Chapitres Maths en ECS2

Cours Couples et n-uplets de variables aléatoires réelles ECS2

Ce cours en ligne gratuits sur les couples et n-upets de variables aléatoires en ECS2 vous aidera à progresser en maths. Vous êtes encouragé à renforcer votre apprentissage en associant nos cours gratuits en ligne à nos cours de maths.

Méthodes – Couples et n-uplets de var dans le cas général

1. Loi d’un couple ou d’un n-uplet

Méthode 1 : Comment trouver la fonction de répartition d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. ? d’un n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ de v.a.r. ?

$\bullet$ La fonction de répartition d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. est la fonction $F_{(X,Y)}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ définie par:
$F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])$ .

$\bullet$ La fonction de répartition d’un n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ de v.a.r. est la fonction $F_{(X_{1},\dots,X_{n})}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ définie par: $F_{(X_{1},\dots,X_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})$ $=\mathbb{P}([X_{1}\leq x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leq x_{n}])$ .

Exemple : $X$ et $M$ sont deux v.a.r. définies sur le même espace probabilisé, $M$ est constante égale à $m$ , $m\in \mathbb{R}$ .

Trouver la fonction de répartition du couple $(X,M)$ .

Réponse : Pour $x$ et $y$ réels, $[X\leq x]\cap[Y\leq y]=\emptyset$ si $y<m$ , et si $y\geq m$ , $[Y\leq y]=\Omega$ , donc $[X\leq x]\cap[Y\leq y]=[X\leq x]$ .

Donc pour tout $x$ réel, $F_{(X,M)}(x,y)=0$ si $y<m$ , $F_{(X,M)}(x,y)=F_{X}(x)$ si $y\geq m$ .

Méthode 2 : Comment trouver la loi d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r.? d’un n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ de v.a.r. ?

La loi du couple $(X,Y)$ , ou du n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ , est donnée en général par sa fonction de répartition.

Si les v.a.r. $X_{1},\dots,X_{n}$ sont discrètes, la loi de $(X_{1},\dots,X_{n})$ est le plus souvent donnée par l’ensemble $\Omega'_{(X_{1},\dots,X_{n})}$ des valeurs prises par le n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ et, pour tout $(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\Omega'_{(X_{1},\dots,X_{n})}$ ,

$\mathbb{P}([X_{1}=x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}=x_{n}])$ .

Exemple : $X$ est une v.a.r. qui suit la loi exponentielle de paramètre $1$ . Trouver la loi du couple $(X,-X)$ .

Méthode 3 : Comment trouver les lois de $X$ et $Y$ connaissant la loi du couple $(X,Y)$ ?
Que dire de la loi de $g(X,Y)$ , ou de $g(X_{1},\dots,X_{n})$ quand $(X,Y)$ est un couple de v.a.r. ou $(X_{1},\dots,X_{n})$ un n-uplet de v.a.r.?

$\bullet$ Pour tous $x,y$ réels, $\mathbb{P}([X\leq x])=\displaystyle \lim_{y\to +\infty}\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])$ et $\mathbb{P}([Y\leq y])=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])$ .

$\bullet$ La loi de $g(X,Y)$ dépend de la loi du couple $(X,Y)$ : si $g$ est une fonction continue de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ , et si $(X_{1},Y_{1})$ et $(X_{2},Y_{2})$ ont même loi, $g(X_{1},Y_{1})$ et $g(X_{2},Y_{2})$ ont même loi.

La loi de $g(X_{1},\dots,X_{n})$ dépend de la loi du n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ : si $g$ est une fonction continue de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ et si $(X_{1},\dots,X_{n})$ et $(Y_{1},\dots,Y_{n})$ ont même loi, $g(X_{1},\dots,X_{n})$ et $g(Y_{1},\dots,Y_{n})$ ont même loi.

Exemple : On suppose que $X_{1}$ et $X_{2}$ ont même loi, que $Y_{1}$ et $Y_{2}$ ont même loi. Alors,
$X_{1}+Y_{1}$ et $X_{2}+Y_{2}$ ont-elles même loi ?

Réponse : Non, on n’a pas supposé que les couples $(X_{1},Y_{1})$ et $(X_{2},Y_{2})$ ont même loi.
Si $X_{1}$ , $X_{2}$ , $Y_{1}$ , $Y_{2}$ suivent des lois de Bernouilli de paramètre $p$ , si $X_{1}$ et $Y_{1}$ sont indépendantes et si $Y_{2}=X_{2}$ , $X_{1}+Y_{1}$ suit une loi binomiale de paramètre $(2,p)$ , donc prend la valeur $2$ avec probabilité $p^{2}$ , alors que $X_{2}+Y_{2}=2X_{2}$ , et $2X_{2}$ prend la valeur $2$ avec probabilité $p$ .

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2. Couple de v.a.r. indépendantes, cas des v.a.r. à densité

Méthode 4 : Si $(X,Y)$ est un couple de v.a.r., quand peut-on dire que $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

$X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}$ , $F_{(X,Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$ , c’est-à-dire $\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])$ $=\mathbb{P}([X\leq x])\mathbb{P}([Y\leq y])$ .

On peut dire aussi: $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles $I$ et $J$ de $\mathbb{R}$ , $\mathbb{P}([X\in I]\cap[Y\in J])$ $=\mathbb{P}([X\in I])\mathbb{P}([Y\in J])$

ou: $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tout événement $A$ de $\mathcal{A}_{X}$ et tout événement $B$ de $\mathcal{A}_{Y}$ , $\mathbb{P}(A\cap B)$ $=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$ .

Si $X$ et $Y$ sont discrètes, $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tout $x$ de $X(\Omega)$ et tout $y$ de $Y(\Omega)$ , $\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$ $=\mathbb{P}([X=x])\mathbb{P}([Y=y])$

Enfin, deux v.a.r. $X$ et $Y$ liées à deux expériences indépendantes sont indépendantes.

Exemple : Peut-on dire: $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tous $x$ et $y$ réels, a-ton $\mathbb{P}([X>x]\cap[Y>y])$ $=\mathbb{P}([X>x])\mathbb{P}([Y>y])$ ?

Réponse : Oui !

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $[X\in ]x,+\infty[\ ]$ et $[Y\in ]y,+\infty[\ ]$ sont des événements indépendants; inversement, si ces deux événements sont indépendants, leurs complémentaires le sont aussi, donc $\mathbb{P}([X\leq x]\cap [Y\leq y])=\mathbb{P}([X\leq x])\mathbb{P}([Y\leq y])$ .

Méthode 5 : Si $(X,Y)$ est un couple de v.a.r. à densité indépendantes, comment trouver la loi de $X+Y$ ?

On étudie la convolée de $f_{X}$ et $f_{Y}$ : $h(x)=f_{X}*f_{Y}(x)$ $=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(t)f_{Y}(x-t)dt$ .
Si $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ et continue sauf peut-être en un nombre fini de points, $h$ est une densité de $X+Y$ .
On peut remarquer que:
– si $f_{X}$ ou $f_{Y}$ est bornée, $f_{X}*f_{Y}$ est définie sur $\mathbb{R}$ .
– si $f_{X}*f_{Y}(x)$ existe, $f_{X}*f_{Y}(x)=f_{Y}*f_{X}(x)$ .
– si $x$ n’appartient pas à $X(\Omega)+Y(\Omega)$ , $f_{X}*f_{Y}(x)=0$ .

Exemple : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $1$ , $Y$ la loi exponentielle de paramètre $2$ , $X$ et $Y$ sont indépendantes. Trouver la loi de $X+Y$ .

Méthode 6 : Quelles sont les lois à densité connues qui sont stables pour la somme ?

Si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont deux v.a.r. indépendantes,
$\bullet$ si $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent des lois $\gamma(\nu_{1})$ et $\gamma(\nu_{2})$ , alors $X_{1}+X_{2}$ suit la loi $\gamma(\nu_{1}+\nu_{2})$ : la loi $\gamma$ est stable pour la somme.
$\bullet$ si $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent des lois normales de paramètres $(m_{1},\sigma_{1}^{2})$ et $(m_{2},\sigma_{2}^{2})$ , alors $X_{1}+X_{2}$ suit la loi normale de paramètre $\left(m_{1}+m_{2},\left(\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}\right)^{2}\right)$ : la loi normale est stable pour la somme.

Exemple : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, et suivent des lois exponentielles de paramètres $\lambda$ et $\mu$ , alors :

(i) $X+Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda+\mu$ ?
(ii) $\lambda X+\mu Y$ suit la loi $\gamma$ de paramètre $2$ ?
(iii) $\dfrac{1}{\lambda}X+\dfrac{1}{\mu}Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $2$ ?

Réponse : La bonne réponse est (ii).

$\lambda X$ suit la loi exponentielle de paramètre $1$ , qui est la loi $\gamma(1)$ , $\mu Y$ suit la loi $\gamma(1)$ .

3. n-uplets de v.a.r. indépendantes, suites de v.a.r. discrètes indépendantes

Méthode 7 : Quand peut-on dire que $n$ v.a.r. $X_{1},\dots,X_{n}$ , $n\geq 2$ sont mutuellement indépendantes ?

$\bullet$ $X_{1},\dots,X_{n}$ sont mutuellement indépendantes si pour tous réels $x_{1},\dots,x_{n}$ , $F_{(X_{1},\dots,X_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})$ $=F_{X_{1}}(x_{1})\dots F_{X_{n}}(x_{n})$ , c’est-à-dire $\mathbb{P}([X_{1}\leq x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leq x_{n}])$ $=\mathbb{P}([X_{1}\leq x_{1}])\dots\mathbb{P}([X_{n}\leq x_{n}])$ .

On peut dire aussi:

$\bullet$ $X_{1},\dots,X_{n}$ sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles $I_{1},\dots,I_{n}$ de $\mathbb{R}$ , $\mathbb{P}([X_{1}\in I_{1}]\cap \dots \cap[X_{n}\in I_{n}])$ $=\mathbb{P}([X_{1}\in I_{1}])\dots \mathbb{P}([X_{n}\in I_{n}])$ ,
ou
$\bullet$ $X_{1},\dots,X_{n}$ sont indépendantes si et seulement si pour tous événements $A_{1},\dots,A_{n}$ de $\mathcal{A}_{X_{1}},\dots,\mathcal{A}_{X_{n}}$ , $\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{n})=\mathbb{P}(A_{1})\dots \mathbb{P}(A_{n})$ .

$\bullet$ Si $X_{1},\dots,X_{n}$ sont discrètes, elles sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tous $x_{1},\dots,x_{n}$ de $X_{1}(\Omega),\dots,X_{n}(\Omega)$ , $\mathbb{P}([X_{1}=x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}=x_{n}])$ $=\mathbb{P}([X_{1}=x_{1}])\dots\mathbb{P}([X_{n}=x_{n}])$ .

Exemple : Si $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ sont mutuellement indépendantes, peut-on être sûr que $X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes ?

Réponse : Oui !

$\mathbb{P}([X_{2}\in I_{2}]\cap [X_{3}\in I_{3}])$ $=\mathbb{P}([X_{1}\in \mathbb{R}]\cap [X_{2}\in I_{2})\cap [X_{3}\in I_{3}])$
$=\mathbb{P}([X_{1}\in \mathbb{R}])\mathbb{P}([X_{2}\in I_{2}])\mathbb{P}([X_{3}\in I_{3}])$ et $\mathbb{P}([X_{3}\in \mathbb{R}])=1$ .

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Méthode 8 : Quand peut-on dire qu’une suite infinie de v.a.r. est formée de v.a.r. mutuellement indépendantes ?

La suite $(X_{n})_{n\geq 1}$ est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout entier $n$ , $n\geq 2$ , $X_{1},\dots,X_{n}$ sont mutuellement indépendantes.

Si $(X_{n})_{n\geq 1}$ est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes, pour tout entier $k$ , $k\geq 2$ , et tous entiers $n_{1},\dots,n_{k}$ , $X_{n_{1}},\dots,X_{n_{k}}$ sont mutuellement indépendantes.

Exemple : Si $(X_{n})_{n\geq 1}$ est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes et si $i$ et $j$ sont deux entiers non nuls distincts, $X_{i}$ et $X_{j}$ sont indépendantes.

Méthode 9 : Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?

Si $X_{1},\dots,X_{n}$ sont des v.a.r. mutuellement indépendantes ( $n\geq 2$ ), et si $1\leq p<n$ , une v.a.r. de la forme $g(X_{1},\dots,X_{p})$ et une v.a.r. de la forme $h(X_{p+1},\dots,X_{n})$ sont indépendantes.

Exemple : Si $X_{1},\dots,X_{9}$ sont mutuellement indépendantes, $X_{2}+X_{4}$ et $X_{1}X_{3}X_{5}$ , alors :

(i) sont indépendantes?

(ii) on ne peut rien dire, ce n’est pas l’énoncé du lemme des coalitions ?

Peut-on trouver une base de $\mathbb{R}^{3}$ formée de vecteurs propres de $f$ ?

Réponse : Oui : Les ensembles d’indices $\{2,4\}$ et $\{1,3,5\}$ ont une intersection vide.

Méthode 10 : Quelles propriétés de l’espérance s’étendent aux v.a.r. en général ?

Les propriétés de l’espérance déjà vues s’étendent au cas général:

$\bullet$ Positivité: si $X$ est une v.a.r. positive qui admet une espérance, alors $\mathbb{E}(X)\geq 0$ ;

$\bullet$ Croissance: si $X\leq Y$ et si $X$ et $Y$ admettent une espérance, $\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$ ;

$\bullet$ Existence par domination: si $0\leq |X|\leq Y$ p.s. et si $Y$ admet une espérance, $X$ admet une espérance et $\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$ ;

$\bullet$ Linéarité : si $X$ et $Y$ admettent une espérance, pour tous réels $a$ et $b$ , $aX+bY$ admet une espérance et $\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)$ ;

si $X_{1},\dots,X_{n}$ admettent une espérance, si $a_{1},\dots,a_{n}$ sont des réels, $a_{1}X_{1}+\dots+a_{n}X_{n}$ admet une espérance et $\mathbb{E}(a_{1}X_{1}+\dots +a_{n}X_{n})$ $=a_{1}\mathbb{E}(X_{1})+\dots +a_{n}\mathbb{E}(X_{n})$ ;

$\bullet$ Si $X,Y$ sont indépendantes et admettent une espérance, $XY$ admet une espérance et $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ ;

si $X_{1},\dots,X_{n}$ sont mutuellement indépendantes et admettent une espérance, $X_{1}\dots X_{n}$ admet une espérance et $\mathbb{E}(X_{1}\dots X_{n})=\mathbb{E}(X_{1})\dots \mathbb{E}(X_{n})$ .

Enfin, si $X$ et $Y$ sont discrètes et indépendantes, si $A$ appartient à $\mathcal{A}_{Y}$ et $\mathbb{P}(A)\neq 0$ , $\mathbb{E}(X|A)=\mathbb{E}(X)$ .

Exemple : $X$ est une v.a.r. positive. On pose $g_{X}(t)=\mathbb{E}(t^{X})$ .

Montrer que $g_{X}$ est définie sur $[0,1]$ et que, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $g_{X+Y}=g_{X}g_{Y}$ .

Méthode 11 : Quelles sont les propriétés de la variance et de la covariance dans le cas général ?

Les définitions de la variance et de la covariance s’étendent au cas général :

$\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)$ , et $\textrm{cov}(X,Y)$ $=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\right)$ , quand ces espérances existent.

On a: $\textrm{Var}(X)=\textrm{cov}(X,X)$ .

Les propriétés vues pour les v.a.r. discrètes s’étendent au cas général :

$\bullet$ Formule de Koenig-Huygens pour la variance: $X$ admet une variance si et seulement si $X$ admet un moment d’ordre $2$ et alors $\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2$ ;

$\bullet$ Formule de Koenig-Huygens pour la covariance: $\textrm{cov}(X,Y)$ existe si et seulement si $XY$ admet une espérance et alors $\textrm{cov}(X,Y)$ $=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ ;

$\bullet$ Si $X$ admet une variance, $\textrm{Var}(X)\geq 0$ , et $\textrm{Var}(\lambda X)=\lambda^2 \textrm{Var}(X)$ ;

$\bullet$ Inégalité de Cauchy-Schwarz: si $X$ et $Y$ admettent une variance, $\textrm{cov}(X,Y)$ existe et $|\textrm{cov}(X,Y)|\leq \sigma_{X}\sigma_{Y}$ ;

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une variance, $\textrm{cov}(X,Y)=0$ ;

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une variance, $X+Y$ admet une variance et $\textrm{Var}(X+Y)=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)$ ;

si $X_{1},\dots,X_{n}$ sont mutuellement indépendantes et admettent une variance, $X_{1}+\dots +X_{n}$ admet une variance et $\textrm{Var}(X_{1}+\dots +X_{n})$ $=\textrm{Var}(X_{1})+\dots +\textrm{Var}(X_{n})$ ;

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ admettent une variance, $X+Y$ en admet une et $\textrm{Var}(X+Y)$ $=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)+2\textrm{cov}(X,Y)$ ;

si $X_{1},\dots,X_{n}$ admettent une variance, $X_{1}+\dots +X_{n}$ en admet une et $\textrm{Var}(X_{1}+\dots +X_{n})$ $=\textrm{Var}(X_{1})+\dots +\textrm{Var}(X_{n})$ $+\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq n,i\neq j}\textrm{cov}(X_{i},X_{j})$

$=\textrm{Var}(X_{1}+\dots +\textrm{Var}(X_{n})$ $+\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq n}\textrm{cov}(X_{i},X_{j})$ .

Exemple : On suppose que pour $1\leq i\leq n$ , $\textrm{Var}(X_{i})=v$ , et que pour $1\leq i<j\leq n$ , $\textrm{cov}(X_{i},X_{j})=c$ .

Calculer la variance de $X_{1}+\dots +X_{n}$ .

Réponse : Le nombre de couples $(i,j)$ tels que $1\leq i<j\leq n$ est $\dfrac{n(n-1)}{2}$ , donc $\textrm{Var}(X_{1}+\dots +X_{n})$ $=nv+n(n-1)c$ .

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Méthode 12 : Dans quels cas classiques peut-on connaître la loi d’une somme de v.a.r. indépendantes ?

Si $X_{1},\dots,X_{n}$ sont des v.a.r. mutuellement indépendantes qui suivent

$\bullet$ une loi de Bernouilli de paramètre $p$ , $X_{1}+\dots +X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètre $(n,p)$ ;

$\bullet$ des lois binomiales de paramètre $(k_{1},p),\dots,(k_{n},p)$ , $X_{1}+\dots+X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètre $(k_{1}+\dots +k_{n},p)$ ;

$\bullet$ des lois de Poisson de paramètres $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ , $X_{1}+\dots+X_{n}$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}$ ;

$\bullet$ des lois $\gamma(\nu_{1}),\dots,\gamma(\nu_{n})$ , $X_{1}+\dots +X_{n}$ suit une loi $\gamma(\nu_{1}+\dots+\nu_{n})$ ;

$\bullet$ des lois exponentielles de paramètre $1$ , $X_{1}+\dots+X_{n}$ suit une loi $\gamma(n)$ ;

$\bullet$ des lois exponentielles de paramètre $\lambda$ , $\lambda(X_{1}+\dots+X_{n})$ suit une loi $\gamma(n)$ .

$\bullet$ des lois normales de paramètres $(m_{1},\sigma_{1}^{2}),\dots,(m_{n},\sigma_{n}^{2})$ , $X_{1}+\dots+X_{n}$ suit une loi normale de paramètre $\left(m_{1}+\dots+m_{n},\left(\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\dots+\sigma_{n}^{2}}\right)^{2}\right)$ .

Exemple : $X$ , $Y$ , $Z$ sont mutuellement indépendantes et suivent respectivement la loi exponentielle de paramètre $2$ , la loi gamma de paramètre $1/2$ , la loi exponentielle de paramètre $3$ . Trouver la loi de $2X+Y+3Z$ .

Réponse : $2X$ et $3Z$ suivent la loi exponentielle de paramètre $1$ ; $2X$ , $Y$ et $3Z$ sont mutuellement indépendantes, donc $2X+Y+3Z$ suit la loi $\gamma(5/2)$ .

En plus des entraînements sur les annales, les cours en ligne de maths en ECS2 sont parfaits pour revoir les notions basiques des chapitres au programme :

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