Chapitres Maths en ECS2

Cours : Algèbre bilinéaire en ECS2

Formes bilinéaires, Produit scalaire, Orthogonalité & Espace euclidien

1. Formes bilinéaires

Méthode 1 : Qu’est-ce qu’une forme bilinéaire sur $E$ ?

C’est une application $\varphi: E\times E \to \mathbb{R}$ qui à un couple $(x,y)$ d’éléments de $E$ associe un réel, $\varphi(x,y)$ , qui vérifie les deux propriétés suivantes:

(i) pour $x$ fixé dans $E$ , l’application $\varphi_{x}:E\to \mathbb{R}$ définie par: $\forall y\in E$ , $\varphi_{x}(y)=\varphi(x,y)$ , est linéaire;

(ii) pour $y$ fixé dans $E$ , l’application $\varphi_{y}:E\to \mathbb{R}$ définie par: $\forall x\in E$ , $\varphi_{y}(x)=\varphi(x,y)$ , est linéaire.

La propriété (i) peut s’énoncer sous la forme: $\varphi$ est linéaire par rapport à la deuxième variable, ou encore $\varphi$ est linéaire à droite, et la propriété (ii) sous la forme: $\varphi$ est linéaire par rapport à la première variable, ou $\varphi$ est linéaire à gauche.

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Exemple : $\varphi$ est-elle une forme bilinéaire sur $\mathbb{R}$ si pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ :

(i) $\varphi(x,y)=2x+3xy$ ?

(ii) $\varphi(x,y)=3xy^{2}$ ?

(iii) $\varphi(x,y)=xy$ ?

Réponse :

(i) Non

(ii) Non

(iii) Oui

Méthode 2 : Quand $E$ est de dimension finie et muni d’une base, comment calculer $\varphi(x,y)$ si $\varphi$ est bilinéaire?

Si $(e_{1},\dots,e_{n})$ , $n\geq 1$ , est une base de $E$ , $\varphi$ est complètement connue quand on connait les $\varphi(e_{i},e_{j})$ :

si $x_{1},\dots,x_{n}$ et $y_{1},\dots,y_{n}$ sont les coordonnées de $x$ et $y$ dans cette base,

$\varphi(x,y)=\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq n} a_{i,j}x_{i}y_{j}$ où $a_{i,j}=\varphi(e_{i},e_{j})$ .

Exemple : $E=\mathbb{R}^{2}$ , $(e_{1},e_{2})$ est la base canonique, $\varphi$ est bilinéaire et $\varphi(e_{i},e_{j})=2^{i}3^{j}$ .
Donner l’expression de $\varphi(x,y)$ .

Réponse : $\varphi(x,y)=6x_{1}x_{2}+18x_{1}y_{2}+12x_{2}y_{1}+36x_{2}y_{2}$ .

Méthode 3 : Comment définir et utiliser la matrice d’une forme bilinéaire ?

$\bullet$ Si $\varphi$ est une forme bilinéaire sur $E$ , si $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})$ est une base de $E$ , la matrice de $\varphi$ dans $\mathcal{B}$
est $A=\displaystyle \left(\varphi(e_{i},e_{j})\right)_{1\leq i,j\leq n}$ .

$\bullet$ Si $X$ et $Y$ sont les matrices de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}$ , $\varphi(x,y)=(^{t}X)AY$ .

Exemple : $E=\mathbb{R}^{2}$ est muni de la base canonique. Dire si $\varphi$ est une forme bilinéaire sur $E$ et trouver sa matrice quand

(i) $\varphi(x,y)=x_{1}^{2}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}$

(ii) $\varphi(x,y)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}+3y_{1}y_{2}$

(iii) $\varphi(x,y)=x_{1}y_{2}+4x_{2}y_{1}-x_{2}y_{2}$ .

Réponse :

(i) Non : l’expression de $\varphi$ comporte des carrés de coordonnées.

(ii) Non : si on remplace $y$ par $2y$ , le terme $y_{1}y_{2}$ est multiplié par $4$ .

(iii) Oui : la matrice de $\varphi$ est: $\begin{pmatrix} 0& 1\\ 4& -1\end{pmatrix}$ .

Méthode 4 : Si $E$ est de dimension $n$ , $n\geq 1$ , si $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases de $E$ , comment passer de l’expression de $\varphi(x,y)$ dans $\mathcal{B}$ à son expression dans $\mathcal{B}'$ ?

Si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ , si $x$ et $y$ ont pour matrices $X$ et $Y$ dans $\mathcal{B}$ , $X'$
et $Y'$ dans $\mathcal{B}'$ , si $A$ est la matrice de $\varphi$ dans $\mathcal{B}$ et $A'$ sa matrice dans $\mathcal{B}'$ , on a:
$X=PX'$ , $Y=PY'$ , et $\varphi(x,y)=(^{t}X)AY=(^{t}X')(^{t}P)APY'$ , donc $A'=(^{t}P)AP$ .

Exemple : $\mathbb{R}^{2}$ est muni de la base canonique $\mathcal{B}$ , $\varphi(x,y)=2x_{1}y_{1}-3x_{2}y_{2}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$ . Ecrire l’expression de $\varphi$ à l’aide des coordonnées de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}'$ où $\mathcal{B}'=(e_{1}+e_{2},-e_{1}+e_{2})$ .

Réponse : $A=\begin{pmatrix} 2& 1\\ 1& -3\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix} 1& -1\\ 1& 1\end{pmatrix}$ , donc
$A'=\begin{pmatrix} 1& -5\\ -5& -3\end{pmatrix}$ , d’où:

$\varphi(x,y)=x'_{1}y'_{1}-3x'_{2}y'_{2}-5x'_{1}y'_{2}-5 x'_{2}y'_{1}$ .

2. Produit scalaire, norme associée

Méthode 5 : Comment savoir si une application $\varphi:E\times E\to \mathbb{R}$ est un produit scalaire?

Pour que $\varphi$ soit un produit scalaire, il faut et il suffit qu’elle soit:
$\bullet$ bilinéaire
$\bullet$ symétrique : $\forall (x,y)\in E\times E$ , $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$
$\bullet$ définie positive : $\forall x\in E$ , $\varphi(x,x)\geq 0$ , et si $\varphi(x,x)=0$ , alors $x=0$ .

Méthode 6 : Comment définir et utiliser le produit scalaire canonique dans $\mathbb{R}^{n}$ ?

On note $(e_{1},\dots,e_{n})$ la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ . Le produit scalaire canonique est défini par : si $x,y$ appartiennent à $\mathbb{R}^{n}$ , $\displaystyle x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ , $\ \displaystyle y=\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}$ , alors

$<x,y>=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$ .

Les matrices de $x$ et $y$ dans la base canonique sont $X=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{n} \end{pmatrix}$ et
$Y=\begin{pmatrix} y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}$ . L’expression matricielle du produit scalaire canonique est donc:

$<x,y>=(^{t}X)Y$ .

La matrice du produit scalaire canonique dans la base canonique est

$I_{n}$ .

Exemple :

Dans $\mathbb{R}^{3}$ : $x=(-1,2,3)$ et $y=(4,-1,2)$ . Le produit scalaire (canonique) de $x$ et $y$ est :

(i) 4

(ii) 6

(iii) 0

Réponse : On a: $0\leq X\leq Y$ , donc $\mathbb{E}(X)$ existe et $0\leq \mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)$ .

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Méthode 7 : Y a-t-il d’autres produits scalaires usuels que des produits scalaires définis sur $\mathbb{R}^{n}$ ?

Oui. Par exemple, si $E=C^{0}([a,b])$ est l’espace vectoriel des fonctions définies et continues sur l’intervalle $[a,b]$ , à valeurs réelles, on définit un produit scalaire sur $E$ en posant, pour $f$ et $g$ dans $E$ ,

$<f,g>=\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ .

Exemple :

En posant $f,g=\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)g(t)dt$ , on définit un produit scalaire sur :
(i) $E=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\}$ ?

(ii) $E=\{f:[0,1]\to\mathbb{R} |\: f$ est dérivable sur $[0,1]\}$ ?

Réponse :

(i) Non : en prenant $f(t)=0$ si $t\neq 1/2$ et $f(1/2)=1$ , on a $<f,f>=0$ , mais $f\neq 0$ ;

(ii) Oui : les fonctions dérivables sur [0,1] sont continues sur $[0,1]$ .

Méthode 8 : Comment calculer la norme d’un vecteur? Quelles sont les propriétés de la norme?

$\bullet$ Si $E$ est muni d’un produit scalaire, la norme associée au produit scalaire est définie par : $||x||=\sqrt{<x,x>}$ .

Elle vérifie les propriétés caractéristiques d’une norme, à savoir :
pour tout

$x$ de

$E$ ,

$||x||\geq 0$ , et si

$|x||=0$ , alors

$x=0$ ;
pour tout

$x$ de

$E$ , et tout

$\lambda$ de

$\mathbb{R}$ ,

$||\lambda x||=|\lambda|\ ||x||$ ;
pour tous

$x,y$ de

$E$ ,

$||x+y||\leq ||x||+||y||$ (inégalité triangulaire).

$\bullet$ Si

$\mathbb{R}^{n}$ est muni du produit scalaire canonique, si

$x=(x_{1},\dots,x_{n})$ ,

$||x||^{2}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=(^{t}X)X$ .

Exemple : Dans $\mathbb{R}^{3}$ , $x=(1,0,-2)$ et $y=(2,b,4)$ où $b>0$ . La norme de $x+y$ est $5$ .

Quelle est la valeur de $b$ ?

Réponse : $2\sqrt{3}$

Méthode 9 : Quelles sont les relations d’égalité ou d’inégalité à connaître entre produit scalaire et norme?

$\bullet$ $<x,y>=\dfrac{1}{2}\left(||x+y||^{2}-||x||^{2}-||y||^{2}\right)$ .

Cette relation permet de retrouver le produit scalaire à l’aide de la norme.

$\bullet$ $|<x,y>|\leq \dfrac{1}{2}(||x||^{2}+||y||^{2})$ .

Cette relation découle de $||x+y||^{2}\geq 0$ et $||x-y||^{2}\geq 0$ .

$\bullet$ Inégalité de Cauchy-Schwarz: $|<x,y>|\leq ||x||\ ||y||$ .

Les cas où l’égalité est obtenue dans cette inégalité sont:

$<x,y>=||x||\ ||y||$ si et seulement si $x=0$ ou $y=\lambda x$ , $\lambda\geq 0$ ;

$<x,y>=-||x||\ ||y||$ si et seulement si $x=0$ ou $y=\lambda x$ , $\lambda\leq 0$ .

Exemple : Si $E=C^{0}([a,b])$ est muni du produit scalaire $<f,g>=\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ , alors on a:

(i) : $\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt \leq \int_{a}^{b}f^{2}(t)dt \int_{a}^{b}g^{2}(t)dt$ ?

(ii) : $\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ $\leq\dfrac{1}{2}\left(\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt+\int_{a}^{b}g^{2}(t)dt\right)$ ?

(iii) : $\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ $\leq \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt}+\sqrt{\int_{a}^{b}g^{2}(t)dt}\right)$ ?

(iv) : $\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt$ $\leq\sqrt{\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt}\ \sqrt{\int_{a}^{b}g^{2}(t)dt}$ ?

3. Orthogonalité

Méthode 10 : $E$ est muni d’un produit scalaire. Quand peut-on parler d’orthogonalité entre éléments ou parties de $E$ ?

$\bullet$ Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de $E$ , on calcule $<x,y>$ : si $<x,y>=0$ , on dira que $x$ et $y$ sont orthogonaux (ou que $x$ est orthogonal à $y$ , ou que $y$ est orthogonal à $x$ ), et on notera $x\perp y$ ; sinon, $x$ et $y$ ne sont pas orthogonaux.

$\bullet$ Si $x$ est un vecteur de $E$ et si $A$ est une partie de $E$ ou une famille de vecteurs de $E$ , on dira que $x$ est orthogonal à $A$ si $x$ est orthogonal à tout vecteur de $A$ , et on notera $x\perp A$ .

En particulier, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , si $A=(y_{1},\dots,y_{p})$ est une famille génératrice de $F$ , $x$ est orthogonal à $F$ si et seulement si $x$ est orthogonal à $A$ .

$\bullet$ Si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ , on dira que $A$ et $B$ sont orthogonales (ou que $A$ est orthogonale à $B$ ) si tout vecteur de $A$ est orthogonal à tout vecteur de $B$ (ou si tout vecteur de $A$ est orthogonal à $B$ ), et on notera alors $A\perp B$ .

En particulier, si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ , si $A=(x_{1},\dots,x_{k})$ est une famille génératrice de $F$ et $B=(y_{1},\dots,y_{p})$ est une famille génératrice de $G$ , $F$ et $G$ sont orthogonaux si et seulement si $A$ et $B$ sont orthogonales.

Exemple : $E=C^{0}([-\pi,\pi])$ est muni du produit scalaire $<f,g>=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)dt$ ,

$F=\{t\to a\sin^{2}(t)+b\cos^{2}(t)|a,b\in\mathbb{R}\}$ ,
et $G=\{t\to \lambda t^{k}|\lambda\in\mathbb{R}\}$ , où $k\in \mathbb{N}$ .

Pour quelles valeurs de $k$ a-t-on $F\perp G$ ?

Méthode 11 : $E$ est muni d’un produit scalaire. Quel est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à un vecteur donné? à une partie donnée?

$\bullet$ Si $x\in E$ , l’ensemble des vecteurs de $E$ orthogonaux à $x$ est un sous-espace vectoriel de $E$ appelé l’orthogonal de $x$ et noté $x^{\perp}$ :
$x^{\perp}=\{y\in E|<x,y>=0\}$ . En particulier $0^{\perp}=E$ .

Pour tout $x$ de $E$ , on a: $x\perp x^{\perp}$ , et si $A$ est une partie de $E$ , $x\perp A$ équivaut à $A\subset x^{\perp}$ .

$\bullet$ Si $A$ est une partie de $E$ , l’ensemble des vecteurs de $E$ orhogonaux à $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ appelé l’orthogonal de $A$ et noté $A^{\perp}$ . En particulier $E^{\perp}=\{0\}$ .

On a encore $A\perp A^{\perp}$ , et si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ , $A\perp B$ équivaut à $A\subset B^{\perp}$ (ou à $B\subset A^{\perp}$ ). En prenant $B=A^{\perp}$ , on obtient $A\subset (A^{\perp})^{\perp}$ .

$\bullet$ Si $A$ est une partie finie, $A=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$ , alors $A^{\perp}=(\textrm{Vect}(x_{1},\dots,x_{k}))^{\perp}$ .

Exemple :

$\mathbb{R}^{3}$ est muni du produit scalaire canonique, $u=(2, -3,1)$ .

Quelle est l’équation de $u^{\perp}$ ?

Réponse : $2x-3y+z=0$

Méthode 12 : $E$ est muni d’un produit scalaire. Qu’est-ce qu’une famille orthogonale? une famille orthonormale?

Une famille $(x_{1},\dots,x_{k})$ de vecteurs de $E$ est

$\bullet$ orthogonale si pour $1\leq i<j\leq k$ , $\ x_{i}$ est orthogonal à $x_{j}$ ;

$\bullet$ orthonormale si elle est orthogonale et si tous les vecteurs de la famille sont unitaires (c’est-à-dire de norme $1$ ).

Une famille orthogonale formée de vecteurs tous non nuls est libre. Une famille orthonormale est libre.

Exemple :

$E=C^{0}([0,\pi])$ est muni du produit scalaire $f,g=\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(t)g(t)dt$ .
La famille $(t\to a\sin(t), t\to b\cos(t))$ est orthonormale si et seulement si:
(i) $a=\pi/2$ et $b=-\pi/2$ ?

(ii) $a=b=\sqrt{2/\pi}$ ?

(iii) $a^{2}+b^{2}=1$ ?

Réponse : (ii)

Méthode 13 : $E$ est muni d’un produit scalaire. Comment exploiter l’orthogonalité?

$\bullet$ Pour montrer qu’un vecteur de $E$ est nul, on peut montrer qu’il est orthogonal à tous les vecteurs de $E$ .

$\bullet$ Pour montrer qu’une famille est libre, on peut vérifier que les vecteurs qui la composent sont non nuls, et montrer qu’elle est orthogonale.

$\bullet$ Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux, $F\cap G=\{0\}$ , la somme $F+G$ est directe.

$\bullet$ Si $(e_{1},\dots,e_{k})$ est une famille orthonormale de $E$ , pour tout $x$ de $E$ , $\displaystyle x-\sum_{i=1}^{k}<x,e_{i}>e_{i}$ est
orthogonal à $\textrm{Vect}(e_{1},\dots,e_{k})$ .

Exemple :

$E=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}| f$ est polynomiale à coefficients réels $.\}$

On suppose que $u\in E$ et que $\forall k\in \mathbb{N}$ ,
$\displaystyle \int_{0}^{1}t^{k}u(t)dt=0$ .

A-t-on $u=0$ ?

Réponse : Oui, on munit $E$ du produit scalaire défini par: $<f,g>=\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)g(t)dt$ ;

$u$ est orthogonale à toutes les fonctions de $E$ , donc $u=0$ .

Méthode 14 : Comment relier l’orthogonalité à la norme?

En utilisant le théorème de Pythagore: $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}$ .

Exemple : $E$ est muni d’un produit scalaire, $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , $u$ un vecteur de $E$ , et $v_{0}$ un vecteur de $F$ tel que: $u-v_{0}\perp F$ .

Montrer que, pour tout vecteur $v$ de $F$ , $||u-v||\geq ||u-v_{0}||$ .

Réponse : si $v\in F$ , $v_{0}-v\in F$ , donc $u-v_{0}\perp v_{0}-v$ ; en remarquant que $u-v=(u-v_{0})+(v_{0}-v)$ et en utilisant le théorème de Pythagore,
$||u-v||^{2}=||u-v_{0}||^{2}+||v_{0}-v||^{2}$ , donc $||u-v||^{2}\geq||u-v_{0}||^{2}$ .

4. Espaces euclidiens

Méthode 15 : Qu’est-ce qu’un espace euclidien? Quelle en est la principale propriété?

C’est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension finie, muni d’un produit scalaire.

Dans un espace euclidien différent de

$\{0\}$ , il existe des bases orthonormées (ou orthonormales).

Exemple :

$\mathbb{R}^{n}$ ,

$n\geq 1$ , est un espace euclidien.

La base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est-elle orthonormée pour le produit scalaire canonique ?

Réponse : Oui

Méthode 16 : Si $E$ est euclidien, comment savoir qu’une famille de vecteurs de $E$ est une b.o.n. (base orthonormée ou base orthonormale) de $E$ ?

Si $\textrm{dim}(E)=n$ , il suffit de vérifier que la famille a $n$ éléments et qu’elle est orthonormale.

Exemple : $E$ est un espace euclidien $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ ,distincts de $\{0\}$ , supplémentaires: $E=F\oplus G$ .
$(x_{1},\dots,x_{k})$ est une b.o.n. de $F$ , $(y_{1},\dots,y_{p})$ est une b.o.n. de $G$ . Alors:
(i) $(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{p})$ est une b.o.n. de $E$ ?
(ii) $(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{p})$ est une b.o.n. de $E$ si et seulement si $k+p=n$ ?
(iii) $(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{p})$ est une b.o.n. de $E$ si et seulement si $F\perp G$ ?

Réponse : (iii) La famille a $k+p$ éléments et $k+p=n$ puisque $E=F\oplus G$ , tous les vecteurs sont de norme $1$ , et elle est orthogonale si et seulement si
$\textrm{Vect}(x_{1},\dots,x_{k})$ est orthogonal à $\textrm{Vect}(y_{1},\dots,y_{p})$ .

Méthode 17 : Si $E$ est euclidien, comment construire une b.o.n. de $E$ ?

$\bullet$ Si $E$ est de dimension $n$ , $n\geq 1$ , si $(u_{1},\dots,u_{n})$ est une base de $E$ , on peut construire la b.o.n. $(e_{1},\dots,e_{n})$ déduite de $(u_{1},\dots,u_{n})$ par le procédé de Schmidt:

$e_{1}=\dfrac{1}{||u_{1}||}u_{1}$ et, pour $0\leq k\leq n-1$ , si

$v_{k+1}=\displaystyle u_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}u_{k+1},e_{i}e_{i}\$ , $e_{k+1}=\dfrac{1}{||v_{k+1}||}v_{k+1}$ .

C’est l’unique b.o.n. de $E$ telle que, pour tout $k$ tel que $1\leq k\leq n$ , on ait:

$\textrm{Vect}(e_{1},\dots,e_{k})=\textrm{Vect}(u_{1},\dots,u_{k})$ et $e_{k},u_{k}0$ .

$\bullet$ Si $E$ est de dimension $n$ , $n\geq 2$ , si $(e_{1},\dots,e_{k})$ , $kn$ , est une famille orthonormale de $E$ , on peut la compléter en une base orthonormée $(e_{1},\dots,e_{k},\dots,e_{n})$ de $E$ .

Exemple :

Dans $\mathbb{R}^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on donne les vecteurs
$u_{1}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}$ , $u_{2}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ , $u_{3}=\begin{pmatrix} 0\\1 \\1\end{pmatrix}$ , qui forment une base $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^{3}$ .

La b.o.n. $(v_{1},v_{2},v_{3})$ déduite de $\mathcal{B}$ par le procédé de Schmidt est:
(i) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1\end{pmatrix}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1\\-1\\ 1\end{pmatrix}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1\end{pmatrix}$ ?
(ii) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\-1\end{pmatrix}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\1 \\1\end{pmatrix}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1 \\2 \\-1\end{pmatrix}$ ?

Réponse : (ii)

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Méthode 18 : Comment utilise-t-on les bases orthonormées?

Si $(e_{1},\dots,e_{n})$ est une base orthonormée de $E$ ,

$\bullet$ si

$x\in E$ ,

$\displaystyle x=\sum_{i=1}^{n}<x,e_{i}>e_{i}$ et

$||x||^{2}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}<x,e_{i}>^{2}$ ;

$\bullet$ si

$x,y\in E$ , si

$X,Y$ sont les matrices de

$x$ et

$y$ dans la base

$(e_{1},\dots,e_{n})$ , alors

$<x,y>=(^{t}X)Y$ et

$||x||^{2}=(^{t}X)X$ ;

$\bullet$ si

$f\in \mathcal{L}(E)$ , la matrice

$M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de

$f$ dans la base

$(e_{1},\dots,e_{n})$ est donnée par

$m_{i,j}=<f(e_{j}),e_{i}>$ .

Exemple : $\mathbb{R}^{2}$ est muni du produit scalaire canonique.
Si $v_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$ et
$v_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix}$ , $\mathcal{B}=(v_{1},v_{2})$ est une b.o.n. de $\mathbb{R}^{2}$ .
Si $x=(x_{1}, x_{2})$ , les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$ sont:
(i) $(\sqrt{5}(2x_{1}+x_{2}), \sqrt{5}(x_{1}+2x_{2})$ ?
(ii) $\dfrac{1}{\sqrt{5}}(x_{1}+2x_{2}), \dfrac{1}{\sqrt{5}}(-2x_{1}+x_{2})$ ?

Réponse : (ii)

Méthode 19 : Dans un espace euclidien, comment changer de b.o.n.? Qu’est-ce qu’une matrice orthogonale?

$\bullet$ Si $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})$ et $\mathcal{B}'=(e'_{1},\dots,e'_{n})$ sont deux b.o.n. de $E$ , si $P=(p_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ , alors $p_{i,j}=e'_{j},e_{i}$ . On a donc $P^{-1}=^{t}\!\!P$ .

$\bullet$ Une matrice carrée inversible $P$ qui vérifie $P^{-1}=^{t}\!\!P$ est une matrice orthogonale.

$\bullet$ Si $P$ est une matrice orthogonale, si $\mathcal{B}$ est une b.o.n. de $E$ , $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à une base $\mathcal{B}'$ de $E$ ; alors, $\mathcal{B}'$ est une base orthonormée de $E$ .

$\bullet$ Une matrice est orthogonale si et seulement si c’est une matrice de passage entre deux b.o.n. de $E$ .

Exemple :

$P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{6}\\ 0& 1/\sqrt{3}& 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{3}& \lambda\end{pmatrix}$ .
(i) $P$ est orthogonale si et seulement si $\lambda=1/\sqrt{6}$ ?
(ii) $P$ est orthogonale si et seulement si $\lambda=-1/\sqrt{6}$ ?
(iii) $P$ n’est orthogonale pour aucun $\lambda$ ?

Réponse : (i)

Méthode 20 : Dans un espace euclidien, quelles sont les propriétés des sous-espaces orthogonaux?

$\bullet$ Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux d’un espace euclidien $E$ , alors:
(i) $\textrm{dim}(F)+\textrm{dim}(G)\leq \textrm{dim}(E)$ ;
(ii) si $\textrm{dim}(F)+\textrm{dim}(G)=\textrm{dim}(E)$ , alors $E=F\oplus G$ ;

$\bullet$ (i) Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors $E=F\oplus F^{\perp}$ ;
(ii) Si $F\perp G$ et $E=F\oplus G$ , alors $G=F^{\perp}$ : $F^{\perp}$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ .

Exemple : $E$ est un espace euclidien de dimension $2n$ , $n\geq 2$ , muni d’une b.o.n. $(e_{1},\dots,e_{2n})$ .
$F=\textrm{Vect}(e_{2k})_{1\leq k\leq n}$ . Trouver $F^{\perp}$ .

Réponse : Si $G=\textrm{Vect}(e_{2k+1})_{0\leq k\leq n-1}$ , on a $E=F\oplus G$ et $F\perp G$ , donc $F^{\perp}=G$ .

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