Chapitres Maths en ECS2

Corrigés : Introduction aux fonctions de n variables en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Corrigés classiques – Fonctions de n variables

Exercice 1 :

On donne la fonction $f$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x,y)=\sin(x)\sin(y)$ . Question 1 :

La fonction $f$ est produit de $(x,y)\mapsto \sin (x)$ et $(x,y)\mapsto \sin (y)$ .

Les fonctions coordonnées $(x,y)\mapsto x$ et $(x,y)\mapsto y$ sont continues sur $\mathbb{R}^{2}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ ,

et la fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$ ,

donc les composées $(x,y)\mapsto \sin(x)$ et $(x,y)\mapsto\sin(y)$ sont continues sur $\mathbb{R}^{2}$ , donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Question 2 :

On a pour tous $x$ et $y$ réels $-1\leq f(x,y)\leq 1$ , et

$\bullet$ $f(x,y)=1$ si et seulement si

$\sin(x)=\sin(y)=1$

ou $\sin(x)=\sin(y)=-1$ ,

C’est-à-dire

$(x,y)=(\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)$ , $m,p\in\mathbb{Z}$ ,

$(x,y)=(-\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,-\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)$ , $m,p\in \mathbb{Z}$ .

$\bullet$ $f(x,y)=-1$ si et seulement si

$\sin(x)=1$ et $\sin(y)=-1$

ou $\sin(x)=-1$ et $\sin(y)=1$ ,

c’est-à-dire

$(x,y)=(\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,-\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)$ , $m,p\in\mathbb{Z}$ ,

$(x,y)=(-\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)$ , $m,p\in \mathbb{Z}$ .

Question 3 :

La ligne de niveau $0$ de $f$ est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ tels que

$f(x,y)=0$ ,

c’est-à-dire $\sin(x)=0$ ou $\sin(y)=0$ .

Donc c’est l’ensemble des points de coordonnées

$(m\pi,p\pi)$ , $m,p\in\mathbb{Z}$ .

Si on trace, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ ,

les droites d’équation $x=m\pi$ , $m\in\mathbb{Z}$ , et les droites d’équation $y=p\pi$ , $p\in\mathbb{Z}$ ,

On obtient un quadrillage dont les sommets constituent la ligne de niveau $0$ de $f$ .

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Exercice 2 :

On considère la fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ définie par

$f(x,y)=\dfrac{xy}{(1+x^{2})(1+y^{2})}$ .

Question 1 :

La fonction $f$ est rationnelle et définie sur $\mathbb{R}^{2}$ puisque son dénominateur est toujours strictement positif,

Donc elle est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Question 2 :

L’inégalité $(|x|-1)^{2}\geq 0$

donne $|x|\leq\dfrac{1}{2}(1+x^{2})$ ,

donc $\dfrac{|x|}{1+x^{2}}\leq \dfrac{1}{2}$ ,

et de même

$\dfrac{|y|}{1+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}$ ,

d’où

$|f(x,y)|\leq\dfrac{1}{4}$ .

Question 3 :

Si $|x|\neq 1$ , on a $(|x|-1)^{2}>0$ ,

donc $\dfrac{|x|} {1+x^{2}}<\dfrac{1}{2}$ ,

donc $|f(x,y)|<\dfrac{1}{4}$ .

De même,

si $|y|\neq 1$ , $|f(x,y)|<\dfrac{1}{4}$ .

Donc,

si $|f(x,y)|=\dfrac{1}{4}$ , $|x|=|y|=1$ .

Réciproquement,

$f(1,1)=f(-1,-1)=\dfrac{1}{4}$

et $f(1,-1)=f(-1,1)=-\dfrac{1}{4}$ .

Donc $f$ admet un maximum $\dfrac{1}{4}$ atteint en $(1,1)$ et en $(-1,-1)$ ,

et un minimum égal à $-\dfrac{1}{4}$ atteint en $(1,-1)$ et en $(-1,1)$ .

Exercice 3 :

Soit $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec {i},\vec{j})$ , si $M$ est le point de coordonnées $(x,y)$ , on notera $M=(x,y)$ .

Question 1 :

Le segment $[AB]$ est l’ensemble des $(1-\lambda)A+\lambda B$ , $\lambda \in [0,1]$ .

On note $\varphi:[0,1]\to \mathbb{R}$ la fonction qui à tout $\lambda$ de $[0,1]$ associe $f((1-\lambda)A+\lambda B)$ .

On a :

$\varphi(\lambda)=f(1-\lambda)a+\lambda b,(1-\lambda)a'+\lambda b')$ ; les fonctions qui à

$\lambda$ associent

$(1-\lambda)a+\lambda b$ et

$(1-\lambda)a'+\lambda b'$ sont affines, donc continues sur

$\mathbb{R}$ , et

$f$ est continue sur

$\mathbb{R}^2$ , donc

$\varphi$ est continue sur

$[0,1]$ . Comme

$\varphi(0)=f(A) > 0$ et

$\varphi(1)=f(B) < 0$ , il existe

$t\in ]0,1[$ tel que

$\varphi(t)=0$ . Si

$T=(1-t)A=tB$ ,

$f(T)=0$ .

Question 2 :

La fonction $u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ qui à $t$ associe $f(t,g(t))$ est continue sur $\mathbb{R}$ , et $u(h)=f(H) > 0$ , $u(k)=f(K) < 0$ . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $r$ , $h < r < k$ , tel que $u(r)=0$ .