Chapitres Maths en ECS2
Corrigés : Calcul différentiel en ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Corrigés classiques – Calcul différentiel en ECS2
Exercice 1 :
est une fonction de classe
sur
, à valeurs dans
.
Question 1 :
En utilisant la définition des dérivées partielles, . Comme pour tout
de
,
,
.
Question 2 :
Si pour tout de
,
, pour tout
réel, la fonction
a une dérivée nulle en
tout point de
, donc la fonction
est constante sur
; cette fonction prend la valeur
quand
, donc c’est la
fonction nulle. Donc pour tous et
réels
.
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Exercice 2 :
La fonction est de classe
sur
.
On suppose que, pour , la ligne de niveau
de
, notée
, a pour équation
, où
est une fonction de classe
sur
à valeurs réelles.
On pose, pour réel,
et
.
Question 1 :
Le point appartient à
, donc
, donc
; la fonction
est constante, donc sa dérivée est nulle:
pour tout de .
Les fonctions et
sont
sur
, et
est
sur
, donc
est
sur
et pour tout
réel,
.
On en déduit .
Question 2 :
L’équation de est
.
Question 3 :
La droite est dirigée par le vecteur
de coordonnées
, et on a:
.
Donc et
sont orthogonaux, donc
est orthogonal à
.
Exercice 3 :
La fonction est de classe
sur
.
Question 1 :
Pour tout réel et tout
de
,
appartient à
, donc
, donc
, c’est-à-dire
.
Pour tout de
, la fonction
est de classe
sur
et de dérivée nulle, donc cette fonction est constante sur
;
en particulier, elle prend la même valeur en et en
, donc
.
Cette égalité est valable pour tout de
, donc la fonction
est bien constante sur
.
Question 2 :
Si , on a par hypothèse pour tout
de
et tout
de
,
.
On pose pour ,
. Alors la fonction
est
sur
et pour
,
.
Donc pour tout de
,
, donc d’après 1),
est constante sur
; pour tout
de
,
,
donc :
est bien affine.
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Exercice 4 :
Pour tout de
, on définit la fonction
qui à tout réel
associe
. Quelque soit
, la fonction
est
sur
et pour
,
.
Par hypothèse, pour tout de
et tout
,
, donc
.
Donc pour tout de
et tout
,
.
Quand , comme
,
. Comme
est
sur
, les dérivées partielles
,
, sont continues sur
,
donc quand , pour
,
.
En passant à la limite dans l’égalité quand
, on obtient:
.
L’application est donc linéaire.
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