Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours Machines thermiques en maths sup

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne Physique en Maths Sup

Les Machines Thermiques constituent un cours essentiel de Maths Sup : il vous faudra le maîtriser pour obtenir d’excellents résultats à vos concours. Prenez le temps de bien le lire et d’en assimiler chaque principe essentiel, puis apprenez méthodiquement chaque formule, aidez vous de cours particuliers en physique chimie. C’est en procédant ainsi avec rigueur que vous pourrez efficacement vous servir de ce cours de maths sup sur les machines thermiques pour réussir en prépa.

A. Généralités sur les Machines Thermiques en Maths Sup

1. Suite cyclique de transformations en Maths Sup

Un système thermodynamique subit une suite cyclique de transformations.

Chacune d’elles mène d’un état $A_k$ à un état $A_{k+1}$ où l’énergie interne $U$ , l’enthalpie $H$ et l’entropie $S$ varient de

$\Delta U=U_{k+1}-U_k$

$\Delta H=H_{k+1}-H_k$

$\Delta S=S_{k+1}-S_k$

en recevant un travail $W_{k,k+1}$ et une énergie thermique $Q_{k,k+1}$

Dans les cas étudiés dans ce chapitre, chaque transformation est d’un type bien identifié, où l’une des variables ou fonction d’état est constante.

Ainsi, pour un système thermoélastique, caractérisé par les 6 grandeurs $(P,V,T, U, H,S)$ , chaque transformation est d’un des 6 types suivants

$\bullet$ isobare $P=\mathrm{cste}$

$\bullet$ isochore $V=\mathrm{cste}$

$\bullet$ isotherme $T=\mathrm{cste}$

$\bullet$ isoénergétique (détente de Joule Gay-Lussac) $U=\mathrm{cste}$

$\bullet$ isenthalpique (détente de Joule Thomson, pas explicitement au programme de première année) $H=\mathrm{cste}$

$\bullet$ isentropique (adiabatique réversible) $S=\mathrm{cste}$

La suite étant cyclique, $A_n=A_1$ où $n$ est le nombre de transformations successives.

$U$ , $H$ et $S$ étant des fonctions d’état, sur le cycle

$\Delta U=0$ , $\Delta H=0$ et $\Delta S=0$

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2. Représentation graphique d’un cycle pour un GP

L’état d’un GP est parfaitement déterminé par sa pression $P$ et son volume $V$ .

On peut donc décrire le cycle dans un diagramme de Watt $(P,V)$ ou de Clapeyron $(P,v)$

Les 6 transformations fondamentales se ramènent à 4 et ont des courbes représentatives caractéristiques dans ce type de diagramme.

$\bullet$ isobare : $P=\mathrm{cste}$ droite horizontale

$\bullet$ isochore : $V=\mathrm{cste}$ droite verticale

$\bullet$ isotherme : $T=\mathrm{cste}$ donc d’après la loi des GP $PV=K$ soit $\displaystyle{P=\frac{K}{V}}$ hyperbole décroissante

$\bullet$ isoénergétique : comme $\Delta U=C_V\Delta T$ , c’est une isotherme.

$\bullet$ isenthalpique : comme $\Delta H=C_P\Delta T$ , c’est une isotherme.

$\bullet$ isentropique : la loi de Laplace donne $PV^{\gamma}=K$ soit $\displaystyle{P=\frac{K}{V^{\gamma}}}$ hyperbole décroissante, plus verticale que l’isotherme.

3. Cycles avec changement d’état liquide-vapeur du corps pur

On peut travailler là-aussi dans le diagramme de Watt et de Clapeyron, le cycle se trace en superposition de la courbe de saturation (ébullition, point critique et rosée) et pour un système diphasé, les isothermes sont aussi isobares.

4. Principe d’une machine thermique en maths sup

Une machine thermique est un cycle parcouru par un système thermodynamique donné.

Il échange au cours de ce cycle du travail et de l’énergie thermique.

On distingue grossièrement les moteurs qui produisent du travail en consommant de l’énergie thermique et les cycles frigorifiques qui produisent (ou prélèvent) de l’énergie thermique en utilisant du travail.

Dans le cas général, le rendement ou l’efficacité d’une machine est le quotient entre l’énergie utile et l’énergie coûteuse.

B. Les moteurs en maths sup

1. Cycle moteur en Maths Sup

Un cycle moteur est un cycle tel que $W<0$ (le travail est produit) et $Q>0$ sur le cycle tout entier.

Dans le diagramme de Watt ou de Clapeyron, le cycle est décrit dans le sens horaire (moyen mnémotechnique : moteur rime avec heure).

On distingue dans le cycle les transformations où le système reçoit de l’énergie thermique $Q_{j,j+1}>0$ et celles où le système cède de l’énergie thermique $Q_{k,k+1}<0$

Le rendement du moteur est défini par

$\displaystyle{\rho=\frac{-W}{\sum_jQ_{j,j+1}}}$

Ce rendement est toujours inférieur à 1.

2. Étude pratique d’un moteur (méthode)

La structure typique de l’étude d’un moteur est la suivante.

L’énoncé décrit la suite de transformations et donne un ensemble incomplet de valeurs numériques décrivant les états successifs et/ou les énergies transférées.

Il faut alors calculer les grandeurs inconnues et calculer le rendement du moteur.

$\bullet$ On applique les lois habituelles des transformations thermodynamiques pour compléter les valeurs des variables caractérisant les états successifs : loi de conservation, équation d’état, premier principe de la thermodynamique. Il est conseillé de dresser un tableau.

$\bullet$ En parallèle, on construit (dans le cas d’un système thermoélastique) l’allure du cycle dans le diagramme de Watt.

$\bullet$ Pour chaque transformation, on calcule le travail $W_{k,k+1}$ (en intégrant $-P_{\mathrm{ext}}dV$ qu’on identifie presque toujours à $-PdV$ ), l’énergie thermique $Q_{k,k+1}$ et les variations d’énergie interne $\Delta U_{k,k+1}$ et d’enthalpie $\Delta H_{k,k+1}$ en utilisant le premier principe ou le premier principe enthalpique. Il est conseillé de dresser un tableau.

$\bullet$ On vérifie dans ce tableau que la somme des variations d’énergie interne est nulle et que la somme des variations d’enthalpie est nulle (c’est un cycle).

$\bullet$ Le travail $W$ est la somme de tous les travaux des différentes transformations. Il est négatif pour un moteur.

$\bullet$ On identifie les transformations $(A_j,A_{j+1})$ pour lesquelles $Q_{j,j+1}>0$ et on en déduit le rendement du moteur

$\displaystyle{\rho=\frac{-W}{\sum_jQ_{j,j+1}}}$

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3. Moteur de Carnot en maths sup

Le cycle est formé de deux isentropiques et de deux isothermes, aux températures respectives

$T_C$ au contact de la source chaude, où le système reçoit $Q_C$

$T_F$ au contact de la source chaude, où le système reçoit $Q_F$

Dans le cas d’un GP, l’allure du cycle dans le diagramme de Watt est la suivante.

La suite de ces résultats forme le théorème de Carnot.

$\bullet$ $\displaystyle{\rho=1+\frac{Q_F}{Q_C}}$

$\bullet$ $\displaystyle{\frac{Q_F}{T_F}+\frac{Q_C}{T_C}\leq 0}$

C’est l’inégalité de Clausius, l’égalité correspondant à un cycle réversible, l’inégalité à un cycle irréversible.

$\bullet$ $\displaystyle{\rho\leq 1-\frac{T_F}{T_C}}$

l’égalité correspondant à un cycle réversible, l’inégalité à un cycle irréversible.

C. Machines frigorifiques en maths sup

1. Principe de la machine frigorifique en Maths Sup

La partie utile de la machine frigorifique est la transformation où le fluide « caloporteur », qui circule en circuit fermé dans un ensemble de canalisations, reçoit de l’énergie thermique.

Dans le cas d’une machine sans changement d’état, voici le principe.

$\bullet$ Pour obtenir un fluide très froid, on l’injecte en A à moyenne température et à haute pression dans un détendeur, en général isenthalpique, il en sort en B à basse température, et à basse pression.

$\bullet$ De B à C, le fluide reçoit de l’énergie thermique dans un échangeur isobare qui le conduit en C à moyenne température et toujours à basse pression.

$\bullet$ De C à D, le fluide est comprimé dans un compresseur en général adiabatique réversible, qui le conduit en D à haute température et à haute pression.

$\bullet$ De D à A, le fluide cède de l’énergie thermique dans un échangeur isobare qui le conduit en A à moyenne température et toujours à haute pression.

L’énergie utile dans le cas d’un climatiseur ou d’un réfrigérateur est l’énergie thermique $Q_{BC}$ qui est positive car le fluide reçoit de l’énergie thermique, qu’il prélève à l’enceinte réfrigérée.

L’énergie coûteuse est le travail « utile » (voir paragraphe suivant) $W_{u,CD}$ lors de la compression du fluide.

L’efficacité de la machine est

$\displaystyle{\eta=\frac{Q_{BC}}{W_{u,CD}}}$

2. Premier principe industriel en maths sup

Il y a une différence subtile entre le calcul du travail reçu par un fluide qui s’écoule dans une canalisation fermée et celui reçu pour ce fluide en système fermé dans une enceinte. En effet, dans un écoulement, une quantité de fluide donnée comprise dans un tronçon de la canalisation est au contact du fluide en amont et du fluide en aval. Le travail qu’il reçoit est donc la somme des travaux des forces de pression en amont et en aval, et du travail qu’il reçoit à l’intérieur de la machine.

En travaillant sur un système formé d’une unité de masse du fluide, les grandeurs massiques sont écrites en minuscules.

Si on peut négliger les variations d’énergie potentielle et d’énergie cinétique du fluide entre deux points de l’écoulement, le premier principe industriel a pour expression :

$\Delta h=w_u+q$

où $w_u$ est le travail utile, celui reçu de la part des pièces mobiles (pales de turbine ou de compresseur) dans l’écoulement.

3. Étude d’une machine frigorifique

a. Par le calcul.

Concrètement, on traite le cas d’une machine frigorifique à GP, ou bien celui d’une machine frigorifique où un corps pur est assimilé, à l’état liquide, à un fluide incompressible et indilatable, et à l’état vapeur, à un GP. On utilise le premier principe industriel pour calculer les différentes énergies échangées à partir de $\Delta h$ .

b. Par exploitation d’une abaque.

On utilise une abaque appelée « diagramme des frigoristes », avec $P$ en ordonnée et $h$ en abscisse. On trace le cycle dans ce diagramme et on remplace les calculs par des lectures de pression, enthalpie, température, volume massique, titre massique en vapeur ou en liquide, entropie.

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Même avec des cours de qualité, exceller en prépa scientifique reste extrêmement difficile. D’autant plus que vous pouvez être confrontés à des lacunes, par manque de temps ou à cause d’une mauvaise compréhension. Se servir des cours en ligne de physique en Maths Sup, permet de pouvoir améliorer ses résultats. N’hésitez donc pas à consulter les chapitres suivants :

Cours Machines thermiques en maths sup

A. Généralités sur les Machines Thermiques en Maths Sup

1. Suite cyclique de transformations en Maths Sup

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2. Représentation graphique d’un cycle pour un GP

3. Cycles avec changement d’état liquide-vapeur du corps pur

4. Principe d’une machine thermique en maths sup

B. Les moteurs en maths sup

1. Cycle moteur en Maths Sup

2. Étude pratique d’un moteur (méthode)

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3. Moteur de Carnot en maths sup

C. Machines frigorifiques en maths sup

1. Principe de la machine frigorifique en Maths Sup

2. Premier principe industriel en maths sup

3. Étude d’une machine frigorifique

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