Chapitres Maths en ECS2

Corrigés : Calcul différentiel en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Corrigés classiques – Calcul différentiel en ECS2

Exercice 1 :

$f$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Question 1 :

En utilisant la définition des dérivées partielles, $\partial_{1}(f)(x,y)=\left[\dfrac{d}{dt}(f(t,y)\right]_{t=x}$ . Comme pour tout $(t,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ ,
$f(t,y)=f(y,t)$ , $\partial_{1}(f)(x,y)=\left[\dfrac{d}{dt}(f(y,t)\right]_{t=x}=\partial_{2}(f)(y,x)$ .

Question 2 :

Si pour tout $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ , $\partial_{1}(f)(x,y)=\partial_{2}(f)(y,x)$ , pour tout $y$ réel, la fonction $t\mapsto f(t,y)-f(y,t)$ a une dérivée nulle en
tout point $x$ de $\mathbb{R}$ , donc la fonction $t\mapsto f(t,y)-f(y,t)$ est constante sur $\mathbb{R}$ ; cette fonction prend la valeur $0$ quand $t=y$ , donc c’est la
fonction nulle. Donc pour tous $x$ et $y$ réels $f(x,y)=f(y,x)$ .

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Exercice 2 :

La fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

On suppose que, pour $k\in \mathbb{R}$ , la ligne de niveau $k$ de $f$ , notée $L_{k}(f)$ , a pour équation $y=u_{k}(x)$ , où $u_{k}$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur
$\mathbb{R}$ à valeurs réelles.

On pose, pour $t$ réel, $m=(t,u_{k}(t))$ et $g(t)=f(m)$ .

Question 1 :

Le point $(t,u_{k}(t))$ appartient à $L_{k}(f)$ , donc $f(t,u_{k}(t))=k$ , donc $g(t)=k$ ; la fonction $g$ est constante, donc sa dérivée est nulle: $g'(t)=0$
pour tout de $\mathbb{R}$ .

Les fonctions $id$ et $u_{k}$ sont $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ , et $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ , donc $g$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et pour tout $t$ réel,
$g'(t)=\partial_{1}(f)(m)+\partial_{2}(f)(m)u'_{k}(t)$ .

On en déduit $\partial_{1}(f)(m)+\partial_{2}(f)(m)u'_{k}(t)=0$ .

Question 2 :

L’équation de $(D_{m})$ est $y=u'_{k}(t)(x-t)+u_{k}(t)$ .

Question 3 :

La droite $(D_{m})$ est dirigée par le vecteur $v$ de coordonnées $(1,u'_{k}(t))$ , et on a:

$< v,\nabla(f)(m) >=\partial_{1}(f)(m)+\partial_{2}(f)(m)u'_{k}(t)=0$ .

Donc $v$ et $\nabla(f)(m)$ sont orthogonaux, donc $\nabla(f)(m)$ est orthogonal à $(D_{m})$ .

Exercice 3 :

La fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ .

Question 1 :

Pour tout $t$ réel et tout $h$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $th$ appartient à $\mathbb{R}^{n}$ , donc $\nabla(f)(th)=0$ , donc
$< \nabla(f)(th),h>=0$ , c’est-à-dire $\dfrac{d}{dt}(f(th))=0$ .

Pour tout $h$ de $\mathbb{R}^{n}$ , la fonction $t\mapsto f(th)$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et de dérivée nulle, donc cette fonction est constante sur $\mathbb{R}$ ;
en particulier, elle prend la même valeur en $t=0$ et en $t=1$ , donc $f(h)=f(0)$ .

Cette égalité est valable pour tout $h$ de $\mathbb{R}^{n}$ , donc la fonction $f$ est bien constante sur $\mathbb{R}^{n}$ .

Question 2 :

Si $u=(u_{1},\dots,u_{n})$ , on a par hypothèse pour tout $i$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ et tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\partial_{i}(f)(x)=u_{i}$ .

On pose pour $x\in \mathbb{R}^{n}$ , $g(x)=f(x)-\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_{k}x_{k}$ . Alors la fonction $g$ est $C^{1}$ sur
$\mathbb{R}^{n}$ et pour $1\leq i\leq n$ , $\partial_{i}(g)(x)=\partial_{i}(f)(x)-u_{i}=0$ .

Donc pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\nabla(g)(x)=0$ , donc d’après 1), $g$ est constante sur $\mathbb{R}^{n}$ ; pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $g(x)=g(0)=f(0)$ ,
donc $f(x)=f(0)+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_{k}x_{k}$ : $f$ est bien affine.

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Exercice 4 :

Pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , on définit la fonction $g_{x}:]0,+\infty[\to \mathbb{R}$ qui à tout réel $t>0$ associe $f(tx)$ . Quelque soit $x$ , la fonction $g_{x}$ est
$C^{1}$ sur $]0,+\infty[$ et pour $t>0$ , $g'_{x}(t)=<\nabla(f)(tx),x>$ .

Par hypothèse, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ et tout $t>0$ , $g_{x}(t)=tf(x)$ , donc $g'_{x}(t)=f(x)$ .

Donc pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ et tout $t>0$ , $f(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(tx)x_{i} \quad (1)$ .

Quand $t\to 0,t>0$ , comme $\Vert tx\Vert=t\Vert x\Vert$ , $\Vert tx\Vert\to 0$ . Comme $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ , les dérivées partielles $\partial_{i}(f)$ ,
$1\leq i\leq n$ , sont continues sur $\mathbb{R}^{n}$ ,
donc quand $t\to 0,t>0$ , pour $1\leq i\leq n$ , $\partial_{i}(f)(tx)\to \partial_{i}(f)(0)$ .

En passant à la limite dans l’égalité $(1)$ quand $t\to 0,t>0$ , on obtient: $f(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(0)x_{i}$ .

L’application $f$ est donc linéaire.

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