Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Méthodes énergétiques en maths sup : exercices corrigés

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de physique en Maths Sup

Les cours en ligne peuvent fortement aider à réussir en prépa. Voici donc un cours complet de maths sup sur les méthodes énergétiques. N’hésitez pas à vous aider de nos autres cours mis à disposition afin d’être parfaitement au point sur le programme de Physique de MP.

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Exercice sur le Théorème de l’énergie cinétique en Maths Sup

Un point M de masse $m$ coulisse sur un axe vertical $(O,z)$ dirigé vers le haut en subissant un frottement solide de norme $F=mb$ constante et de sens opposé au vecteur vitesse, avec $b<g$

À $t=0$ , on lance M vers le haut avec une vitesse $v_0$ depuis $z_0=h$

Déterminer la vitesse $v_1$ juste avant que M ne touche le sol en $z=0$

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Exercices sur les Forces conservatrices en Maths Sup

1. Position d’équilibre d’une bague sur un cerceau

Une bague M de masse $m$ coulisse sans frottement sur le pourtour d’un cerceau dans le plan vertical, de centre $O$ et de rayon $R$

S position est repérée par l’angle $\theta$

Elle est reliée à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0=0$ , dont l’autre extrémité E est fixe en haut du cerceau.

1. Déterminer la longueur du ressort en fonction de $a$ et de $\theta$

2. En déduire l’énergie potentielle $Ep(\theta)$

3. On suppose $mg>ka$ . Quelle est la valeur de $\theta$ correspondant à une position d’équilibre stable ?

2. Position d’équilibre d’un ressort parcouru par un courant

[Cet exercice était donné sans l’indication suivante.]

Une bobine cylindrique comportant $N$ spires a une inductance qui dépend de sa longueur $\ell$ et de son rayon $b$ :

$\displaystyle{L=\frac{\mu_0N^2\pi b^2}{\ell}}$

1. On accroche au plafond un ressort formé de $N$ spires, de rayon $b$ , de longueur à vide $\ell_0$ et de constante de raideur $k$

On accroche une masse $m$ à l’extrémité inférieure du ressort. Exprimer la longueur d’équilibre $\ell_{eq}$

2. On impose un courant d’intensité $I$ dans le ressort. Même question.

Exercice sur le Théorème de l’énergie mécanique en Maths Sup

Un individu de masse $m$ saute d’un pont de hauteur $H$ sans vitesse initiale. Il est relié à un élastique de longueur à vide $\ell_0$ et de constante de raideur $k$

Quelle doit être la constante de raideur $k$ pour que le sauteur évite de se blesser sur le sol ?

Correction exercice Théorème de l’énergie cinétique

* Phase de montée.

Notons $H$ l’altitude maximale atteinte.

Le TEC donne

$0-\frac12mv_0^2=-mg(H-h)-mb(H-h)$

donc $\displaystyle{H=h+\frac{v_0^2}{2(g+b)}}$

* Phase de descente.

Le TEC s’écrit

$\frac12mv_1^2-0=mgH-mbH$

donc $\displaystyle{v_1=\sqrt{2(g-b)H}}$

où $H$ est donné ci-dessus.

Correction des exercices sur les forces conservatrices en Maths Sup

Correction de l’exercice sur la position d’équilibre d’une bague

1. En notant H le projeté orthogonal de M sur l’axe vertical, on a

$OH=a\cos\theta$ et $HM=a\sin\theta$

Par application de Pythagore, on en déduit

$\displaystyle{EM=\sqrt{(a+a\cos\theta)^2+(a\sin\theta)^2}}$

$\displaystyle{EM=a\sqrt{2+2\cos\theta}}$

2. $Ep=Ep_p+Ep_{\ell}$

En prenant la référence des altitudes en $O$ ,

$Ep_p=-mga\cos\theta$

De plus $Ep_{\ell}=\frac12k(EM-0)^2$

donc $Ep=-mga\cos\theta+ka^2(1+\cos\theta)$

3. On exprime

$\displaystyle{\frac{dEp}{d\theta}=a(mg-ka)\sin\theta}$

Cette dérivée s’annule pour $\theta=0$ ou $\theta=\pi$

On exprime

$\displaystyle{\frac{d^2Ep}{d\theta^2}=a(mg-ka)\cos\theta}$

On a donc $\displaystyle{\frac{d^2Ep}{d\theta^2}(0)=a(mg-ka)>0}$

et $\displaystyle{\frac{d^2Ep}{d\theta^2}(\pi)=a(ka-mg)<0}$

donc la position d’équilibre stable est $\theta=0$

Correction de l’exercice sur la position d’équilibre d’un ressort

1. On exprime

$Ep=-mg\ell+\frac12k(\ell-\ell_0)^2$

On dérive

$\displaystyle{\frac{dEp}{d\ell}=-mg+k(\ell-\ell_0)}$

qui s’annule pour

$\displaystyle{\ell_{eq}=\ell_0+\frac{mg}{k}}$

2. On ajoute aux Ep de pesanteur et élastique l’énergie magnétique $\frac12LI^2$

$Ep=-mg\ell+\frac12k(\ell-\ell_0)^2+\frac{\mu_0N^2\pi b^2I^2}{2\ell}$

On dérive

$\displaystyle{\frac{dEp}{d\ell}=-mg+k(\ell-\ell_0)-\frac{\mu_0N^2\pi b^2I^2}{2\ell^2}}$

On résout l’équation $\displaystyle{\frac{dEp}{d\ell}=0}$ par une méthode numérique ou numérique, la solution est $\ell_{eq}$

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Correction exercice Théorème de l’énergie mécanique

Le TEM entre le point de départ et le point le plus bas s’écrit, en l’absence de frottement

$Ec_A+Ep_{p,A}+Ep_{\ell,A}$

$=Ec_B+Ep_{p,B}+Ep_{\ell,B}$

On se place à la limite de l’accident

$0+mgH+0=0+0+\frac12k(H-\ell_0)^2$

soit $\displaystyle{k=\frac{2mgH}{(H-\ell_0)^2}}$

Les cours de physique en Maths Sup sont nombreux, et être parfaitement au clair sur l’ensemble des notions est primordial pour aborder les notions de physique au programme de Maths Spé. Ainsi, n’hésitez pas à revoir et vous entraîner régulièrement sur les notions de physique en Maths Sup, comme :