Chapitres Maths en ECS2

Corrigés d’exercices : Espaces vectoriels, matrices en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Corrigés – Algèbre linéaire ECS2

Exercice 1 : Calcul de $M^{k}$

Soit a est un réel de $]0,1[$ , et $M=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 1-a & a& 0\\ 0&1-a &a\end{pmatrix}$ .

On note $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}_{0}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ de $\mathbb{R}^{3}$ est $M$ .

Question 1 :

Si $\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\lambda_{3}e_{3}=0$ comme $\mathcal{B}_{0}$ est libre, $\lambda_{1}=0$ , $\lambda_{1}+\lambda_{3}=0$ , $\lambda_{1}+\lambda_{2}=0$ ,
donc $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$ . Donc, $\mathcal{B}$ est une famille libre. Cette famille a $3$ éléments et $\dim (\mathbb{R}^{3})=3$ ,
donc c’est une base de $\mathbb{R}^{3}$ .

Les colonnes de $M$ sont les matrices de $f(e_{1})$ , $f(e_{2})$ , $f(e_{3})$ dans $\mathcal{B}_{0}$ , donc $f(e_{1})=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ ,
$f(e_{2})=ae_{1}+(1-a)e_{3}$ ,
$f(e_{3})=ae_{3}$ , donc $C=\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0&a &(1-a)\\ 0& 0& a \end{pmatrix}$ .

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Question 2 :

Par récurrence, pour $k\in \mathbb{N}$ , $C^{k}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\0& a^{k}& ka^{k-1}(1-a)\\ 0& 0& a^{k} \end{pmatrix}$ .

Question 3 :

$P=P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0 \end{pmatrix}$ ; $P^{-1}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_{0}}$ . Si $u_{1}= e_{1}+e_{2}+e_{3}$ , $u_{2}=e_{3}$ , $u_{3}=e_{2}$ , alors $e_{1}=u_{1}-u_{2}-u_{3}$ , $e_{2}=u_{3}$ , $e_{3}=u_{2}$ , donc $P^{-1}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ -1& 0& 0 \\ -1& 1& 0 \end{pmatrix}$ .
Comme $M=PCP^{-1}$ , pour $k\in \mathbb{N}$ , $M^{k}=PC^{k}P^{-1}$ , ce qui donne:

$M^{k}$ = $\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ (1-a)^{k}& a^{k}& 0 \\ 1-a^{k}-ka^{k-1}(1-a)& ka^{k-1}(1-a) & a^{k} \end{pmatrix}$

Exercice 2 : Rang et base

On considère l’application :

$Tr: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ ,( $n\in \mathbb{N}^{*}$ ).

Question 1 :

L’application $\textrm{Tr}$ est linéaire, donc $\textrm{Im}(\textrm{Tr})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}$ , donc c’est $\lbrace 0 \rbrace$ ou $\mathbb{R}$ .
Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ , la matrice $I_{n}$ a pour trace $n$ , donc $\textrm{Im}(\textrm{Tr})\neq\lbrace 0 \rbrace$ , donc $\textrm{Im}(\textrm{Tr})=\mathbb{R}$ .
D’après le théorème du rang,
$\textrm{dim}(\textrm{Ker}(\textrm{Tr}))= \dim(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))-\dim(\textrm{Im}(\textrm{Tr}))$ , donc $\dim (\textrm{Ker}(\textrm{Tr}))=n^{2}-1$ .

Question 2 :

On utilise la base canonique $(E_{i,j})$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . Si $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ ,
$\displaystyle{M=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} m_{i,j}E_{i,j}}$ , $M$
appartient à $\textrm{Ker}(\textrm{Tr})$ si et seulement si $m_{n,n}=-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1} m_{i,i}}$ , c’est-à-dire si et seulement si
$\displaystyle{M=\sum_{i=1}^{n} \sum_ {\stackrel{j=1}{i\neq j}}^{n} m_{i,j}E_{i,j}+\sum_{i=1}^{n-1} m_{i,i}(E_{i,i}-E_{n,n})}$

La famille des $(E_{i,j}$ , $1\leq i,j \leq n$ et $i\neq j$ ; $E_{i,i}-E_{n,n}$ , $1\leq i\leq n-1)$ est donc une
famille génératrice de $\textrm{Ker}(\textrm{Tr})$ . Elle comporte $n(n-1)+n-1=n^{2}-1$ éléments. Donc, c’est une base de $\textrm{Ker}(\textrm{Tr})$ .

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Exercice 3 : Les matrices telles que $Tr(A(^{t}A))=0$

On note $\displaystyle{A=(a_{i,j})_{1\leq i \leq n,1\leq j \leq p}}$ .

Alors $\displaystyle{^{t}A=(a'_{i,j})_{1\leq i \leq p,1\leq j\leq n)}}$ , où pour tous $i$ et $j$ tels que
$1\leq i \leq p$ et
$1\leq j\leq n$ , $a'_{i,j}=a_{j,i}$ .