Chapitres Maths en ECS2

Exercices et corrigés : Couples de variables aléatoires réelles ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Corrigés classiques – Couples et n-uplets de VAR

Exercice 1 :

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. indépendantes définies sur le même espace probabilisé. $X$ suit la loi normale centrée réduite, on notera $\phi$ sa fonction de répartition et $\varphi$ sa densité continue sur $\mathbb{R}$ . $Y$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$ .

On pose $T=X+Y$ .

Question 1 :

$X(\Omega)=\mathbb{R}$ , $Y(\Omega)=[0,1]$ , $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc $T(\Omega)=\mathbb{R}$ .

$f_{X}$ est strictement positive sur $\mat;hbb{R}$ ; $f_{Y}$ est nulle en dehors de $[0,1]$ et vaut $1$ sur $[0,1]$ ,donc $f_{Y}$ est bornée, donc pour tout $x$ réel, $f_{X}*f_{Y}(x)$ existe et on a:

$f_{X}*f_{Y}(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x-t)f_{Y}(t)dt$ $=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{(x-t)^{2}}{2}\right)dt$ .

On effectue le changement de variable affine $u=x-t$ :

$f_{X}*f_{Y}(x)=\displaystyle \int_{x-1}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{u^{2}}{2}\right)du$ $=\phi(x)-\phi(x-1)$ .

Question 2 :

Quand $x\to +\infty$ (resp. $-\infty$ ), $\phi(x)\to 1$ (resp $0$ ), donc $\phi(x)-\phi(x-1)\to 0$ . D’après l’inégalité des accroissements finis :

$|x(\phi(x)-\phi(x-1))|$ $\leq |x|\textrm{max}_{x-1\leq t\leq x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{t^{2}}{2}\right)$ .

L’inégalité $x-1\leq t\leq x$ entraîne $0\leq t\leq x$ si $x\geq 1$ , $-1\leq t\leq 1$ si $x\in[0,1]$ , $-|x|-1\leq t\leq 0$ si $x\leq 0$ . Dans tous les cas, on a $|t|\leq |x|+1$ , donc $|x(\phi(x-1)-\phi(x))|$ $\leq\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{(|x|+1)^{2}}{2}\right)$ .

Par croissances comparées, $x\exp\left(-\dfrac{(|x|+1)^{2}}{2}\right)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ .
Donc par encadrement $x(\phi(x)-\phi(x-1))$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ .

Question 3 :

La fonction $h:x\to \phi(x)-\phi(x-1)$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ , et positive car $\phi$ est croissante.

On étudie l’intégrale $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(\phi(x)-\phi(x-1))dx$ .

On intègre par parties en posant: $u(x)=\phi(x)-\phi(x-1), v'(x)=1$ ; $u'(x)=\varphi(x)-\varphi(x-1),v(x)=x$ .

D’après 2) $u(x)v(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , donc si les intégrales écrites convergent:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx$ $=-\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x(\varphi(x)-\varphi(x-1))dx$ $=\displaystyle -\int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)dx$ $+\int_{-\infty}^{+\infty}(x-1)\varphi(x-1)dx$ $+\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x-1)dx$ .

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)dx$ existe et vaut $0$ : c’est l’espérance de $X$ ; $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(x-1)\varphi(x-1)dx$ existe et vaut aussi $0$ en effectuant le changement de variable affine $s=x-1$ ; de même $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x-1)dx=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$ .

Donc $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx=1$ .

Donc $h$ est bien une densité de probabilité, et $T$ admet $h$ pour densité.

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Exercice 2 :

On considère une suite $(X_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ de v.a.r. indépendantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre $p$ , $p\in ]0,1[$ .

Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ , on pose $Y_{n}=X_{n}+X_{n+1}$ .

Question 1 :

$Y_{n}$ est somme de deux v.a.r. indépendantes qui suivent une loi de Bernouilli de paramètre $p$ , donc $Y_{n}$ suit une loi binomiale de paramètre $(2,p)$ .

$\mathbb{E}(Y_{n})$ $=2p$ et $\textrm{Var}(Y_{n})=2p(1-p)$ .

Question 2 :

L’espérance est linéaire, donc $\mathbb{E}(T_{n})$ $=\dfrac{1}{n}(\mathbb{E}(Y_{1})+\dots+\mathbb{E}(Y_{n}))=2p$ .

On écrit: $T_{n}$ $=\dfrac{1}{n}(X_{1}+2(X_{2}+\dots+X_{n})+X_{n+1})$ . Les v.a.r. $X_{1}$ , $2(X_{2}+\dots+X_{n})$ et $X_{n+1}$ sont indépendantes puisque les $X_{n}$ , $n\geq1$ , sont indépendantes et que les ensembles d’indices $\{1\}$ , $\{2,\dots,n\}$ et $\{n+1\}$ sont deux à deux disjoints.

Donc $\textrm{Var}(T_{n})=\dfrac{1}{n^{2}}(\textrm{Var}(X_{1})$ $+4\textrm{Var}(X_{2}+\dots+X_{n})$ $+\textrm{Var}(X_{n+1}))$ .

Comme $X_{2},\dots,X_{n}$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernouilli de paramètre $p$ , $X_{2}+\dots+X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètre $(n-1,p)$ , donc $\textrm{Var}(X_{2}+\dots+X_{n})=(n-1)p(1-p)$ , donc finalement:

$\textrm{Var}(T_{n})$ $=\dfrac{1}{n^{2}}(1+4(n-1)+1)p(1-p)$ $=\dfrac{2}{n^{2}}(2n-1)p(1-p)$ .

Exercice 3 :

Une v.a.r. définie sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ est symétrique si pour tout $x$ réel, $\mathbb{P}([X < x])=\mathbb{P}([X > -x])$ .

Question 1 :

Si $X$ suit la loi normale centrée réduite, on a bien pour tout $x$ réel, $\phi(x)=1-\phi(-x)$ , c’est-à-dire $\mathbb{P}([X\leq x])=\mathbb{P}([X > -x])$ , et comme $X$ est à densité, $\mathbb{P}([X\leq x])=\mathbb{P}([X < x])$ . Donc $X$ est symétrique.

Question 2 :

Si $X$ est symétrique et à densité, pour tout $x$ réel, $F_{X}(x)=1-F_{X}(-x)$ , donc en dérivant

$f_{X}(x)=f_{X}(-x)$ : $f$ est paire, sa courbe en repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Si $X$ est symétrique et à densité, pour tout $x$ réel, $-X$ est à densité et $F_{-X}(x)=1-F_{X}(-x)$ , donc en dérivant $f_{-X}(x)=f_{X}(-x)=f_{X}(x)$ .

Donc $-X$ a même loi que $X$ . Si $X$ admet une espérance, $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(-X)$ , donc $\mathbb{E}(X)=0$ .

Question 3 :

$-Y$ est à densité et suit la même loi que $Y$ . Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, pour tout $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^{2}$ , $F_{(X,Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$ .

$X$ et $-Y$ sont aussi indépendantes, donc $F_{(X,-Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{-Y}(y)$ , et comme $Y$ et $-Y$ ont même loi, $F_{-Y}=F_{Y}$ , donc $(X,Y)$ et $(X,-Y)$ ont même loi, donc $X+Y$ et $X-Y$ ont même loi.

$X$ et

$Y$ ne sont plus supposées indépendantes, ce n’est plus vrai. En prenant par exemple

$Y=X$ ,

$X+Y=2X$ et

$X-Y=0$ ;

$2X$ est une v.a.r. à densité,

$0$ est une v.a.r. discrète, elles ne peuvent pas avoir même loi.

Exercice 4 :

$X_{1},\dots,X_{n}$ , $n\geq 2$ , sont des v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, de fonctions de répartition $F_{1},\dots,F_{n}$ .

On définit les v.a.r. $V_{n}$ et $U_{n}$ par $V_{n}=\textrm{sup}(X_{1},\dots,X_{n})$ et $U_{n}=\textrm{inf}(X_{1},\dots,X_{n})$ .

Question 1 :

Pour tout $v$ réel, $[V\leq v]=[X_{1}\leq v]\cap \dots \cap [X_{n}\leq v]$ , et $X_{1},\dots,X_{n}$ sont indépendantes, donc:

On a :

$F_{V}(v)=F_{1}(v)\dots F_{n}(v)$ , donc

$F_{V}=F_{1}\dots F_{n}$ .

Pour tout

$u$ réel,

$[U>u]=[X_{1}>u]\cap \dots \cap[X_{n}>u]$ , donc de même:

$1-F_{U}(u)=(1-F_{1}(u))\dots (1-F_{n}(u))$ .

D’où :

$F_{U}(u)=1-(1-F_{1}(u))\dots (1-F_{n}(u))$ , donc

$F_{U}=1-(1-F_{1})\dots(1-F_{n})$ .

Question 2 :

$F_{1},\dots,F_{n}$ sont continues sur $\mathbb{R}$ , $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ privé peut-être d’un nombre fini de points, donc $F_{1}\dots F_{n}$ et $(1-F_{1})\dots(1-F_{n})$ ont ces mêmes propriétés, donc $V$ et $U$ sont à densité.

Si, pour $1\leq i\leq n$ , $X_{i}$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{i}$ , $V(\Omega)=U(\Omega)=]0,+\infty[$ , donc:

$F_{V}(v)=(1-e^{-\lambda_{1}v})\dots(1-e^{-\lambda_{n}v})$ si $v>0$ , et $F_{V}(v)=0$ sinon;

$F_{U}(u)=1-e^{-\lambda_{1}u}\dots e^{-\lambda_{n}u}$

$=1-e^{-(\lambda_{1}+\dots +\lambda_{n})u}$ si

$u>0$ , et

$F_{U}(u)=0$ sinon:

$U$ suit la loi exponentielle de paramètre

$\lambda_{1}+\dots +\lambda_{n}$ .

Question 3 :

On suppose dans cette question $n=2$ , $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent des lois exponentielles de paramètres $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ .

(i) Une densité de $-X_{2}$ est $f_{-X_{2}}(s)=f_{X_{2}}(-s)$ , donc $f_{-X_{2}}(s)=\lambda_{2}e^{\lambda_{2}s}$ si $s<0$ et $f_{-X_{2}}(s)=0$ sinon.

Comme $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes, $X_{1}$ et $-X_{2}$ le sont aussi. Pour $x$ réel, on calcule:

$f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}(x)$ $=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_{1}}(t)f_{-X_{2}}(x-t)dt$ .

L’intégration porte sur les $t$ tels que $t>0$ et $x-t<0$ , c’est-à-dire $t>\textrm{max}(0,x)$ .

Si $x\leq 0$ , $f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}(x)$ $=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}t}\lambda_{2} e^{\lambda_{2}(x-t)} dt$ $=\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}e^{\lambda_{2}x}$ .

Si $x>0$ , $f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}(x)$ $=\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}t}\lambda_{2} e^{\lambda_{2}(x-t)} dt$ $=\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}e^{-\lambda_{1}x}$ .

$f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ (elle vaut $\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}$ en $0$ ), donc c’est une densité de $X_{1}-X_{2}$ .

$|X_{1}-X_{2}|(\Omega)=[0,+\infty[$ , et pour $x\geq 0$ , $|X_{1}-X_{2}|\leq x]=[-x\leq X_{1}-X_{2}\leq x]$ , donc

$F_{|X_{1}-X_{2}|}(x)$ $=F_{X_{1}-X_{2}}(x)-F_{X_{1}-X_{2}}(-x)$ .

Comme $f_{X_{1}-X_{2}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , $F_{X_{1}-X_{2}}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$ , donc $F_{|X_{1}-X_{2}|}$ l’est aussi.

Donc $|X_{1}-X_{2}$ est à densité, et en dérivant:

$f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)$ $=f_{X_{1}-X_{2}}(x)+f_{X_{1}-X_{2}}(-x)$ $=\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}(e^{-\lambda_{1}x}+e^{-\lambda_{2}x})$ si $x\geq 0$ et $f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)=0$ sinon.

(ii) $V_{2}$ et $U_{2}$ ne sont pas indépendantes, puisque $V_{2}\geq U_{2}$ , mais $V_{2}-U_{2}=|X_{1}-X_{2}|$ , donc $V_{2}-U_{2}$ a la densité trouvée en (i).

(iii) Si $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda$ , $f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ si $x\geq 0$ , et $f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)=0$ sinon, donc $|X_{1}-X_{2}|$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , et $V_{2}-U_{2}$ aussi.

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Exercice 5 :

$X$ est une v.a.r. qui suit la loi normale centrée réduite, $Y$ est définie sur le même espace probabilisé que $X$ et suit une loi uniforme sur $\{-1,1\}$ . $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Question 1 :

$Z(\Omega)=\mathbb{R}$ , et pour tout $z$ réel,

$[Z\leq z]$

$=([Z\leq z]\cap[Y=1])\cup ([Z\leq z]\cap [Y=-1])$

$=([X\leq z]\cap [Y=1])\cap ([-X\leq z]\cap [Y=-1])$

$=([X\leq z]\cap[Y=1])\cup([X\geq -z]\cap [Y=-1])$ .

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, et que $\mathbb{P}([Y=1])=\mathbb{P}([Y=-1])=\dfrac{1}{2}$ ,

$F_{Z}(z)$

$=\dfrac{1}{2}(\phi(z)+(1-\phi(-z)))=\phi(z]$ .

Donc

$Z$ suit la loi normale centrée réduite.

Question 2 :

$X^{2}(\Omega)=[0,+\infty[$ et $X^{2}$ est à densité. Pour $x\geq 0$ , $[X^{2}\leq x]=[-\sqrt{x}\leq X\leq \sqrt{x}]$ , donc

$F_{X^{2}}(x)$

$=\phi(\sqrt{x})-\phi(\sqrt{-x})=2\phi(\sqrt{x})-1$ . Donc une densité de

$X^{2}$ est

$g$ :

$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}f_{X}(\sqrt{x})$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\exp(-\dfrac{x}{2})$ si

$x\geq 0$ ,

$g(x)=0$ sinon.

Question 3 :

(i) $T(\Omega)=\mathbb{R}$ et pour tout $t$ réel,

$[T\leq t]=([X^{2}\leq t]\cap[Y=1])$ $\cup([-X^{2}\leq t]\cap[Y=-1])$ $=([X^{2}\leq t]\cap[Y=1])$ $\cup([X^{2}\geq -t]\cap[Y=-1])$ , donc

$F_{T}(t)=\dfrac{1}{2}(F_{X^{2}}(t)+(1-F_{X^{2}}(-t))$ .

$X^{2}$ est à densité, donc $F_{X^{2}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , et $F_{X^{2}}$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{*}$ au moins, donc $F_{T}$ est aussi continue sur $\mathbb{R}$ et $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{*}$ au moins, donc $T$ est à densité et $f_{T}(t)=\dfrac{1}{2}(g(t)+g(-t))$ .

Si $t>0$ , $g(-t)=0$ , si $t\leq 0$ , $g(t)=0$ , donc pour tout $t$ réel, $f_{T}(t)=\dfrac{1}{2}g(|t|)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{|t|}}\exp(-\dfrac{|t|}{2})$ .

(ii) On a $|T|=X^{2}$ et $X$ admet un moment d’ordre $2$ , donc $T$ admet une espérance. La fonction $f_{T}$ est paire, donc $t\mapsto tf_{T}(t)$ est impaire, donc $\mathbb{E}(T)=0$ .

(iii) On a donc $\mathbb{E}(XZ)=0$ , et aussi $\mathbb{E}(X)=0$ . Donc $\textrm{cov}(X,Z)=\mathbb{E}(XZ)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Z)=0$ . $X$ et $Z$ ne sont pas linéairement corrélées. Mais elles ne sont pas indépendantes:

$[X\leq -1]\cap[Z\leq -1]$

$=[X\leq -1]\cap([XY\leq -1]\cap[Y=1])$

$\cup([X\leq -1]\cap[XY\leq -1\cap[Y=-1])$ .

Le deuxième ensemble de l’union est vide, donc

$[X\leq-1]\cap[Z\leq-1]=[X\leq -1]\cap[Y=1]$ , donc

$\mathbb{P}([X\leq -1]\cap[Z\leq -1])$

$=(1-\phi(1))\times\dfrac{1}{2}$ . Or

$\mathbb{P}([X\leq -1])\mathbb{P}(Z\leq -1])=(1-\phi(1))^{2}$ .

Comme $1-\phi(1)\neq \dfrac{1}{2}$ , $\mathbb{P}([X\leq -1]\cap[Z\leq -1])$ $\neq \mathbb{P}([X\leq -1])\mathbb{P}([Z\leq-1])$ , donc $X$ et $Z$ ne sont pas indépendantes.

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