Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Lois, Espérance, Variance

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices – Couples de variables aléatoires discrètes

Exercice 1 :

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, à valeurs dans $\mathbb{N}$ .

Question :

Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour tous $i$ et $j$ de $\mathbb{N}$ , $\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])=u_{i}v_{j}$ , où $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ sont deux suites de réels positifs ou nuls.

Exercice 2 :

On pose $S_{2}=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}$ , $S_{3}=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}$ , et pour tout $(i,j)$ de
$\mathbb{N}^{*}\times \mathbb{N}^{*}$ , $p_{i,j}=\dfrac{\lambda}{(i+j)^{3}}$ .

Question :

Trouver $\lambda$ pour que la famille $(p_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}}$ soit la loi d’un couple de v.a.r. discrètes.

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Exercice 3 :

On pose, pour $(i,j)\in \mathbb{N}^{2}$ , $p_{i,j}=\dfrac{1}{2^{i+j+2}}$ .

Questions :

Montrer que la famille $(p_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}$ est la loi d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. discrètes.

Trouver les lois de $X$ et $Y$ .

Quelles sont les lois de $X+1$ et $Y+1$ ? Trouver sans calculs l’espérance et la variance de $X$ et $Y$ , l’espérance de $XY$ , la variance de $X+Y$ .

Exercice 4 :

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ telles que $X(\Omega)=Y(\Omega)=\mathbb{N}$ , indépendantes.

On suppose que pour tout $k$ de $\mathbb{N}$ et pour tout entier $n$ , $n\geq k+1$ , $\mathbb{P}([Y=k])\leq \mathbb{P}([Y=n])$ .

Question :

Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ , $\mathbb{P}([X+Y=n])\leq \mathbb{P}([X\leq n])\mathbb{P}([Y=n])$ .

Exercice 5 :

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ qui suivent la loi uniforme sur $\llbracket 0,n \rrbracket$ , $n$ étant un entier naturel non nul donné, indépendantes.

Question :

Trouver la loi de $X+Y$ .

Exercice 6 :

$(X,Y)$ est un couple de v.a.r. sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , $X$ suit la loi uniforme sur $\llbracket 1,n \rrbracket$ , où $n$ est un entier naturel non nul, et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ , $p\in [0,1]$ .

Question :

Trouver la loi de $X+Y$ .

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Exercice 7 :

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. indépendantes sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , qui suivent des lois géométriques de paramètres respectifs $u$ et $v$ .

Question :

Trouver la loi de $X+Y$ .

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