Chapitres Maths en ECS2

Cours : Espaces vectoriels, matrices en ECS2

Ce cours en ligne sur les espaces vectoriels est une ressource qui vous accompagnera tout au long de votre parcours en ECS2. Il est important de bien assimiler les notions de manière complète. N’hésitez pas à solliciter l’aide d’un professeur particulier en maths si vous éprouvez le moindre besoin.

Matrices inversibles, Matrices de passage, Matrices semblables

1. Matrice d’un endomorphisme

Méthode 1 : Comment écrire la matrice dans la base $\mathcal{B}$ de $f$ ?

La matrice dans $\mathcal{B}$ de $f$ a $n$ lignes et $n$ colonnes. Pour $1\leq j \leq n$ , la $j^{\textrm{ème}}$ colonne de cette matrice est la matrice (colonne) de $f(e_{j})$ dans $\mathcal{B}$ .

Exemple : Si $f(e_{1})=2e_{1}+e_{2}$ , $f(e_{2})=-e_{1}+3e_{2}$ , écrire $M$ .

Réponse : $M=\begin{pmatrix} 2& -1\\ 1& 3 \end{pmatrix}$

Méthode 2 : Comment savoir si une matrice $A$ à $n$ lignes et $n$ colonnes est la matrice d’un endomorphisme de $E$ ? lequel?

$A$ est la matrice de l’endomorphisme $\varphi$ défini par: $\varphi$ est linéaire et pour $1\leq j \leq n$ la matrice de $\varphi(e_{j})$ dans $\mathcal{B}$ est la $j^{\textrm{ème}}$ colonne de $A$

Méthode 3 : Comment calculer $f(x)$ à l’aide des matrices ?
Si $X$ est la matrice (colonne) dans $\mathcal{B}$ de $x$ , la matrice dans $\mathcal{B}$ de $f(x)$ est $MX$ .
Si $L_{i}=(m_{i_{1}} \dots m_{i_{n}})$ est la $i^{\textrm{ème}}$ ligne de $M$ , et si $X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ , la $i^{\textrm{ème}}$ coordonnée de $f(x)$ est $L_{i}X$ , et $L_{i}X=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n} m_{ij}x_{j}}$

Méthode 4 : Si $f$ et $g$ sont deux endomorphismes de $E$ , comment calculer la matrice de $f\circ g$ ?

On effectue le produit des matrices de $f$ et $g$ dans la base $\mathcal{B}$ (en respectant l’ordre): si $A=Mat_{\mathcal{B}}(f)$ , $B=Mat_{\mathcal{B}}(g)$ et
$C=Mat_{\mathcal{B}}(f\circ g)$ , alors
$C=AB$ . Pour $1\leq i,j \leq n$ , $\displaystyle{c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}}$ .

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2. Isomorphismes et matrices inversibles

Méthode 5 : Comment voir sur $M$ si $f$ est un isomorphisme (c’est-à-dire si $f$ est bijective) ou non?

$f$ est bijective si et seulement si $M$ est inversible.
Si $M$ appartient à $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ , $M=\begin{pmatrix} a& c\\ b& d\end{pmatrix}$ , $M$ est inversible si et seulement $ad-bc\neq 0$ ( $ad-bc$ est le déterminant de $M$ ).

Si $M$ est triangulaire, $f$ est bijective si et seulement si les coefficients diagonaux de $M$ sont tous non nuls.

En général:
– si les colonnes de $M$ forment une famille libre, alors la famille $(f(e_{1}), \dots, f(e_{n}))$ est libre, donc c’est une base de $E$ , donc $f$ est bijective; si les
colonnes de $M$ sont liées, $f$ n’est pas bijective.
– si l’équation $MX=0$ (qui équivaut à $f(x)=0$ ), d’inconnue $X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ , a pour unique solution $X=0$ , alors $Ker(f)=\{0\}$ ,
donc $f$ est injective, et comme $E$ est de dimension finie, $f$ est bijective; si cette équation admet d’autres solutions, $f$ n’est pas injective, donc pas bijective.

Exemple : $A=\begin{pmatrix} 1& 3& 7 \\ 2& 6& 5 \\ -1& -3& 4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0& 1& 1 \\ 1& 2& 1 \\ 3& 0& 2 \end{pmatrix}$ .

Dire si $f$ est un isomorphisme quand sa matrice dans la base $\mathcal{B}$ est $A$ ?

Réponse : Les deux premières colonnes de $A$ sont proportionnelles, donc $A$ n’est pas inversible, donc si la matrice de $f$ est $A$ , $f$ n’est pas un isomorphisme

Méthode 6 : Comment savoir si $f$ est bijective et si elle l’est trouver la matrice de $f^{-1}$ ?

$f$ est bijective, la matrice de

$f^{-1}$ est

$M^{-1}$ .

Si $M=\begin{pmatrix} a& c\\ b& d \end{pmatrix}$ où $ad-bc\neq 0$ , alors $M^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d& -c\\ -b&a\end{pmatrix}$ .

En général, pour trouver $M^{-1}$ ,on résout l’équation $MX=Y$ où $Y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}$ est donnée et
$X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ est l’inconnue (cette équation est équivalente à $f(x)=y$ , où $x$ et $y$ ont pour matrices $X$ et $Y$ dans $\mathcal{B}$ ). C’est une équation matricielle, qui se présente comme un système où les inconnues sont $x_{1}$ , $x_{2}, \dots , x_{n}$ , et on peut résoudre ce système par la méthode que l’on veut (la méthode de Gauss en est un exemple).

Si cette équation admet toujours (quelque soit

$Y$ )une unique solution

$X$ , on peut l’écrire

$X=CY$ où

$C$ est une matrice à

$n$ lignes et

$n$ colonnes (ce qui équivaut à

$x=g(y)$ ,

$g$ étant est l’endomorphisme dont la matrice dans

$\mathcal{B}$ est

$C$ ).

Donc

$f$ est bijective (et

$f^{-1}=g$ ), donc

$Mat_{\mathcal{B}}(f^{-1})=C$ et

$C=M^{-1}$ .

Méthode 7 : Comment montrer que $f$ est bijective et trouver $f^{-1}$ en utilisant un polynôme annulateur?

$a_{0}id+a_{1}f+\dots+a_{p}f^{p}=0$ (ou si

$a_{0}I_{n}+\dots+a_{p}M^{p}=0$ ) et si

$a_{0} \neq 0$ , alors

$f$ (ou

$M$ ) est inversible et

$f^{-1}=\displaystyle{-\frac{1}{a_{0}} (a_{1}id+\dots+a_{p}f^{p-1}})$ (ou

$M^{-1}=\displaystyle{-\frac{1}{a_{0}}(a_{1}I_{n}+\dots+a_{p}M^{p-1})}$

Exemple : $M^{3}-2M^{2}+4M+5I=0$ . $M$ est-elle inversible? Si oui, exprimer $M^{-1}$ à l’aide de $M$ . $M$ est-elle inversible?

Réponse : $-5I= M(M^{2}-2M+4I)=(M^{2}-2M+4I)M$ , donc $M$ est inversible et $M^{-1}={-\frac{1}{5}(M^{2}-2M+4I)}$ .

3. Matrices de passage

Méthode 8 : Comment écrire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de la base $\mathcal{B}$ à une autre base $\mathcal{B}'$ de $E$ ? et la matrice de passage de $\mathcal {B}'$ à $\mathcal{B}$ ?

Si $\mathcal{B}'=(e'_{1},\dots,e'_{n})$ , pour $1\leq j \leq n$ , la $j^{\textrm{ème}}$ colonne de $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est la matrice dans $\mathcal{B}$ du vecteur
$e'_{j}$ .
La matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est inversible et son inverse est $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

Exemple : Ecrire la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B'}$ quand $\mathcal{B}=(e_{1},e_{2})$ et $\mathcal{B}'=(2e_{1}+3e_{2}, -e_{1}+e_{2})$ . La matrice de passage est ?

Réponse : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}=\begin{pmatrix} 2& -1\\3& 1\end{pmatrix}$

Méthode 9 : Comment calculer la matrice d’un vecteur ou d’un endomorphisme dans une nouvelle base $\mathcal{B}'$ ?

Si $x$ appartient à $E$ , $Mat_{\mathcal{B}'}(x)=P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}Mat_{\mathcal{B}}(x)$ , et si $f$ appartient à $\mathcal{L}(E)$ , $Mat_{\mathcal{B}'}(f)= P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}Mat_{\mathcal{B}}(f)P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ . En notant $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ , on obtient $Mat_{\mathcal{B}'}(f)=P^{-1}MP$ .

Méthode 10 : Comment savoir si une matrice est une matrice de passage?
Une matrice $A$ est une matrice de passage si et seulement si elle est carrée et inversible. Si c’est le cas, les colonnes $A_{1},\dots,A_{n}$ de $A$ sont les matrices dans $\mathcal{B}$ de vecteurs $a_{1},\dots,a_{n}$ de $E$ .

La famille $\mathcal{B}'= (a_{1},\dots,a_{n})$ est une base de $E$ et $A=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ .

Exemple : La matrice $A=\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 4& 9 \end{pmatrix}$ est-elle une matrice de passage? Entre quelles bases?

Réponse : $\det(A)=1$ , donc $A$ est inversible, donc $A$ est la matrice de passage d’une base $(e_{1},e_{2})$ à la base $(e_{1}+4e_{2}, 2e_{1}+9e_{2})$ .

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4. Matrices semblables et trace :

Méthode 11 : Quand peut-on dire que les matrices $M$ et $M'$ sont semblables?

$M'$ est semblable à $M$ (ou $M$ et $M'$ sont semblables) si $M'$ est la matrice de $f$ dans une base $\mathcal{B}'$ de $E$ , c’est-à-dire s’il existe une matrice $P$ de $GL_{n}(\mathbb{K})$ telle que
$M'=P^{-1}MP$ . Alors $P=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ .

Exemple : Montrer que $M=\begin{pmatrix} 1& 1\\ 1& 1 \end{pmatrix}$ et $M'=\begin{pmatrix} 2& 0\\ 0& 0 \end{pmatrix}$ sont semblables.

Réponse : $M$ est la matrice de $f$ dans la base $(e_{1},e_{2})$ , donc $f(e_{1})=f(e_{2})=e_{1}+e_{2}$ , donc $f(e_{1}+e_{2})=2(e_{1}+e_{2})$ et $f(e_{1}-e_{2})=0$ .
La matrice de $f$ dans la base $(e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2})$ est $M'$ , donc $M$ et $M'$ sont semblables.

Méthode 12 : Comment calculer des traces?

La trace d’une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux.
Une matrice carrée et sa transposée ont même trace.
Si $A, B$ appartiennent à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et si $\lambda$ appartient à $\mathbb{K}$ , $Tr(A+\lambda B)=Tr(A)+\lambda Tr(B)$ , et $Tr(AB)=Tr(BA)$ .
Deux matrices semblables ont même trace.

Exemple : (i) $A=\begin{pmatrix} 2& 5& 0 \\ 3& -1& 8 \\ 4& 6& 5 \end{pmatrix}$ .

Calculer la trace de $2I+4A$ .

(ii) $B$ et $C$ sont deux matrices à $2$ lignes et $2$ colonnes inversibles.

Calculer la trace de $C^{-1}BAB^{-1}C$ .

Réponse :

(i) $\textrm{Tr}(A)$ = $2-1+5$ = $6$ et

$\textrm{Tr}(2I+4A)$

= $2\textrm{Tr}(I)+4\textrm{Tr}(A)$

= $2 \times 2+4 \times 6$

= $30$ .

(ii) $C^{-1}BAB^{-1}C=(B^{-1}C)^{-1}A(B^{-1}C)$ donc

$\textrm{Tr}(C^{-1}BAB^{-1}C)=\textrm{Tr}(A)=6$

Méthode 13 : Comment savoir si $M$ et $M'$ sont semblables?

Si $M$ et $M'$ sont semblables, elles ont même rang (celui de $f$ ), elles sont toutes les deux inversibles (si $f$ est bijective) ou toutes les deux non inversibles (si
$f$ n’est pas bijective),
elles ont même trace.\par Si l’une de ces propriétés n’est pas vérifiée, $M$ et $M'$ ne sont pas semblables. \par Si elles sont toutes vérifiées, on peut revenir à la définition et chercher une base $\mathcal{B}'$ telle que $M'$ soit la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}'$ , ou chercher une matrice carrée P inversible telle que $PM=M'P$ .

Méthode 14 : Comment exploiter le fait que $M$ et $(M)'$ sont semblables?

Certains calculs se font plus simplement en utilisant $M'$ .

Par exemple si $M$ et $M'$ sont semblables, pour tout entier naturel $n$ , $M^{n}$ et $(M')^{n}$ sont semblables (ce sont deux matrices de $f^{n}$ ): si $M=PM'P^{-1}$ , $M^{n}=P(M')^{n}P^{-1}$ .

Exemple : On sait que $A=P\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 5& 0 \\ 0& 0& 3\end{pmatrix}P^{-1}$ . Calculer $A^{n}$ .

Réponse : $A^{n}=P\begin{pmatrix} 2^{n}&0& 0\\ 0& 5^{n}& 0\\ 0& 0& 3^{n}\end{pmatrix}P^{-1}$ .

5. Sous-espaces stables :

Méthode 15 : Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , comment savoir s’il est stable par $f$ ?

On prend un vecteur $x$ quelconque de $F$ . Si $f(x)$ appartient toujours à $F$ , alors $F$ est stable par $f$ .
Si on connait une famille génératrice $(x_{1},\dots ,x_{k})$ de $F$ , il suffit de montrer que $f(x_{1}), \dots ,f(x_{k})$ appartiennent à $F$ .

Exemple : $p$ est un projecteur, $u$ appartient à $\textrm{Ker}(p)$ et $v$ appartient à $\textrm{Im}(p)$ . $\textrm{Vect}(u,v)$ est-il stable par $p$ ?

Réponse : Oui: $p(u)=0$ et $p(v)=v$ , donc $p(u)$ et $p(v)$ appartiennent à $\textrm{Vect}(u,v)$ .

Méthode 16 : Comment voir sur $M$ un sous-espace stable par $f$ ?

Si par exemple Si par exemple $Vect(e_{1},\dots,e_{k})$ où $k<n$ est stable par $f$ , $M$ se décompose en blocs: $M=\begin{pmatrix} M_{k} & C \\ 0 & D \end{pmatrix}$ où