\dfrac{X-\mathbb{E}(X)}{\sigma}$ .

5. Loi $\gamma$ et loi normale

Méthode 16 : Qu’est-ce que la fonction $\Gamma$ ? la loi $\gamma$ ?

$\bullet$ La fonction $\Gamma$ est définie par: $\forall x>0$ , $\Gamma(x)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ .
Elle vérifie la relation: $\forall x>0 \$ $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ , et donc: $\forall n\in \mathbb{N}\$ $\Gamma(n+1)=n!$ .

$\bullet$ Une v.a.r. $X$ suit la loi $\gamma (\nu)$ si elle admet pour densité $f$ : $f(t)=\dfrac{1}{\Gamma(\nu)} t^{\nu-1}e^{-t}$ si $t>0$ , $f(t)=0$ sinon.
Si $X$ suit la loi $\gamma (\nu)$ , $X$ admet une espérance et une variance: $\mathbb{E}(X)=\nu$ , $\textrm{Var}(X)=\nu$ .