Cours en ligne Physique en Maths Sup

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Cours de Physique : Optique géométrique en maths sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de physique en Maths Sup

Ce cours en ligne gratuit de physique chimie en prépa scientifique vous aidera à revoir le cours de l’optique géométrique, une matière cruciale pour la compréhension des phénomènes lumineux et leurs applications. Si vous rencontrez des difficultés en physique chimie, ne sous-estimez pas l’importance de suivre un cours particulier en physique chimie.

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Cours et méthodes – MPSI, MP2I, PCSI et PTSI Optique géométrique

Plan :

A. Lois de Descartes
B. Miroirs plans et lentilles
C. Instruments d’optique

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A. Lois de Descartes et schéma

1. Lois de la réflexion de Descartes
Un rayon incident frappe un miroir en un point $M$ . La normale en $M$ au miroir est $\vec{n}$

Le plan d’incidence contient $M$ , $\vec{n}$ et le rayon incident.

L’angle d’incidence $i$ est mesuré entre $\vec{n}$ et le rayon incident.

* Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence

* L’angle $r$ entre $\vec{n}$ et le rayon réfléchi est égal à $i$

2. Indice de réfraction.

La lumière se propage dans le vide à la célérité $c_0=3,00\cdot 10^8~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$

Dans un milieu transparent homogène, elle se déplace toujours plus lentement, à la célérité

$\displaystyle{c=\frac{c_0}{n}}$

où $n\leq 1$ est l’indice de réfraction du milieu.

Exemple.

L’indice de réfaction du diamant vaut $n=2,42$

a. Quelle est la célérité de la lumière dans le diamant ?

b. Combien de temps met-elle à traverser un diamant d’épaisseur $d=2,5~\mathrm{cm}$ ?

Correction :

a. $c=c_0/n=1,24\cdot 10^8~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$
b. $\Delta t=d/c=202~\mathrm{ps}$

3. Lois de Descartes à la réflexion.

Un dioptre sépare deux milieux d’indices $n_1$ et $n_2$

Un rayon incident se propage dans le milieu 1 et frappe le dioptre en un point $M$ .

La normale en $M$ au dioptre est $\vec{n}$

Le plan d’incidence contient $M$ , $\vec{n}$ et le rayon incident.

L’angle d’incidence $i_1$ est mesuré entre $\vec{n}$ et le rayon incident;.

* On observe toujours un rayon réfléchi dans le milieu 1 et, sous conditions, un rayon réfracté dans le milieu 2.

* Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence

* L’angle $r$ entre $\vec{n}$ et le rayon réfléchi est égal à $i_1$

* Le rayon réfracté, s’il existe, est dans le plan d’incidence

* L’angle $i_2$ entre la normale au dioptre et le rayon réfracté vérifie la seconde loi de Descartes

$n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$

* Un sinus étant toujours inférieur à 1, le rayon réfracté n’existe donc que si

$\displaystyle{\frac{n_1}{n_2}\sin i_1\leq 1}$

Exemple.

Un rayon d’angle d’incidence $i_1=45^{\circ}$ se réfracte de l’air ( $n_1=1,0$ ) dans l’eau ( $n_2=1,5$ )

Quel est l’angle de réfraction ?

Correction :

$\displaystyle{i_2=\mathrm{arc}\sin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin i_1\right)=28^{\circ}}$

4. Réflexion totale.

Lorsque l’équation définissant $i_2$ est impossible, il n’y a pas de réfraction, toute la lumière est réfléchie, il y a réflexion totale.

C’est le cas si

$\displaystyle{\frac{n_1}{n_2}\sin i_1\>1}$

* Si $n_2\geq n_1$ cette inégalité n’est jamais vérifiée et il n’y a jamais réflexion totale.

* Si $n_2<n_1$ il y a réflexion totale si

$\displaystyle{i_1>\mathrm{arc}\sin\frac{n_2}{n_1}}$

L’angle limite de réflexion totale vaut donc

$\displaystyle{i_r=\mathrm{arc}\sin\frac{n_2}{n_1}}$

Exemple.

Calculer l’angle limte de réflexion totale pour l’interface eau ( $n_1=1,5$ ) air ( $n_2=1,0$ )

Correction :

$i_r=\mathrm{arc}\sin(1/1,5)=42^{\circ}$

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B. Miroirs plans et lentilles

1. Stigmatisme, image d’un point, image d’un objet.

A partir d’un point lumineux $M$ , émettant ou diffusant de la lumière, des rayons lumineux partent dans toutes les directions de l’espace. Ces rayons sont réfléchis et réfractés par les miroirs et dioptres qu’ils rencontrent.

* SI tous ces rayons, après ces réflexions et réfractions, convergent vers un point $M'$ , on dit que $M'$ est l’image de $M$ et qu’il y a stigmatisme rigoureux.

* Un objet est formé par un ensemble de points lumineux qu’on suppose tous dans le même plan. On résume en général un objet à un bipoint $AB$ .

* Si chaque point $M$ de l’objet possède un point image $M'$ , alors l’ensemble des points images forme l’image de l’objet. Lorsque l’objet est résumé au bipoint $AB$ , alors son image est le bipoint $A'B'$ .

2. Objet/image réel(le)/virtuel(le).

* Un objet réel est formé par un ensemble de points lumineux dont partent des rayons lumineux.

* Une image réelle est formée par des points vers lesquels convergent des rayons lumineux issus de l’objet. En plaçant un écran à l’endroit où se trouvent ces points, on forme l’image de l’objet sur l’écran.

* Un objet virtuel est formé par un ensemble de points rayons qui semblent provenir de points mais qui ne se rencontrent pas réellement.

* Une image virtuelle est formée par un ensemble de points vers lesquels les rayons issus de l’objet semblent converger, où desquels ils semblent provenir.

3. Image par un miroir plan.

L’image d’un point $M$ par un miroir plan est le point $M'$ symétrique orthogonale de $M$ par rapport au miroir.

Démonstration de cours.

Prouver ce résultat.

Correction :

Un rayon issu de $M$ qui frappe le miroir en $P$ est tel que le triangle $(MM'P)$ est isocèle en $P$ . La loi de Descartes à la réflexion entraîne que le rayon réfléchi est le prolongement de $M'P$ (un dessin aidera la compréhension).

4. Lentilles minces.

Dans l’approximation de Gauss des rayons paraxiaux (proches de l’axe, en direction et en distance), il y a stigmatisme pour les lentilles minces.

Il y a deux aspects complémentaires : l’aspect géométrique avec la construction des rayons, puis des images, et l’aspect algébrique avec les relations de conjugaison.

* Aspect géométrique : rayons fondamentaux. Les lois sont les mêmes pour une lentille convergente (CV) ou divergente (DV) mais il y a des petites différences de formulation.

(a) Tout rayon passant par le centre optique O de la lentille n’est pas dévié.

(b) Tout rayon incident parallèle à l’axe ressort en pointant vers (CV) ou en semblant provenir (DV) du foyer image F’.

* Aspect géométrique : marche d’un rayon quelconque.

(d) Un rayon incident frappe une lentille. Le rayon parallèle à ce rayon et passant par le centre optique n’est pas dévié, il coupe le plan focal en un foyer secondaire F ». Le rayon émergeant issu du rayon initial pointe vers (CV) ou semble provenir de F ».

* Aspect algébrique : relations de conjugaison de Descartes.

(e) $\displaystyle{\frac1{\overline{OA'}}-\frac1{\overline{OA}}=\frac1{\overline{OF'}}}$

(f) $\displaystyle{\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}}$

* Vocabulaire

(g) si l’objet est à gauche de la lentille, il est réel, s’il est à droite, il est virtuel.

(h) Si l’image est à droite de la lentille, elle est réelle, si elle est à gauche, elle est virtuelle.

Exemple.

Un objet AB de taille $\overline{AB}=1~\mathrm{cm}$ est situé à 10 cm à droite d’une lentille DV de distance focale $f'=-20 cm$ . Déterminer et caractériser l’image A’B’.

Correction :

* Par le calcul.
$\displaystyle{\frac1{\overline{OA'}}-\frac1{-,10}=\frac1{-0,20}}$
donc $\overline{OA'} =20$ cm.
$\displaystyle{\frac{\overline{A'B'}}{0,01}=\frac{0,20}{0,10}}$
donc $\overline{A'B'}=+2~\mathrm{cm}$
L’objet est virtuel et droit, l’image est réelle et droite.
* Par la construction.

$\displaystyle{\frac1{\overline{OA'}}-\frac1{-,10}=\frac1{-0,20}}$ donc $\overline{OA'} =20$ cm. $\displaystyle{\frac{\overline{A'B'}}{0,01}=\frac{0,20}{0,10}}$ donc $\overline{A'B'}=+2~\mathrm{cm}$ L’objet est virtuel et droit, l’image est réelle et droite. * Par la construction. » width= »300″ height= »163″ />

C. Instruments d’optique

1. Principe de récurrence.

Quand on a des associations de lentilles, on utilise le principe suivant : l’image $A_nB_n$ par la n-ième lentille est l’objet pour la (n+1)ième.

Pour passer de la position $\overline{O_nA_n}$ à la position $\overline{O_{n+1}A_n}$ , on utilise la relation de Chasles.

Exemple.

Un objet AB est repéré par $\overline{O_1A}=-20~\mathrm{cm}$

$L_1$ est une lentille CV de centre $O_1$ de distance focale $f'_1=10~\mathrm{cm}$

$L_2$ est une lentille DV de centre $O_2$ avec $\overline{O_1O_2}=10~\mathrm{cm}$ et de distance focale $f'_2=-20~\mathrm{cm}$

Quelles sont les positions des images successives $A_1B_1$ et $A_2B_2$ et préciser leur caractère réel ou virtuel.

Correction :

$AB$ est un objet réel pour $L_1$
Par application de la première relation de conjugaison, on trouve
$\overline{O_1A_1}=20~\mathrm{cm}$
$A_1B_1$ est donc une image réelle par $L_1$
Par relation de Chasles
$\overline{O_2A_1}=\overline{O_2O_1}+\overline{O_1A_1}$
donc $\overline{O_2A_1}=10~\mathrm{cm}$
$A_1B_1$ est donc un objet virtuel pour $L_2$
Par application de la première relation de conjugaison, on trouve
$\overline{O_2A_2}=20~\mathrm{cm}$
$A_2B_2$ est donc une image réelle par $L_2$

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2. Quelques données sur l’oeil.

* L’œil emmétrope (sans défaut) voit net d’environ 20 cm à l’infini.

* Il forme l’image sur la rétine à environ 1,7 cm du cristallin, par accommodation (déformation du cristallin).

* La vision nette au repos est à l’infini. C’est pourquoi la plupart des instruments d’optique utilisent un objectif $L_1$ qui forme une image $A_1B_1$ située dans le plan focal objet de l’oculaire $L_2$ , l’image finale étant ainsi renvoyée à l’infini.

Exemple.

Justifier que la vergence (l’inverse de la distance focale) de l’œil emmétrope varie entre 54 $\delta$ à 59 $\delta$

Correction :

On applique la relation de conjugaison :
$\displaystyle{\frac1{0,017}-\frac1{-0,20}=54~\delta}$
$\displaystyle{\frac1{0,017}-\frac1{-\infty}=59~\delta}$

3. Lunette astronomique.

Une lunette astronomique est formée d’un objectif $L_1$ de grande distance focale en valeur absolue $|f'_1|$ formant l’image $A_1B_1$ d’un objet $AB$ à l’infini dans le plan focal image de $L_1$

$A_1B_1$ est lui-même dans le plan focal objet de l’oculaire $L_2$ donc $F'_1=F_2$ et le système est afocal.

L’oculaire $L_2$ possède une petite distance focale en valeur absolue $|f'_2|$

Exemple.

Une lunette astronomique est formée par un objectif CV avec $f'_1=75~\mathrm{cm}$ et un oculaire DV avec $f'_2=-25~\mathrm{cm}$

Quelle est la longueur totale $O_1O_2$ de la lunette ?

Correction :

$\overline{O_1O_2}=\overline{O_1F'_1}+\overline{F'_1F_2}+\overline{F_2O_2}$
Or $F'_1=F_2$ donc
$\overline{O_1O_2}=f'_1+0-(-f'_2)=50~\mathrm{cm}$

4. Microscope.

Un microscope est formé d’un objectif très convergent tel que l’objet est placé juste à gauche du foyer $F_1$ , afin que le grandissement soit maximal, formant une image $A_1B_1$ située dans le plan focal objet de l’oculaire.

Exemple.

Justifier que l’objet (a priori très petit) est placé juste à gauche de $F_1$

Correction :

Le grandissement donné par l’objectif vaut, d’après la seconde loi de Descartes

$\displaystyle{\frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}}}$

D’après la première loi de Descartes,

$\displaystyle{\frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}}=\frac{f'_1}{f'_1+\overline{O_1A}}}$

donc

$\displaystyle{\left|\frac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}}\right|=\frac{f'_1}{\overline{AO_1}-f'_1}}$

Ce grandissement tend bien vers + $\infty$ quand $\overline{AO_1}$ tend vers $f'_1$ par valeurs supérieures.

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