Exercices : Extrema et convexité en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Extrema et convexité

Exercice :

1) Montrer que la fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*.$

En déduire que pour tout $x> 0,$ on a $\ln \left( x \right) \le x - 1.$

2) Soient $p , q$ deux réels strictement plus grands que $1$ tels que $\dfrac1p + \dfrac1q = 1.$

Soient $\left( x_k \right)_{k \in [\![ 1, n ]\!]}$ et $\left( y_k \right)_{k \in [\![ 1 , n ]\!]}$ deux suites de réels strictement positifs.

On pose $\alpha = \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^p \right)^{1 / p}$ et $\beta = \left( \sum_{k=1}^n y_k^q \right)^{1 / q}.$

a) Soient $a$ et $b > 0.$ Montrer que $ab \le \dfrac1p a^p + \dfrac1q b^q.$

b) Montrer que

$\dfrac{1}{\alpha \beta} \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k y_k$ $\le \dfrac1p \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{x_k}{\alpha} \right)^p + \dfrac1q \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{y_k}{\beta} \right)^q.$

c) En déduire l’inégalité suivante, dite inégalité de Hölder :

$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k y_k$ $\le \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^p \right)^{1 / p} \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k^q \right)^{1 / q}.$

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Voici d’autres cours en ligne de maths qu’il est nécessaire de réviser pour réussir son année en ECG1 :

Exercices : Extrema et convexité en ECG1