Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Compléments sur les variables aléatoires réelles en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices – Boules, Loi de Poisson, Intégrales convergentes

Exercice 1 : Boules et limite de l’espérance

$N$ boules ( $N\geq 2$ ) sont réparties dans $2$ urnes.

L’urne

$U_{1}$ contient

$K$ boules numérorées

$1,2,\dots,K$ , l’urne

$U_{2}$ contient

$N-K$ boules numérorées

$K+1,\dots,N$ . Une épreuve consiste à choisir au hasard un numéro dans

$1,\dots,N$ , et à changer d’urne la boule portant ce numéro. Pour

$n\in \mathbb{N}^{*}$ , on désigne par

$X_{n}$ le nombre de boules qui se trouvent dans l’urne

$U_{1}$ après

$n$ épreuves. Question 1 :

Pour

$n\in \mathbb{N}$ , donner la loi de

$X_{n+1}$ conditionnée par

$[X_{n}=k]$ (on distinguera les cas

$k=0$ et

$K=N$ ).

Question 2 :

En déduire l’espérance de $X_{n+1}$ sachant $[X_{n}=k]$ , puis l’espérance de $X_{n+1}$ en fonction de celle de $X_{n}$ .

Question 3 :

Calculer, pour $n\in \mathbb{N}$ , l’espérance de $X_{n}$ . Quelle est la limite de cette espérance quand $n\to +\infty$ ?

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Exercice 2 : Loi et calcul de l’espérance

Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ ( $n\geq 2$ ).

On effectue des tirages successifs d’une boule de l’urne, en remettant chaque fois la boule tirée dans l’urne avant le tirage suivant.

Pour $1\leq i\leq n$ , $Y_{i}$ désigne le rang du tirage où l’on voit apparaître pour la première fois $i$ numéros distincts, si cette circonstance se produit,sinon $Y_{i}$ prend la valeur $0$ .

Question 1 :

Trouver la loi de

$Y_{1}$ , puis celle de

$Y_{2}$ .

Question 2 : Trouver la loi de

$Y_{2}-Y_{1}$ . Question 3 : (i) Trouver la loi de

$Y_{i+1}-Y_{i}$ sachant

$[Y_{i}=k]$ ,

$k\geq i$ ,

$1\leq i\leq n-1$ . (ii) En déduire, pour

$1\leq i\leq n-1$ , la loi de

$Y_{i+1}-Y_{i}$ .

Exercice 3 : Loi de Poisson de paramètre $\lambda$

$A$ est une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Le nombre $N$ de clients fréquentant un centre commercial est une v.a.r. qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ , $\lambda>0$ .

La probabilité qu’un client y effectue un achat est $p$ , $p\in ]0,1[$ . $X$ désigne le nombre de clients qui effectuent un achat; on admet que $X$ est une v.a.r..

Question 1 :

Pour $n\in\mathbb{N}$ , trouver la loi de $X$ sachant $[N=n]$ et donner l’espérance de $X$ sachant $[N=n]$ .

Question 2 :

Montrer que $X$ admet une espérance et calculer $\mathbb{E}(X)$ .

Question 3 :

Trouver la loi de $X$ .

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Exercice 4 : Intégrales convergentes et divergentes

1. (i) Montrer que l’intégrale $\displaystyle \int_{\pi/2}^{+\infty} \dfrac{\cos(t)}{t\sqrt{t}}dt$ est absolument convergente.

$A$ est une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}$ , $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C})$ qui admet $n$ valeurs propres distinctes.

La famille $(I, A,\dots, A^{n-1})$ est-elle libre ? Si oui, montrez-le.

(ii) Montrer que l’intégrale $\displaystyle \int_{\pi/2}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{\sqrt{t}}dt$ est convergente.

2. (i) Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}^{*}$ , pour tout $t\in [2k\pi+(\pi/6), 2k\pi+(5\pi/6)]$ ,

$\dfrac{|\sin(t)|}{\sqrt{t}}\geq \dfrac{1}{2\sqrt{(2k+1)\pi}}$

2. (ii) En déduire: $\forall k\in \mathbb{N}^{*}$ , $\displaystyle \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}\!\dfrac{|\sin(t)|}{\sqrt{t}}dt\geq \dfrac{\sqrt{\pi}}{3}\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$ .