Chapitres Maths en ECS2

Corrigés : Couples de variables aléatoires discrètes en ECG2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG2

Corrigés – loi géométrique, loi marginale et indépendance

Exercice 1 :

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on prend $u_{i}=\mathbb{P}([X=i])$ et $v_{j}=\mathbb{P}([Y=j])$ .

Réciproquement, si pour tous $i$ et $j$ de $\mathbb{N}$ , $\mathbb{P}([X=i]\cap [Y=j])=u_{i}v_{j}$ , alors $\displaystyle \sum_{i,j\in \mathbb{N}}u_{i}v_{j}=1$ , donc

$\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}u_{i}$ existe, on la note $U$ , de même $\displaystyle \sum_{j=O}^{+\infty} v_{j}=V$ , et on a $UV=1$ .

Les lois marginales du couples sont données par: $\mathbb{P}([X=i])=u_{i}V$ et $\mathbb{P} ([Y=j])=v_{j}U$ .

Donc $\mathbb{P}([X=i])\mathbb{P}([Y=j])=u_{i}v_{j}UV=u_{i}v_{j}$ , donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.

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Exercice 2 :

Les $p_{i,j}$ doivent être des réels positifs, donc on prendra $\lambda\geq 0$ . D’autre part:

$\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}\times \mathbb{N}^{*}} p_{i,j} =\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\sum_{i,j\geq 1:i+j=n}\dfrac{\lambda}{n^{3}}$ $=\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} (n-1)\dfrac{\lambda}{n^{3}}=\lambda(S_{2}-S_{3})$

(car pour $n=1$ , $\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{1}{n^{3}}$ ).

On prendra donc $\lambda=\dfrac{1}{S_{2}-S_{3}}$ (qui est bien positif).

Exercice 3 :

Les $p_{i,j}$ sont positifs, et $\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}} p_{i,j} =\dfrac{1}{4}\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{i}}\sum_{j=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{j}}=1$ .

Donc cette famille est bien la loi d’un couple $(X,Y)$ de v.a.r. discrètes. On remarque que $p_{i,j}=p_{j,i}$ , donc
$\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])=\mathbb{P}([X=j]\cap[Y=i])$ . On calcule :

$\mathbb{P}([X=i])=\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} p_{i,j}$ $=\dfrac{1}{2^{i+2}}\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{j}}=\dfrac{1}{2^{i+1}}$ , et de même $\mathbb{P}([Y=i])=\dfrac{1}{2^{i+1}}$ .

On a: $(X+1)(\Omega)=(Y+1)(\Omega)=\mathbb{N}^{*}$ et pour $j$ dans $\mathbb{N}^{*}$ , $\mathbb{P}([X+1=j])$ $=\mathbb{P}([X=j-1])=\dfrac{1}{2^{j}}=\dfrac{1}{2^{j-1}}\dfrac{1}{2}$ , donc $X+1$ suit la loi géométrique de paramètre $p=\dfrac{1}{2}$ .

$Y+1$ suit la même loi.

On a donc: $\mathbb{E}(X+1)=\mathbb{E}(Y+1)=\dfrac{1}{p}=2$ , d’où $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y)=1$ , $\textrm{Var}(X+1)=\textrm{Var}(Y+1)=\dfrac{1-p}{p^{2}}=2$ , et $\textrm{Var}(X+1)=\textrm{Var}(X)$ , d’où $\textrm{Var}(X)=\textrm{Var}(Y)=2$ .

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)=1$ et $\textrm{Var}(X+Y)=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)=4$ .

Exercice 4 :

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $(X+Y)(\Omega)=X(\Omega)+Y(\Omega)=\mathbb{N}$ .

Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ : $\mathbb{P}([X+Y=n])$ $=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}([X=n-k])\mathbb{P}([Y=k])$ .

L’inégalité $n\geq k+1$ est valable pour $0\leq k\leq n-1$ , donc :

$\mathbb{P}([X+Y=n])$ $\leq \mathbb{P}([Y=n])$ $\times\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\mathbb{P}([X=n-k])+\mathbb{P}([X=0])\mathbb{P}([Y=n])$

$=\mathbb{P}([Y=n])(\mathbb{P}([1\leq X\leq n])+\mathbb{P}([X=0]))$ $=\mathbb{P}([Y=n])\mathbb{P}([X\leq n])$ .

Pour $n=0$ : $\mathbb{P}([X+Y=0])=\mathbb{P}([X=0])\mathbb{P}([Y=0])$ et $[X=0]=[X\leq 0]$ , donc l’inégalité est encore vraie.

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Exercice 5 :

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $(X+Y)(\Omega)=X(\Omega)+Y(\Omega)= [\![0,2n]\!]$ , et pour tous $i,j$ de $[\!|0,n]\!]$ , $\ \mathbb{P}([X=i]\cap [Y=j])=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}$ .

Pour $k\in [\![0,2n]\!]$ , $[X+Y=k]=\bigcup ([X=i]\cap [Y=k-i])$ , l’union étant effectuée sur tous les entiers $i$ tels que $0\leq i\leq n$ et $0\leq k-i\leq n$ , c’est-à-dire $\textrm{max}(0, k-n)\leq k\leq \textrm{min}(n,k)$ .

Si $0\leq k\leq n$ , $[X+Y=k]=\displaystyle \bigcup_{i=0}^{k}([X=i]\cap[Y=k-i])$ , donc $\mathbb{P}([X+Y=k])=\dfrac{k+1}{(n+1)^{2}}$ .

Si $n+1\leq k\leq 2n$ , $[X+Y=k]=\displaystyle \bigcup_{i=k-n}^{n}([X=i]\cap [Y=k-i])$ , donc $\mathbb{P}([X+Y=k])=\dfrac{2n-k+1}{(n+1)^{2}}$ .

Exercice 6 :

$X(\Omega)=[\![1,n]\!]$ et $Y(\Omega)=\mathbb{N}^{*}$ , $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc

$(X+Y)(\Omega)=[\![2;+\infty[\![$ et $\Omega'_{(X,Y)}=[\![1;n]\!] \times \mathbb{N}^{*}$ .

Pour $k\geq 2$ , $[X+Y=k]$ $=\displaystyle \bigcup_{1\leq i\leq \textrm{min}(n,k-1)}([X=i]\cap [Y=k-i])$ .

Si $2\leq k\leq n$ , $[X+Y=k]$ $=\displaystyle \bigcup_{1\leq i\leq k-1}([X=i]\cap [Y=k-i])$ , donc

$\mathbb{P}([X+Y=k])$ $=\displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{1}{n}(1-p)^{k-i-1}p$ $=\dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{i-1}$ $=\dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{k-1}}{1-\dfrac{1}{1-p}}$ $=\dfrac{1}{n}(1-(1-p)^{k-1})$ .

Si $k\geq n+1$ , $[X+Y=k]$ $=\displaystyle \bigcup_{1\leq i\leq n}([X=i]\cap [Y=k-i])$ , donc

$\mathbb{P}([X+Y=k])$ $=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n}(1-p)^{k-i-1}p$ $=\dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{i-1}$ $= \dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{1-p}}$ $=\dfrac{1}{n}(1-p)^{k-n-1}(1-(1-p)^{n})$ .

Exercice 7 :

$X(\Omega)=Y(\Omega)=\mathbb{N}^{*}$ , et $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc $(X+Y)(\Omega)=[\![2,+\infty[\![$ .

Pour $n\geq 2$ , $[X+Y=n]=\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n-1}([X=k]\cap [Y=n-k])$ , donc

$\mathbb{P}([X+Y=n])$ $=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1-u)^{k-1}u(1-v)^{n-k-1}v$ $=uv(1-v)^{n-2}\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac{1-u}{1-v}\right)^{k-1}$ .

Si $u=v$ , $\mathbb{P}([X+Y=n])=(n-1)u^{2}(1-u)^{n-2}$ .

Si $u\neq v$ , $\mathbb{P}([X+Y=n])$ $=uv(1-v)^{n-2}\dfrac{\ 1-\left(\dfrac{1-u}{1-v}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{1-u}{1-v}}$ $=\dfrac{uv}{u-v}((1-v)^{n-1}-(1-u)^{n-1})$ .

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