Chapitres Maths en ECS2
Exercices et corrigés : Couples de variables aléatoires réelles ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Corrigés classiques – Couples et n-uplets de VAR
Exercice 1 :
et
sont deux v.a.r. indépendantes définies sur le même espace probabilisé.
suit la loi normale centrée réduite, on notera
sa fonction de répartition et
sa densité continue sur
.
suit la loi uniforme sur
.
On pose .
Question 1 :
,
,
et
sont indépendantes, donc
.
est strictement positive sur
;
est nulle en dehors de
et vaut
sur
,donc
est bornée, donc pour tout
réel,
existe et on a:
.
On effectue le changement de variable affine :
.
Question 2 :
Quand (resp.
),
(resp
), donc
. D’après l’inégalité des accroissements finis :
.
L’inégalité entraîne
si
,
si
,
si
. Dans tous les cas, on a
, donc
.
Par croissances comparées, tend vers
quand
tend vers
ou
.
Donc par encadrement tend vers 0 quand
tend vers
ou
.
Question 3 :
La fonction est définie et continue sur
, et positive car
est croissante.
On étudie l’intégrale .
On intègre par parties en posant: ;
.
D’après 2) tend vers
quand
tend vers
ou
, donc si les intégrales écrites convergent:
.
existe et vaut
: c’est l’espérance de
;
existe et vaut aussi
en effectuant le changement de variable affine
; de même
.
Donc .
Donc est bien une densité de probabilité, et
admet
pour densité.
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Exercice 2 :
On considère une suite de v.a.r. indépendantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre
,
.
Pour , on pose
.
Question 1 :
est somme de deux v.a.r. indépendantes qui suivent une loi de Bernouilli de paramètre
, donc
suit une loi binomiale de paramètre
.
et
.
Question 2 :
L’espérance est linéaire, donc
.
On écrit:
. Les v.a.r.
,
et
sont indépendantes puisque les
,
, sont indépendantes et que les ensembles d’indices
,
et
sont deux à deux disjoints.
Donc
.
Comme sont indépendantes et suivent la loi de Bernouilli de paramètre
,
suit une loi binomiale de paramètre
, donc
, donc finalement:
.
Exercice 3 :
Une v.a.r. définie sur est symétrique si pour tout
réel,
.
Question 1 :
Si suit la loi normale centrée réduite, on a bien pour tout
réel,
, c’est-à-dire
, et comme
est à densité,
. Donc
est symétrique.
Question 2 :
Si est symétrique et à densité, pour tout
réel,
, donc en dérivant
:
est paire, sa courbe en repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Si est symétrique et à densité, pour tout
réel,
est à densité et
, donc en dérivant
.
Donc a même loi que
. Si
admet une espérance,
, donc
.
Question 3 :
est à densité et suit la même loi que
. Comme
et
sont indépendantes, pour tout
dans
,
.
et
sont aussi indépendantes, donc
, et comme
et
ont même loi,
, donc
et
ont même loi, donc
et
ont même loi.







Exercice 4 :
,
, sont des v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, de fonctions de répartition
.
On définit les v.a.r. et
par
et
.
Question 1 :
Pour tout réel,
, et
sont indépendantes, donc:



![Rendered by QuickLaTeX.com [U>u]=[X_{1}>u]\cap \dots \cap[X_{n}>u]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e63255e005c5bbeffdf6507176c0df93_l3.png)



Question 2 :
sont continues sur
,
sur
privé peut-être d’un nombre fini de points, donc
et
ont ces mêmes propriétés, donc
et
sont à densité.
Si, pour ,
suit une loi exponentielle de paramètre
,
, donc:
si
, et
sinon;






Question 3 :
On suppose dans cette question ,
et
suivent des lois exponentielles de paramètres
et
.
(i) Une densité de est
, donc
si
et
sinon.
Comme et
sont indépendantes,
et
le sont aussi. Pour
réel, on calcule:
.
L’intégration porte sur les tels que
et
, c’est-à-dire
.
Si ,
.
Si ,
.
est définie et continue sur
(elle vaut
en
), donc c’est une densité de
.
, et pour
,
, donc
.
Comme est continue sur
,
est
sur
, donc
l’est aussi.
Donc est à densité, et en dérivant:
si
et
sinon.
(ii) et
ne sont pas indépendantes, puisque
, mais
, donc
a la densité trouvée en (i).
(iii) Si ,
si
, et
sinon, donc
suit la loi exponentielle de paramètre
, et
aussi.
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Exercice 5 :
est une v.a.r. qui suit la loi normale centrée réduite,
est définie sur le même espace probabilisé que
et suit une loi uniforme sur
.
et
sont indépendantes.
Question 1 :
, et pour tout
réel,
![Rendered by QuickLaTeX.com [Z\leq z]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dd1ed9fd7b9c0d7c4ca9cb09f563235_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =([Z\leq z]\cap[Y=1])\cup ([Z\leq z]\cap [Y=-1])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bc81a6b39449efe9832c77afde91275_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =([X\leq z]\cap [Y=1])\cap ([-X\leq z]\cap [Y=-1])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9560621eb3bd0fa9b1ca9ff233fd265f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =([X\leq z]\cap[Y=1])\cup([X\geq -z]\cap [Y=-1])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69a9afe40d781a727186459efe4349d0_l3.png)
Comme et
sont indépendantes, et que
,

![Rendered by QuickLaTeX.com =\dfrac{1}{2}(\phi(z)+(1-\phi(-z)))=\phi(z]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3284c4a7fa8319ce2453e5f53b5bd384_l3.png)

Question 2 :
et
est à densité. Pour
,
, donc








Question 3 :
(i) et pour tout
réel,
, donc
.
est à densité, donc
est continue sur
, et
est
sur
au moins, donc
est aussi continue sur
et
sur
au moins, donc
est à densité et
.
Si ,
, si
,
, donc pour tout
réel,
.
(ii) On a et
admet un moment d’ordre
, donc
admet une espérance. La fonction
est paire, donc
est impaire, donc
.
(iii) On a donc , et aussi
. Donc
.
et
ne sont pas linéairement corrélées. Mais elles ne sont pas indépendantes:
![Rendered by QuickLaTeX.com [X\leq -1]\cap[Z\leq -1]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef48c7b0faa4a349a04aa944069338a2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =[X\leq -1]\cap([XY\leq -1]\cap[Y=1])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01a2dffaea92c359d7a979dfbd2a5d89_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \cup([X\leq -1]\cap[XY\leq -1\cap[Y=-1])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44132da990f7aacfa1312a980c901cd8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com [X\leq-1]\cap[Z\leq-1]=[X\leq -1]\cap[Y=1]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7a38340a342b1665289218fc0cc1e3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P}([X\leq -1]\cap[Z\leq -1])](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c701aae731803b2b13887c89e5c0efb9_l3.png)

![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P}([X\leq -1])\mathbb{P}(Z\leq -1])=(1-\phi(1))^{2}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22737ea80400b317c518147cfcea885d_l3.png)
Comme ,
, donc
et
ne sont pas indépendantes.
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