Corrigés d’exercices : Extrema et convexité en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Extrema et convexité

Exercice :

1) On a $\ln '' \left( x \right) = - \dfrac{1}{x^2} \le 0.$ Donc la fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*.$ Comme $\ln$ est concave, son graphe est en dessous de ses tangentes, en particulier de sa tangente en $\left( 1, 0 \right).$ Or, une équation de la tangente en $1$ est : $y = x - 1.$ Ainsi pour tout $x > 0,$ on a : $\ln \left( x \right) \le x - 1 .$

2) a) Comme la fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*,$ on a : pour $x, y \in \mathbb{R}_+^*$ et pour tout $t \in \left[ 0 , 1 \right],$

$\ln \left( \left( 1 - t \right) x + ty \right)$

$\ge \left( 1- t \right) \ln \left( x \right) + t \ln \left( y \right).$
En prenant

$1 - t = \dfrac1p, t = \dfrac1q,$

$t \in \left[ 0 , 1 \right],$

$x= a^p$ et

$y=b^q,$ cela donne

$\ln \left( \dfrac1p a^p + \dfrac1q b^q \right)$

$\ge \dfrac1p \ln \left( a^p \right) + \dfrac1q \ln \left( b^q \right)$

$\ge \ln \left( a \right) + \ln \left( b \right)$

$\ge \ln \left( a b \right)$ .

En utilisant la croissance de la fonction exponentielle, on a bien l’inégalité souhaitée.

b) On applique l’inégalité précédente à $\dfrac{x_k}{\alpha}$ et $\dfrac{y_k}{\beta}.$ Si l’on somme de $1$ à $n,$ on a :

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{x_k}{\alpha} \right) \times \left( \dfrac{y_k}{\beta} \right)$

$\le \dfrac1p \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{x_k}{\alpha} \right)^p$

$+ \dfrac1q \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{y_k}{\beta} \right)^q.$
C’est l’inégalité souhaitée.

c) On remarque que

$\dfrac1p \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{x_k}{\alpha} \right)^p + \dfrac1q \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \frac{y_k}{\beta} \right)^q$

$= \dfrac1p \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^p}{\alpha^p} + \dfrac1q \dfrac{ \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k^q }{\beta^q}$

$= \dfrac1p + \dfrac1q$

$= 1$ .

D’où

$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k y_k \le \alpha \beta.$

Ce qui est l’inégalité voulue par définition de $\alpha$ et $\beta.$

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Servez-vous des exercices et de leur correction pour identifier vos points faibles. Vous pourrez alors axer efficacement vos révisions. Vérifiez ainsi votre niveau sur les chapitres de maths en ECG1 suivants :

Corrigés d’exercices : Extrema et convexité en ECG1

Corrigés – Extrema et convexité

Exercice :

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales