Chapitres Maths en ECS2

Cours : Calcul différentiel en ECS2

Fonctions partielles, fonctions C1

1. Fonctions partielles, dérivées partielles et gradient

Méthode 1 : Si $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , si $a=(a_{1},\dots,a_{n})$ appartient à $\mathbb{R}^{n}$ ,comment définir les applications partielles de $f$ en $a$ ?

$\bullet$ Si $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ , la première application partielle de $f$ en $a$ est $f_{1,a}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par: $f_{1,a}(x)=f(x,a_{2})$ , et la deuxième application partielle de $f$ en $a$ est $f_{2,a}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par: $f_{2,a}(y)=f(a_{1},y)$ .

$\bullet$ Si $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , $n\geq 2$ , pour $i\llbracket 1,n \rrbracket$ , la $i^{\textrm{ème}}$ application partielle de $f$ en $a$ est $f_{i,a}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f_{i,a}(t)=f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ ( $f_{1,a}(t)=f(t,a_{2},\dots,a_{n})$ et
$f_{n,a}(t)=f(a_{1},\dots,a_{n-1},t)$ ).

On a donc $f_{i,a}(a_{i})=f(a)$ .

Exemple : La fonction $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ est définie par $f(x,y,z)=x^{2}y+\dfrac{z}{x^{2}+1}$ , et $m=(a,b,c)$ .

Calculer $f_{1,m}(x)$ , $f_{2,m}(y)$ , $f_{3,m}(z)$ .

Réponse : $f_{1,m}(x)=x^{2}b+\dfrac{c}{x^{2}+1}$ , $f_{2,m}(y)=a^{2}y+\dfrac{c}{a^{2}+1}$ , et $f_{3,m}(z)=a^{2}b+\dfrac{z}{a^{2}+1}$ .

Méthode 2 : Si $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , si $i\in\llbracket 1,n \rrbracket$ et si $a\in\mathbb{R}^{n}$ , quand peut-on dire que $f$ admet une $i^{\textrm{ème}}$ dérivée partielle en $a$ ?

$f$ admet une $i^{\textrm{ème}}$ dérivée partielle en $a$ , notée $\partial_{i}(f)(a)$ , si la $i^{\textrm{ème}}$ application partielle en $a$ est dérivable en $a_{i}$ , et alors

$\partial_{i}(f)(a)=f'_{i,a}(a_{i})$ .

Exemple : Soit $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ telle que $f(x,y,z)=x^{2}+|y-1|-z$ , et $a=(2,\lambda,4)$ . Alors

(i) : $f$ admet-elle des dérivées partielles $\partial_{i}(f)(a)$ pour $i=1,2,3$ quelque soit la valeur de $\lambda$ ?

(ii) : $\partial_{1}(f)(a)$ et $\partial_{2}(f)(a)$ existent quelque soit la valeur de $\lambda$ , mais $\partial_{2}(f)(a)$ n’est définie que si $\lambda\in\mathbb{R}^{+}$ ?

(iii) : $\partial_{1}(f)(a)$ et $\partial_{2}(f)(a)$ existent pour tout $\lambda$ de $\mathbb{R}$ , mais $\partial_{2}(f)(a)$ n’est définie que si $\lambda\neq1$ ?

Réponse :

(i) Faux

(ii) Faux

(iii) Vrai

Méthode 3 : Comment calculer des dérivées partielles en utilisant un taux d’accroissement ?

Pour calculer la $i^{\textrm{ème}}$ dérivée partielle de $f$ en $a$ , il suffit d’écrire le taux d’accroissement de $f_{i,a}$ en $a_{i}$ :

$\tau=\dfrac{f_{i,a}(t)-f_{i,a}(a_{i})}{t-a_{i}}$ $=\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})}{t-a_{i}}$ $-\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\dots,a_{n})}{t-a_{i}}$ .

Si $\tau$ a une limite réelle quand $t\to a_{i}$ , $\partial_{i}(f)(a)$ existe et $\partial_{i}(f)(a)=\displaystyle \lim_{t\to a_{i}}\tau$ .

En posant $t=a_{i}+h$ , on peut aussi écrire $\tau$ sous la forme:

$\tau=\dfrac{f_{i,a}(a_{i+h})-f_{i,a}(a_{i})}{h}$ $=\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})}{h}$ $-\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\dots,a_{n})}{h}$ ,

et si $\tau$ a une limite réelle quand $h\to 0$ , $\partial_{i}(f)(a)$ existe et $\partial_{i}(f)(a)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\tau$ .

Exemple : Dans $\mathbb{R}^{2}$ , $a=(-1,3)$ , et $f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ telle que $\partial_{1}(f)(a)$ existe.

On définit $g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ par $g(x_{1},x_{2})=f(x_{1}x_{2},x_{2})$ .

Montrer que $\partial_{1}(g)(a)$ existe et calculer $\partial_{1}(g)(a)$ à l’aide de $\partial_{1}(f)(a)$ .

Réponse : On forme le taux d’accroissement de $g_{1,a}$ en $a_{1}=-1$ :

$\tau=\dfrac{f((-1+h)3,3)-f((-1)3,3)}{h}$

$=3\times\dfrac{f_{1,a}(-3+3h)-f_{1,a}(-3)}{3h}$ .

Quand

$h\to 0$ ,

$\dfrac{f_{1,a}(-3+3h)-f_{1,a}(-3)}{3h}\to \partial_{1}(f)(a)$ , donc

$\partial_{1}(g)(a)$ existe et

$\partial_{1}(g)(a)=3\partial_{1}(f)(a)$ .

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Méthode 4 : Si $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}^{n}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , comment définir, pour $i\in \llbracket 1,n \rrbracket$ , la $i^{\textrm{ème}}$ dérivée partielle de $f$ ? Comment en calculer l’expression ?

Si pour tout $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\partial_{i}(f)(a)$ existe, on peut définir la fonction $\partial_{i}(f):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ qui à tout $a$ de $\mathbb{R}^{n}$
associe $\partial_{i}(f)(a)$ ; $\partial_{i}(f)$ est alors la $i^{\textrm{ème}}$ dérivée partielle de $f$ .

Pour tout $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\partial_{i}(f)(a)$ $=\left[\dfrac{d}{dt}\left(f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})\right)\right]_{t=a_{i}}$ , ou encore, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\partial_{i}(f)(x)$ $=\left[\dfrac{d}{dt}\left(f(x_{1},\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n})\right)\right]_{t=x_{i}}$ .

Pour calculer l’expression de $\partial_{i}(f)(x)$ à partir de l’expression de $f(x)$ , on considère $x_{1},\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n}$ comme des constantes, et on dérive par rapport à la variable $x_{i}$ .

Exemple : Soit $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ telle que $f(x,y,z)=2x+(x+y^{2})z^{2}$ . Les dérivées partielles de $f$ sont données par:

(i) $\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+2xz$ , $\partial_{2}(f)(x,y,z)=2x+2yz^{2}$ , et $\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})$ ?

(ii) $\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+z^{2}$ , $\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}$ , et $\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})$ ?

(iii) $\partial_{1}(f)(x)=2+y^{2}z^{2}$ , $\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}$ , et $\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})$ ?

Réponse :

(i) Non: $\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+z^{2}$ , $\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}$ , et $\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})$ .

(ii) Oui.

(iii) Non: $\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+z^{2}$ , $\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}$ , et $\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})$ .

Méthode 5 : Quelles opérations peut-on faire sur les dérivées partielles ?

Elles sont analogues aux opérations que l’on peut faire sur les dérivées: si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $\mathbb{R}^{n}$ à valeurs réelles, si $a$ appartient à $\mathbb{R}^{n}$ , et si pour $i\in \llbracket 1,n \rrbracket$ , $\partial_{i}(f)(a)$ et $\partial_{i}(g)(a)$ existent,

$\bullet$ pour tout $\lambda$ réel, $\partial_{i}(\lambda f)(a)$ existe et $\partial_{i}(\lambda f)(a)=\lambda \partial_{i}(f)(a)$ ;

$\bullet$ $\partial_{i}(f+g)(a)$ existe et $\partial_{i}(f+g)(a)=\partial_{i}(f)(a)+\partial_{i}(g)(a)$ ;

$\bullet$ $\partial_{i}(fg)(a)$ existe et $\partial_{i}(fg)(a)=\partial_{i}(f)(a) g(a)+f(a)\partial_{i}(g)(a)$ ;

$\bullet$ si $g(a)\neq 0$ , $\partial_{i}\left(\dfrac{f}{g}\right)(a)$ existe et $\partial_{i}\left(\dfrac{f}{g}\right)(a)=\dfrac{\partial_{i}(f)(a)g(a)-f(a)\partial_{i}(g)(a)}{g(a)^{2}}$ ;

$\bullet$ si $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dérivable en $f(a)$ , $\partial_{i}(u\circ f)(a)$ existe et $\partial_{i}(u\circ f)(a)=u'(f(a))\partial_{i}(f)(a)$ .

Exemple : Si $x\in \mathbb{R}^{n}$ , $f(x)=\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}$ . Alors, pour tout $i$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ ,

(i) $\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{\Vert x\Vert}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}$ ?

(ii) $\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{2x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}$ ?

(iii) $\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}$ ?

Réponse : (i) Non: $\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}$ ?\\

(ii) Non: $\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}$ ?\\

(iii) Oui.

Méthode 6 : Qu’est-ce que le gradient d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{n}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ?

La fonction $f$ admet un gradient en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ si pour tout $i$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ , $\partial_{i}(f)(a)$ existe. Alors le gradient de $f$ en $a$ , noté $\nabla(f)(a)$ , est l’élément de $\mathbb{R}^{n}$ égal à $(\partial_{1}(f)(a),\dots,\partial_{n}(f)(a))$ .

Exemple : On donne $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$ , telle que $f(x,y,z)=e^{2x+y}+z\ln(1+y^{2})$ . Calculer $\nabla (f)(x,y,z)$ .

Réponse : $\nabla (f)(x,y,z)$ $=(2e^{2x+y},e^{2x+y}+z\dfrac{2y}{1+y^{2}},\ln(1+y^{2}))$ .

2. Fonctions $C^{1}$ , développement limité à l’ordre $1$

Méthode 7 : Qu’est-ce qu’une fonction de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ ?

Une fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ si, pour tout $i$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ , $f$ admet une dérivée partielle $\partial_{i}(f)$ définie sur $\mathbb{R}^{n}$ et continue sur $\mathbb{R}^{n}$ .

Exemple : Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x,y)=2x^{2}y^{3}+3xy^{2}+1$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Réponse : $\partial_{1}(f)(x,y)=4xy^{3}+3y^{2}$ et $\partial_{2}(f)(x,y)=6x^{2}y^{2}+6xy$ ; $\partial_{1}(f)$ et $\partial_{2}(f)$ sont des fonctions polynomiales, donc continues sur $\mathbb{R}^{2}$ , donc $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Méthode 8 : Comment justifier sans calculs qu’une fonction définie sur $\mathbb{R}^{n}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ ?

$\bullet$ Une fonction constante est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Si $f$ et $g$ sont $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , si $\lambda$ est un réel, $\lambda f$ , $f+g$ , et $fg$ sont $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ ;

si pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $g(x)\neq 0$ , $\dfrac{f}{g}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Les fonctions polynomiales et les fonctions rationnelles définies sur $\mathbb{R}^{n}$ sont $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Si $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ à valeurs dans un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , et si $g:I\to\mathbb{R}$ est $C^{1}$ sur $I$ , $g\circ f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ .

$\bullet$ Si $u_{1},\dots,u_{n}$ sont des fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à valeurs réelles, de classe $C^{1}$ sur $I$ , si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , alors la fonction $t\mapsto f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ .

$\bullet$ Si $u_{1},\dots,u_{n}$ sont des fonctions définies sur $\mathbb{R}^{p}$ à valeurs réelles, de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{p}$ , et si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , la fonction de $\mathbb{R}^{p}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $t=(t_{1},\dots,t_{p})$ associe $f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{p}$ .

Exemple : On donne la fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ telle que $f(x,y)=\exp\left(\dfrac{x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\right)$ .

Justifier que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Réponse : La fonction $(x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}$ est rationnelle et définie sur $\mathbb{R}^{2}$ , donc elle est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ , et la fonction exponentielle est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Méthode 9 : Comment définir un développement limité à l’ordre $1$ ( $DL_{1}$ ) pour une fonction de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ ?

$\bullet$ Si $f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ et si $a\in \mathbb{R}^{n}$ , on dira que $f$ admet un $DL_{1}$ au point $a$ s’il existe des réels $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ tels que, si $h=(h_{1},\dots,h_{n})$ , $f(a+h)$ $=\lambda_{1} h_{1}+\dots+\lambda_{n} h_{n}+\Vert h\Vert \epsilon(h)$ où $\epsilon$ est continue en $0$ et $\epsilon(0)=0$ .

$\bullet$ On peut dire aussi: $f$ admet un $DL_{1}$ en $a$ s’il existe des réels $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ tels que, pour $x\in \mathbb{R}^{n}$ , $f(x)=f(a)+\lambda_{1}(x_{1}-a_{1})+$ $\dots+\lambda_{n}(x_{n}-a_{n})+\Vert x-a\Vert \beta(x)$ où $\beta(x)\to 0$ quand $\Vert x-a\Vert\to 0$ , $\Vert x-a\Vert\neq 0$ .

Exemple : La fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ est définie par $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}$ .

Montrer que $f$ admet un $DL_{1}$ en tout point de $\mathbb{R}^{2}$ .

Méthode 10 : Si une fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ admet un $DL_{1}$ en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ ,comment en prévoir les coefficients ? Et comment savoir si une fonction $f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ admet un $DL_{1}$ en un point de $\mathbb{R}^{n}$ ?

$\bullet$ Si $f$ admet un $DL_{1}$ en $a$ , $f$ admet des dérivées partielles $\partial_{i}(f)(a)$ pour $1\leq i\leq n$ , qui sont les coefficients du $DL_{1}$ : $f(a+h)$ $=f(a)+\partial_{1}(f)(a)h_{1}$ $+\dots+\partial_{n}(f)(a)h_{n}+\Vert h\Vert \epsilon(h)$ où $\epsilon(0)=0$ et $\epsilon$ est continue en $0$ .

Donc le $DL_{1}$ de $f$ en $a$ , quand il existe, est unique.

$\bullet$ Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , $f$ admet en tout point de $\mathbb{R}^{n}$ un $DL_{1}$ donné par: $f(x+h)$ $=f(x)+<\nabla (f)(a),h>+\Vert h\Vert \epsilon(h)$ où $\epsilon(0)=0$ et $\epsilon$ est continue en $0$ .

Exemple : On donne $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$ définie par: $f(x,y,z)=(x^{2}+y)e^{xz^{2}}$ . Justifier que $f$ admet un $DL_{1}$ en tout point de $\mathbb{R}^{3}$ et écrire ce $DL_{1}$ .

Réponse : $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{3}$ , donc admet un $DL_{1}$ en tout point de $\mathbb{R}^{3}$ :
$f(x+h, y+k, z+l)$ $=(x^{2}+y)e^{xz^{2}}+(2x+(x^{2}+y)z^{2})e^{xz^{2}}h$ $+e^{xz^{2}}k+(x^{2}+y)2xze^{xz^{2}}l$ $+\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\epsilon(h,k,l)$ où $\epsilon(0,0,0)=0$ et $\epsilon$ est continue en $(0,0,0)$ .

Méthode 11 : Quels renseignements sur $f$ peut-on déduire d’un $DL_{1}$ de $f$ en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ ?

$\bullet$ Si $f$ admet un $DL_{1}$ en $a$ , $f$ est continue en $a$ . Donc une fonction de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ est $C^{0}$ sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ La fonction $u$ qui à $x\in \mathbb{R}^{n}$ associe $f(a)+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(a)(x_{i}-a_{i})$ est une fonction affine (appelée fonction affine tangente à $f$ en $a$ ), et $u(x)$ est une approximation de $f(x)$ quand $\Vert x-a\Vert$ est petit, c’est-à-dire quand $x$ est voisin de $a$ .

Exemple : On donne $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ telle que $f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+2x_{2})^{5}$ . Donner une valeur approchée de $f(0,09;-0,08)$ .

Réponse : La fonction $f$ est polynomiale, donc $C^{1}$ , $f(1,-1)=-1$ , $\partial_{1}(f)(x_{1},x_{2})=10 x_{1}(x_{1}^{2}+2x_{2})^{4}$ et $\partial_{2}(f)(x_{1},x_{2})=10(x_{1}^{2}+2x_{2})^{4}$ , donc $\partial_{1}(f)(1,-1)=\partial_{2}(f)(1,-1)=10$ ; en prenant $h=(-0,01;0,02)$ et en utilisant le $DL_{1}$ de $f$
en $(1,-1)$ , on trouve $f(0,09;-0,08)\approx-0,9$ .

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3. Dérivées directionnelles et autres dérivées

Méthode 12 : Si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ , si $a$ et $h$ appartiennent à $\mathbb{R}^{n}$ , comment interpréter la fonction $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $g(t)=f(a+th)$ ? Comment l’utiliser?

$\bullet$ En utilisant les points et les vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$ , $m=a+th$ équivaut à $\overrightarrow{AM}=t\vec{h}$ .

Quand $t$ décrit $\mathbb{R}$ , $M$ décrit la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ dirigée par $\vec{h}$ .

$\bullet$ En particulier, si $\vec{h}$ est de norme $1$ , $(A,\vec{h})$ constitue un repère (ortho)normé de $\mathcal{D}$ , et $t$ est l’abscisse du point $M$ dans ce repère;

$g(t)$ donne la valeur de $f$ au point de $\mathcal{D}$ d’abscisse $t$ .

$\bullet$ Si on veut étudier la restriction de $f$ à la droite $\mathcal{D}$ , utiliser la fonction $g$ permet de se ramener à une fonction d’une variable.

Exemple :

$f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ , de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ . On note $a=(a_{1},a_{2})$ et $e_{1}=(1,0)$ , et on pose, pour $t\in\mathbb{R}$ , $g(t)=f(a+te_{1})$ .

Exprimer $g$ à l’aide de $f_{1,a}$ , montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $g'(0)$ .

Réponse : $g(t)=f(a_{1}+t,a_{2})=f_{1,a}(a_{1}+t)$ ; comme $g$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ , $f_{1,a}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc $g$ l’est aussi et $g'(t)=(f_{1,a})'(a_{1}+t)$ , donc $g'(0)=(f_{1,a})'(a_{1})=\partial_{1}(f)(a)$ .

Méthode 13 : Comment dériver la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $t$ associe $f(a+th)$ quand $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ et $a,h$ appartiennent à $\mathbb{R}^{n}$ ?

Si $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , la fonction $t\mapsto f(a+th)$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et $\dfrac{d}{dt}(f(a+th))=<\nabla(f)(a+th),h>$ .

Exemple :

On donne $f(x_{1},x_{2})=e^{x_{1}^{2}x_{2}}$ , $a=(-1,0)$ , $h=(1,2)$ et pour $t$ réel, $g(t)=f(a+th)$ .

Calculer $g'(t)$ :

(i) sans calculer l’expression de $g(t)$ ;

(ii) en calculant d’abord l’expression de $g(t)$ .

Méthode 14 : Si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , si $a$ et $h$ sont deux éléments de $\mathbb{R}^{n}$ , qu’est-ce que la dérivée de $f$ en $a$ dans la direction $h$ ? Comment l’utiliser?

$\bullet$ La dérivée de $f$ en $a$ dans la direction $h$ est la dérivée de $t\mapsto f(a+th)$ en $t=0$ : elle vaut donc $<\nabla (f)(a),h>$ .

$\bullet$ On peut utiliser la dérivée directionnelle en $a$ pour calculer $\nabla (f)(a)$ : il peut être plus simple de dériver $f(a+th)$ par rapport à $t$ que de calculer
les dérivées partielles de $f$ .

$\bullet$ Si $\Vert h\Vert=1$ , l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne: $-\Vert \nabla (f)(a)\Vert\leq <\nabla f(a),h>\leq \Vert \nabla (f)(a)\Vert$ , et l’ égalité est obtenue
dans l’inégalité de droite quand $\nabla (f)(a)$ et $h$ sont liés de même sens, dans l’inégalité de gauche quand ils sont liés de sens contraires.

Donc, si $\nabla(f)(a)\neq 0$ , la dérivée de $f$ en $a$ dans la direction $h$ est maximale quand $h$ a la direction de $\nabla (f)(a)$ , cette variation est minimale (maximale négativement) quand $h$
a la direction opposée à celle de $\nabla (f)(a)$ .

Donc, si $\nabla(f)(a)\neq 0$ , l’augmentation de $f$ à partir de $a$ est maximale dans la direction de $\nabla (f)(a)$ , la diminution de $f$ à partir de $a$ est maximale dans la direction opposée
à celle de $\nabla (f)(a)$ (une diminution étant une augmentation négative).

S’il est non nul, le gradient de $f$ en $a$ , représenté comme un vecteur d’origine $a$ , est donc orienté dans le sens des $f$ croissants.

Exemple : Calculer, en utilisant la dérivée directionnelle, le gradient de $f$ quand $f(x_{1},\dots,x_{n})=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}x_{j}$ .

Méthode 15 : Si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ , comment dériver la fonction $g:I\to \mathbb{R}$ quand $g(t)=f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))$ où $u_{1},\dots,u_{n}$ sont des fonctions de classe $C^{1}$ sur $I$ à valeurs réelles et $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ ?

$\bullet$ On a vu que si, pour tout $i$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ , $u_{i}$ est affine: $u_{i}(t)=a_{i}+th_{i}$ , alors $g(t)=f(a+th)$ et

$g'(t)= <\nabla (f)(a+th),h>$

$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(a+th)h_{i}$

$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))u_{i}'(t)$

$\bullet$ En général, on a de même: $g'(t)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))u_{i}'(t)$

Exemple :

$f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ est donnée par: $f(x,y)=x^{2}e^{x+y^{2}}$ , et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est définie par: $g(t)=f(t,v(t))$ où $v$ est une fonction
de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ , à valeurs réelles. Justifier que $g$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $g'(t)$ .

Méthode 16 : Comment calculer les dérivées partielles de la fonction $g:\mathbb{R}^{p}\to \mathbb{R}$ qui à $t=(t_{1},\dots,t_{p})$ associe $f(v_{1}(t),\dots,v_{n}(t))$ quand
$v_{1},\dots,v_{n}$ sont $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{p}$ à valeurs réelles et $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ ?

Pour $j\in \llbracket 1,n \rrbracket$ , en considérant les $t_{k}$ pour $k\in \llbracket 1,n \rrbracket, k\neq j$ comme des constantes et $t_{j}$ comme la variable,
et en appliquant le résultat précédent, on obtient:

$\partial_{j}(g)(t)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(v_{1}(t),\dots,v_{n}(t))\partial_{j}(v_{i})(t)$

Exemple :

La fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ . On définit $g:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$ par:
$g(x,y,z)=f(x+y^{2},y^{2}+z^{3})$ . Calculer les dérivées partielles de $g$ à l’aide de celles de $f$ .

4. Extremas, points critiques

Méthode 17 : Comment différencier un extremum local d’un extremum global ?

$\bullet$ $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ admet en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ un maximum global si pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(x)\leq f(a)$
( $f$ admet en $a$ un minimum global si pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(x)\geq f(a)$ );

$\bullet$ $f$ admet en $a$ un maximum local s’il existe $\alpha >0$ tel que, si $\Vert x-a\Vert\leq \alpha$ , $f(x)\leq f(a)$ ( $f$ admet en $a$ un minimum local s’il
existe $\alpha>0$ tel que, si $\Vert x-a\Vert\leq \alpha$ , $f(x)\geq f(a)$ ).

$\bullet$ Si $f$ admet en $a$ un maximum (ou un minimum) global, elle admet en $a$ un maximum (ou un minimum) local.

Exemple :

$f$ est la fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ définie par: $f(x,y)=(x^{4}-x^{2})(y+1)$ . Montrer que $f$ admet en $(0,0)$ un maximum local. Est-ce un maximum
global?

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Méthode 18 : Si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , comment trouver les points où une fonction admet un extremum (local ou global)?

$\bullet$ Si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ et si $f$ admet en un point $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ un extremum local, alors
$\nabla(f)(a)=0$ .

$\bullet$ Les points $a$ de $\mathbb{R}^{n}$ telsque $\nabla(f)(a)=0$ sont les points critiques. Les points critiques sont les points candidats à l’extremum
(local ou global).
En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles.

Exemples : On donne la fonction $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$ telle que $f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}x^{2}+xyz-z+y$ . En quels points de $\mathbb{R}^{3}$ la fonction $f$ peut-elle présenter un extremum?

On donne la fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ telle que $f(x,y)=x^{3}+2x^{2}y$ . Cette fonction admet-elle un extremum (local ou global) sur $\mathbb{R}^{2}$ ?

Méthode 19 : Si $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , comment savoir si un point critique de $f$ est un point où $f$ admet un extremum (local ou global) ?

Si $a$ est un point critique, on peut former $f(x)-f(a)$ et en étudier le signe, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ ou pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ voisin de $a$ .

Exemple : Si $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}$ est définie par $f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}x^{2}+xyz-z+y$ , $f$ admet un unique point critique $(1,1,-1)$ . La fonction $f$ admet-elle un
extremum (local ou global) sur $\mathbb{R}^{2}$ ?

Réponse : $f$ ne peut admettre un extremum qu’au point critique $a=(1,1,-1)$ ; on trouve $f(a)=\dfrac{3}{2}$ . Pour tout $y$ réel, $f(1,y,-y)-\dfrac{3}{2}=-(y-1)^{2}$ et
$f(x,1,-1)-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)^{2}$ ; pour tout $y\neq 1$ , $f(1,y,-y)-\dfrac{3}{2}<0$ et pour tout $x\neq 1$ , $f(x,1,-1)-\dfrac{3}{2}>0$ .
On a $\Vert (1,y,-y)-a\Vert^{2}=2(y-1)^{2}$ et $\Vert (x,1,-1)-a\Vert^{2}=(x-1)^{2}$ , donc quelque soit le réel strictement positif $\alpha$ , il existe $y$ et $x$ réels
tels que $\Vert (1,y,-y))-a\Vert\leq \alpha$ et $\Vert (x,1,-1)-a\Vert\leq \alpha$ , pour lesquels on a $f(1,y,-y)<\dfrac{3}{2}$ et $f(x,1,-1)>\dfrac{3}{2}$ .

Donc le point critique $a$ n’est pas un extremum local; ce n’est pas, à plus forte raison, un extremum global.

Chaque chapitre de maths au programme d’ECS2 doit être travaillé et parfaitement acquis avant les concours post-prépa, les cours en ligne et les cours de maths particulier permettent ainsi de vérifier ses connaissances et d’identifier ses difficultés :

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