Chapitres Maths en ECS2
Corrigés : Couples de variables aléatoires discrètes en ECG2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG2
Corrigés – loi géométrique, loi marginale et indépendance
Exercice 1 :
Si et
sont indépendantes, on prend
et
.
Réciproquement, si pour tous et
de
,
, alors
, donc
existe, on la note
, de même
, et on a
.
Les lois marginales du couples sont données par: et
.
Donc , donc
et
sont indépendantes.
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Exercice 2 :
Les doivent être des réels positifs, donc on prendra
. D’autre part:
(car pour ,
).
On prendra donc (qui est bien positif).
Exercice 3 :
Les sont positifs, et
.
Donc cette famille est bien la loi d’un couple de v.a.r. discrètes. On remarque que
, donc
. On calcule :
, et de même
.
On a: et pour
dans
,
, donc
suit la loi géométrique de paramètre
.
suit la même loi.
On a donc: , d’où
,
, et
, d’où
.
Comme et
sont indépendantes,
et
.
Exercice 4 :
Comme et
sont indépendantes,
.
Pour :
.
L’inégalité est valable pour
, donc :
.
Pour :
et
, donc l’inégalité est encore vraie.
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Exercice 5 :
Comme et
sont indépendantes,
, et pour tous
de
,
.
Pour ,
, l’union étant effectuée sur tous les entiers
tels que
et
, c’est-à-dire
.
Si ,
, donc
.
Si ,
, donc
.
Exercice 6 :
et
,
et
sont indépendantes, donc
et
.
Pour ,
.
Si ,
, donc
.
Si ,
, donc
.
Exercice 7 :
, et
et
sont indépendantes, donc
.
Pour ,
, donc
.
Si ,
.
Si ,
.
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