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Cours : Introductions aux fonctions de n variables en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Ce cours en ligne gratuits sur les couples les introductions de n variables en ECS2 vous aidera à améliorer votre niveau en maths. Vous êtes encouragé à renforcer votre apprentissage en associant nos cours gratuits en ligne à nos cours de maths particuliers.

Vecteurs dans l’espace, Ligne de niveau et Continuité

1. Points et vecteurs dans l’espace $\mathbb{R}^{n}$

Méthode 1 : Comment utiliser l’espace vectoriel $\mathbb{R}^{n}$ muni de sa structure euclidienne canonique pour des études de fonctions ?

Le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^{n}$ est défini par :

si $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ et $y=(y_{1},\dots,y_{n})$ , $< x,y >=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$ .

La norme euclidienne associée à ce produit scalaire est définie par: $\Vert x\Vert=\sqrt{< x,x >}=\sqrt{x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}}$ .

La base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est orthonormée pour le produit scalaire canonique.

Si $n=1$ , $\Vert x\Vert=|x|$ . On se servira de la norme euclidienne canonique dans $\mathbb{R}^{n}$ comme on se sert de la valeur absolue dans $\mathbb{R}$ .

Exemple : On dira qu’un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $n\geq 2$ , est borné si …

(i) il existe des réels $A$ et $B$ tels que, pour tout $x$ de $E$ , $B\leq x\leq A$ ?

(ii) il existe un réel positif $A$ tel que, pour tout $x$ de $E$ , $||x||\leq A$ ?

Réponse :

(i) Non : l’inégalité écrite n’a pas de sens puisque $x=(x_1,\dots,x_{n})$ et $n\geq 2$ .

(ii) Oui : un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}$ est borné s’il existe un réel positif $A$ tel que pour tout $x$ de $E$ , $|x|\leq A$ ; cette définition peut être généralisée en remplaçant la valeur absolue par la norme.

Méthode 2 : Quelles sont les inégalités faisant intervenir des normes qui sont utiles à connaître ?

$\bullet$ L’inégalité triangulaire dit: pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ , et on a égalité dans cette inégalité si et seulement si $x$ et $y$ sont liés et de même sens: $x=0$ ou $y=\lambda x$ , $\lambda\geq 0$ .

$\bullet$ On en déduit: pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $|\ \Vert x\Vert -\Vert y \Vert\ |\leq \Vert x+y\Vert$ , et comme pour tout $t$ réel, $|t|=\textrm{max}(t,-t)$ , $\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq \Vert x+y\Vert$ et $-\Vert x\Vert +\Vert y\Vert\leq \Vert x+y\Vert$ .

$\bullet$ L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit: $|< x,y >|\leq \Vert x \Vert\ \Vert y\Vert$ , et on a égalité dans cette inégalité si et seulement $x$ et $y$ sont liés.

$\bullet$ Si $x=(x_{1},x_{2})$ , $|x_{1}x_{2}|\leq\frac{1}{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$ , c’est-à-dire, $|x_{1}x_{2}|\leq \frac{1}{2} \Vert x\Vert^{2}$ .

Exemple : Si $x=(x_{1},x_{2})$ , on a égalité dans l’inégalité $|x_{1}x_{2}|\leq \frac{1}{2}\Vert x\Vert^{2}$ si et seulement si …

(i) $x_{1}=x_{2}$

(ii) $x_{1}=-x_{2}$

(iii) $|x_{1}|=|x_{2}|$

Réponse : (iii)

L’égalité équivaut à $(|x_{1}|-|x_{2}|)^{2}=0$ , c’est-à-dire à $|x_{1}|=|x_{2}|$ , soit $x_{1}=x_{2}$ ou $x_{1}=-x_{2}$ .

Méthode 3 : Comment utiliser $\mathbb{R}^{n}$ comme un ensemble de points ?

Si $(e_{1},\dots,e_{n})$ est la base canonique (orthonormée) de l’espace vectoriel $\mathbb{R}^{n}$ , on munit $\mathbb{R}^{n}$ du repère cartésien orthonormé $(O,e_{1},\dots,e_{n})$ , où $O$ est un point choisi comme origine.

Si $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ appartient à $\mathbb{R}^{n}$ , $(x_{1},\dots x_{n})$ peut être la liste des coordonnées d’un vecteur $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ , ou la liste des coordonnées d’un point $M$ dans le repère $(O,e_{1},\dots,e_{n})$ .

$O$ est alors le point de coordonnées $(0,\dots,0)$ , et on écrira: $x=\overrightarrow{OM}$ .

Si $A$ est le point de coordonnées $(a_{1},\dots,a_{n})$ et $B$ le point de coordonnées $(b_{1},\dots,b_{n})$ , le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur de coordonnées $(b_{1}-a_{1},\dots,b_{n}-a_{n})$ ; on peut le représenter par le vecteur $\overrightarrow{OK}$ , où $K$ est le point de coordonnées $(b_{1}-a_{1},\dots,b_{n}-a_{n})$ , ou par une flèche d’origine $A$ et d’extrémité $B$ .

On a alors $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ , et pour tout point $C$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ : c’est la relation de Chasles.

Enfin, il n’y a pas d’inconvénient à écrire: $\overrightarrow{AB}=B-A$ .

Exemple : $\mathbb{R}^{n}$ , $n\geq 2$ , est muni du repère orthonormé $(O,e_{1},\dots,e_{n})$ . $K$ est le point de coordonnées $(1,2,\dots,n)$ .

Si $A$ a pour coordonnées $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ , quelles sont les coordonnées de $A$ dans le repère cartésien $(K,e_{1},e_{2},\dots,e_{n})$ ?

Réponse : $(a_{1}-1,a_{2}-2,\dots,a_{n}-n)$ .

En effet, $\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OK}$ , donc $\overrightarrow{KA}=A-K=(a_{1}-1,a_{2}-2,\dots,a_{n}-n)$ .

Méthode 4 : Comment définir la distance entre deux points de $\mathbb{R}^{n}$ ?

Si $A$ et $B$ sont deux points de $\mathbb{R}^{n}$ , la distance de $A$ à $B$ est: $d(A,B)=\Vert\overrightarrow{AB}\Vert$ . On a alors : — pour tous points $A$ et $B$ , $d(A,B)\geq 0$ , et $d(A,B)=0$ si et seulement si $A=B$ ; — pour tous points $A$ et $B$ , $d(A,B)=d(B,A)$ ; — pour tous points $A,B,C$ , $d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$ .

Ex: Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , on donne les points $A,B,C$ de coordonnées respectives $(2,0), (0,4),(6,2)$ .

Il existe un unique point $I$ équidistant de $A,B$ et $C$ dont les coordonnées sont … ?

Réponse : $(3,3)$

Méthode 5 : Si $A$ et $B$ sont deux points de $\mathbb{R}^{n}$ , comment définir la droite $(AB)$ ? la demi-droite d’origine $A$ contenant $B$ ? le segment $[AB]$ ?

La droite $(AB)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}, \lambda\in \mathbb{R}$ .

La demi-droite d’origine $A$ contenant $B$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}, \lambda\geq 0$ .

Le segment $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}, \lambda\in[0,1]$ , c’est-à-dire tels que: \\il existe un réel $\lambda$ appartenant à $[0,1]$ tel que $\overrightarrow{OM}=(1-\lambda) \overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}$ . On peut dire aussi: $[AB]=\{(1-\lambda) A+\lambda B|\lambda\in[0,1]\}$ .

Exemple : Dans $\mathbb{R}^{2}$ muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , on donne le point $A$ de coordonnées $(3,2)$ . La courbe $(L)$ formée de la demi-droite d’origine $A$ dirigée par le vecteur de coordonnées $(1,2)$ et de la demi-droite d’origine $A$ dirigée par le vecteur $(1,-2)$ est la courbe de la fonction $f$ définie par :

(i) $f(x)=-2|x-3|+2$ ?

(ii) $f(x)=2|3-x|-2$ ?

(iii) $f(x)=-2(|3-x|+1)$ ?

Réponse : (i)

$(L)$ est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ tels que si $x\leq 3$ , $y=2(x-3)+2$ , et si $x\geq 3$ , $y=-2(x-3)+2$ .

Méthode 6 : Qu’est-ce qu’un hyperplan de $\mathbb{R}^{n}$ ? Quelle en est l’équation ?

$\bullet$ Dans l’espace vectoriel $\mathbb{R}^{n}$ , un hyperplan vectoriel est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$ : dans $\mathbb{R}^{2}$ , c’est une droite vectorielle, dans $\mathbb{R}^{3}$ , c’est un plan vectoriel.

$\bullet$ L’équation d’un hyperplan vectoriel de $\mathbb{R}^{n}$ est de la forme $a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=0$ , où $(a_{1},\dots,a_{n})\neq (0,\dots,0)$ .

$\bullet$ Dans $\mathbb{R}^{n}$ muni du repère $(O,e_{1},\dots,e_{n})$ , un hyperplan $(H)$ est un ensemble d’équation $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=c$ , où $(a_{1},\dots,a_{n})\neq (0,\dots,0)$ .

Il est dirigé par l’hyperplan vectoriel $(H_{0})$ , d’équation $a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=0$ :

si $A\in (H)$ , si $M$ est un point de $\mathbb{R}^{n}$ , $M\in (H)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}\in (H_{0})$ .

Exemple : $\mathbb{R}^{3}$ est muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . Le plan d’équation $2x+3y-z+1=0$ est le plan

(i) passant par $A=(-1,0,-1)$ dirigé par $\textrm{Vect}(\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{j}+3\vec{k})$ ? (ii) passant par $A=(-1,0,-1)$ , $B=(1,-1,0)$ et $C=(3,-2,1)$ ? (iii) passant par $A=(-1,0,-1)$ et $B=(-1,1,1)$ et dirigé par le plan vectoriel d’équation $2x+3y-z=0$ ?

Réponse : (i)

(ii) Les trois points

$A,B,C$ appartiennent au plan, mais ils sont alignés; il existe donc une infinité de plans qui contiennent ces trois points. (iii) Les coordonnées de

$B$ ne vérifient pas l’équation du plan.

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2. Fonctions de plusieurs variables: définition et exemples

Méthode 7 : Comment comprendre le terme: fonction de plusieurs variables ?

Ce terme intervient dans l’étude des fonctions $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ où $n\geq 2$ .

A tout $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\mathbb{R}^{n}$ , on associe le réel $f(x)$ . On peut écrire $f(x)=f((x_{1},\dots,x_{n}))$ , et par abus, $f(x)=f(x_{1},\dots,x_{n})$ .

$f$ est fonction du n-uplet $(x_{1},\dots,x_{n})$ , ou des $n$ variables $x_{1},\dots,x_{n}$ .

Exemple : Si $f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{3}$ dans $\mathbb{R}$ , si $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ , peut-on dire …

(i) $f(2x_{1},x_{2},2x_{3})=f(2x)$ ?

(ii) $f(2x_{1},x_{2},2x_{3})=2f(x)$ ?

Réponse :

(i) Non, car $2x=(2x_{1},2x_{2},2x_{3})$

(ii) Non, car $2f(x)=2f(x_{1},x_{2},x_{3})$ .

Méthode 8 : Quelles sont les fonctions $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ qui sont linéaires ?

Ce sont les fonctions définies par: si $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ , $f(x)=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}$ où $a_{1},\dots,a_{n}$ sont des réels donnés indépendants de $x$ .

Exemple : $\lambda$ est un nombre réel, et $f$ est définie par: $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}-x_{2}+5(1-\lambda x_{1})x_{3}$ . Alors :

(i) $f$ est linéaire, quelque soit la valeur de $\lambda$ ? (ii) $f$ est linéaire si et seulement si $\lambda=0$ ? (iii) $f$ n’est pas linéaire, quelque soit la valeur de $\lambda$ ?

Réponse : Seule (ii) est vraie.

Méthode 9 : Qu’est-ce qu’une fonction affine de $n$ variables ?

Si $n=1$ , $f$ est affine si pour tout $x$ réel, $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels, indépendants de $x$ .

En général, $f$ est affine si $f(x_{1},\dots,x_{n})=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b$ , où $a_{1},\dots,a_{n},b$ sont des réels indépendants de $x_{1},\dots,x_{n}$ .

Exemple : Peut-on dire:

(i) une fonction affine de $n$ variables est toujours linéaire? (ii) une fonction linéaire de $n$ variables est toujours affine?

Méthode 10 : Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale de $n$ variables ?

Une fonction $f$ des $n$ variables $x_{1},\dots,x_{n}$ est polynomiale si $f(x_{1},\dots,x_{n})$ s’écrit comme combinaison linéaire à coefficients réels (indépendants de $x_{1},\dots,x_{n}$ ), de termes de la forme $x_{1}^{k_{1}}\dots x_{n}^{k_{n}}$ , où $k_{1},\dots,k_{n}$ appartiennent à $\mathbb{N}$ .

Une somme ou un produit de fonctions polynomiales est une fonction polynomiale.

Exemple : La fonction $f$ définie par $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}x_{3}+(|x_{1}|+3)x_{2}^{4}+1$ est-elle polynomiale ?

Réponse : Non

3. Graphes et lignes de niveau

Méthode 11 : Comment trouver le graphe d’une fonction de $n$ variables et son équation ?

$\bullet$ Si $n=1$ , si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , le graphe de $f$ est le sous-ensemble $G_{f}$ de $\mathbb{R}^{2}$ défini par:

$G_{f}=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2}|x_{2}=f(x_{1})\}$ . L’équation du graphe de $f$ est $x_{2}=f(x_{1})$ .

$\bullet$ En général, si $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , le graphe $G_{f}$ de $f$ est le sous-ensemble de $\mathbb{R}^{n+1}$ défini par:

$G_{f}=\{(x_{1},\dots,x_{n},x_{n+1})$ $\in \mathbb{R}^{n+1}|x_{n+1}=f(x_{1},\dots,x_{n})\}$ . L’équation de $G_{f}$ est $x_{n+1}=f(x_{1},\dots,x_{n})$ .

Exemple : On note $(x,y,z)$ les coordonnées d’un point de $\mathbb{R}^{3}$ .

Alors le sous-ensemble de $\mathbb{R}^{3}$ d’équation $x^{2}-y+3z=2$ est le graphe de la fonction $f$ définie par:

(i) $f(x,z)=x^{2}+3z-2$ ?

(ii) $f(x,y,z)=x^{2}-y+3z$ ?

(iii) $f(x,y)=\dfrac{1}{3}(2+y-x^{2})$ ?

Réponse : (iii)

(i) Non : l’équation du graphe de $f$ est de la forme $z=f(x,y)$ . (ii) Non : un sous-ensemble de $\mathbb{R}^{3}$ est le graphe d’une fonction de deux variables.

Méthode 12 : Que peut-on dire du graphe de $f$ quand $f$ est affine ?

Si $f$ estune fonction affine des $n$ variables $x_{1},\dots,x_{n}$ : $f(x_{1},\dots,x_{n})=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b$ , le graphe de $f$ est l’hyperplan de $\mathbb{R}^{n+1}$ d’équation $x_{n+1}=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b$ .

Exemple : Dans $\mathbb{R}^{2}$ muni du repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ , on donne les points $A$ de coordonnées $(1,2)$ et $B$ de coordonnées $(m,3)$ , où $m$ est un nombre réel.

Alors la droite $(AB)$ :

(i) est le graphe d’une fonction affine pour tout réel $m$ ? (ii) est le graphe d’une fonction affine si et seulement si $m\neq 1$ ? (iii) est le graphe d’une fonction $f$ , mais $f$ n’est affine que si $m\neq 1$ ?

Méthode 13 : Qu’est-ce qu’une ligne de niveau d’une fonction de deux variables ?

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Si $f$ est la fonction qui à tout $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ associe $f(x,y)$ , si $k$ est un réel, la ligne de niveau $k$ de $f$ est l’ensemble $L_{k}(f)$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ tels que $f(x,y)=k$ .

Exemple : On donne la fonction $f$ qui à tout $(x,y)$ associe $x^{2}+y^{2}$ . Trouver, pour tout réel $k$ , la ligne de niveau $k$ de $f$ .

Réponse : Pour tout $(x,y)$ , $f(x,y)\geq 0$ , donc si $k<0$ , $L_{k}(f)=\emptyset$ ; si $k=0$ , $f(x,y)=0$ équivaut à $x=y=0$ , donc $L_{0}(f)=\{O\}$ ; si $k>0$ , $L_{k}(f)$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $d(O,M)^{2}=k$ : c’est le cercle de centre $O$ , de rayon $\sqrt{k}$ .

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4. Continuité

Méthode 14 : Comment montrer qu’une fonction de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ est continue en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ ? sur $\mathbb{R}^{n}$ ?

$\bullet$ La fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est continue au point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ si, pour tout $\epsilon>0$ , il existe un $\alpha>0$ tel que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ tel que $\Vert x-a\Vert\leq \alpha$ , on ait $|f(x)-f(a)|\leq\epsilon$ .

On peut dire aussi: $f$ est continue au point $a$ si $f(x)\to f(a)$ quand $\Vert x-a\Vert\to 0$ .

Pour montrer que $f$ est continue en $a$ , on peut essayer d’écrire $|f(x)-f(a)|\leq g(\Vert x-a\Vert)$ où $g$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que $g(t)\to 0$ quand $t\to0$ .

$\bullet$ La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ si elle est continue en tout point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ .

Exemple : Montrer que la fonction $x\to \Vert x\Vert$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ .

Réponse : Pour tous $a$ et $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , on a: $|\ \Vert x\Vert -\Vert a\Vert\ |\leq \Vert x-a\Vert$ . Quand $\Vert x-a\Vert\to 0$ , par encadrement, $\Vert x\Vert -\Vert a\Vert \to 0$ .

Méthode 15 : Comment montrer qu’une fonction est continue sans revenir à la définition ?

$\bullet$ Pour $1\leq i\leq n$ , la $i^{\textrm{ème}}$ fonction coordonnée, qui à $(x_{1},\dots,x_{n})$ associe $x_{i}$ , est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ La somme ou le produit de deux fonctions continues en $a$ (ou sur $\mathbb{R}^{n}$ ) est une fonction continue en $a$ (ou sur $\mathbb{R}^{n}$ ).

$\bullet$ Les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et si $g(a)\neq 0$ , $f/g$ est continue en $a$ ; si $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^{n}$ et si $g(\mathbb{R}^{n})\subset \mathbb{R}^{*}$ , $f/g$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Les fonctions rationnelles ( $f(x)=P(x)/Q(x)$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes) qui sont définies sur $\mathbb{R}^{n}$ sont continues sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Si $f:\mathbb{R}^{n}\to I$ , où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ , est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ et si $g:I\to \mathbb{R}$ est continue sur $I$ , alors $g\circ f$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Si $u_{1},\dots,u_{n}$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , à valeurs réelles, et si $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ , la fonction $t\mapsto f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))$ est continue sur $I$ .

$\bullet$ Si $u_{1},\dots,u_{n}$ sont des fonctions continues sur $\mathbb{R}^{p}$ , $p\in \mathbb{N}^{*}$ , à valeurs réelles, et si $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{n}$ , la fonction de $\mathbb{R}^{p}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $t=(t_{1},\dots,t_{p})$ associe $f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))$ est continue sur $\mathbb{R}^{p}$ .

Exemple : La fonction $f$ est définie par: $f(x,y)=(x^{2}+y^{2}+1)^{1/2}$ . On peut dire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ parce que

(i) $f$ est polynomiale ? (ii) $f=h\circ g$ où $g(x,y)=x^{2}+y^{2}$ et $h(t)=\sqrt{t}+1$ ? (iii) $f=h\circ g$ où $g(x,y)=x^{2}+y^{2}$ et $h(t)=\sqrt{t+1}$ ?

Réponse : (iii)

(i) Non: la puissance $1/2$ n’est pas un entier naturel.

(ii) Non: il faut prendre $h(t)=\sqrt{t+1}$ . 5. Fonctions majorées, minorées, extrema

Méthode 16 : Quand peut-on dire qu’une fonction de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ est majorée ? minorée? bornée ?

Les définitions connues pour une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ restent valables:

Une fonction $f$ de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(x)\leq M$ ; $M$ est alors un majorant de $f$ .

Une fonction $f$ de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(x)\geq m$ ; $m$ est alors un minorant de $f$ .

La fonction $f$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Exemple : On peut dire

(i) $f$ est majorée si et seulement $|f|$ est majorée ? (ii) $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est bornée ? (iii) $f$ est minorée si et seulement $|f|$ est minorée ?

Méthode 17 : Quand peut-on dire qu’une fonction de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ admet un maximum ? un minimum ?

La fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ admet un maximum en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ si, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(x)\leq f(a)$ .

Elle admet un minimum en $a$ si, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(x)\geq f(a)$ .

Exemple : On définit la fonction $f$ par $f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2}+2$ . Alors :

(i) $f$ n’est pas minorée ? (ii) $f$ admet un minimum obtenu en $(-1/2,0)$ ? (iii) $f$ admet un minimum égal à $2$ obtenu en un seul point ?

Réponse : (iii) car $f(x,y)=(x+y)^{2}+2y^{2}+2$ , donc $f(x,y)\geq 2$ , et $f(x,y)=2$ si et seulement si $(x,y)=(0,0)$ .

(i) Non : $2|xy|\leq x^{2}+y^{2}$ , donc $2xy\geq -x^{2}-y^{2}$ , donc $f(x,y)\geq 2 y^{2}+2\geq 2$ .

(ii) Non : $f(-1/2,0)=(1/4)+2$ et $f(0,0)=2$ .

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2. Fonctions de plusieurs variables: définition et exemples

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