Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Corrigés : Oscillateur harmonique en MPSI, PCSI, PTSI

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de physique en Maths Sup

Corrigés – vibrations

1. Oscillateur élastique

Exercice 1 :Système à deux ressorts horizontaux.

Sur un axe horizontal $(O,x)$ , un mobile $M$ coulisse sans frottement.

Les points $P(x_P=-a)$ et $Q(x_Q=+a)$ sont fixes. On tend un premier ressort de constante de raideur $k_1=k$ et de longueur à vide $\ell_0=a$ entre $A$ et $M$ puis un second ressort de constante de raideur $k_2=2k$ et de longueur à vide $\ell_0=a$ entre $M$ et $B$ .

1. Quelle est position d’équilibre de $M$ ?

2. Établir l’équation différentielle vérifiée par $x(t)$

Corrigé :

1. Supposons que $M$ soit à l’abscisse $x>0$

La longueur du ressort 1 est $PM=x_M-x_P=x+a$

Le ressort 1 est tendu donc la force est dirigé vers la gauche, sa composante sur $(O,x)$ est négative.

On a donc $\vec{F}_1=-k_1((x+a)-a)\vec{u}_x=-kx\vec{u}_x$

La longueur du ressort 2 est $MQ=x_Q-x_M=a-x$

Le ressort 2 est comprimé donc la force est dirigé vers la gauche, sa composante sur $(O,x)$ est négative.

On a donc $\vec{F}_2=k_2((a-x)-a)\vec{u}_x=-2kx\vec{u}_x$

La somme des forces est nulle à l’équilibre soit

$-3kx_e=0$ donc $x_e=0$

(aucun des ressorts n’est tendu).

2. Le PFD s’écrit

$m\stackrel{\cdot\cdot}{x}=-3kx$ soit

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{3k}{m}x=0}$

Exercice 2 : Système à deux ressorts horizontaux (plus difficile).

Sur un axe horizontal $(O,x)$ , un mobile $M$ coulisse sans frottement.

Les points $P(x_P=-a)$ et $Q(x_Q=+a)$ sont fixes. On tend un premier ressort de constante de raideur $k_1=k$ et de longueur à vide $\ell_0=a/2$ entre $A$ et $M$ puis un second ressort de constante de raideur
$k_2=2k$ et de longueur à vide $\ell_0=a$ entre $M$ et $B$ .

1. Quelle est position d’équilibre de $M$ ?

2. Établir l’équation différentielle vérifiée par $x(t)$

Corrigé :

1. Supposons que $M$ soit à l’abscisse $x>0$

La longueur du ressort 1 est $PM=x_M-x_P=x+a$

Le ressort 1 est tendu donc la force est dirigé vers la gauche, sa composante sur $(O,x)$ est négative.

On a donc $\vec{F}_1=-k_1((x+a)-a/2)\vec{u}_x$

$\vec{F}_1=-k(x+a/2)\vec{u}_x$

La longueur du ressort 2 est $MQ=x_Q-x_M=a-x$

Le ressort 2 est comprimé donc la force est dirigé vers la gauche, sa composante sur $(O,x)$ est négative.

On a donc $\vec{F}_2=k_2((a-x)-a)\vec{u}_x=-2kx\vec{u}_x$

La somme des forces est nulle à l’équilibre soit

$-3kx_e-ka/2=0$ donc $x_e=-a/6$

2. Le PFD s’écrit

$m\stackrel{\cdot\cdot}{x}=-3kx-ka/2$ soit

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{3k}{m}x=\frac{3k}{m}\cdot\frac{-a}{6}}$

COURS PARTICULIERS DE PHYSIQUE

Nous avons recruté pour vous les meilleurs profs de physique.

POUR M'AMÉLIORER EN PHYSIQUE, JE CHERCHE DES

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

2. Mouvement harmonique

Exercice 1: De l’équation horaire aux caractéristiques du mouvement.

On donne l’équation horaire d’un oscillateur harmonique

$x(t)=2,50+\sqrt{3}\cos(\pi t)+\sin(\pi t)$

1. Calculer l’abscisse $x_e$ de la position d’équilibre, la pulsation propre $\omega_0$ , la période $T_0$ , la fréquence $f_0$ , la phase $\varphi$ et l’amplitude $C$ du mouvement.

2. En déduire $x_{\mathrm{min}}$ et $x_{\mathrm{max}}$

Corrigé :

On doit mettre l’équation horaire sous la forme
$x(t)=x_e+C\cos(\omega_0t+\varphi)$
On remarque que
$\displaystyle{\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\displaystyle{\sin\frac{\pi}{6}=\frac1{2}}$
On peut donc écrire
$\displaystyle{x(t)=2,50+}$
$\displaystyle{2\left[\cos(\pi t)\cos\frac{\pi}{6}+\sin(\pi t)\sin\frac{\pi}{6}\right]}$
$\displaystyle{x(t)=2,50+2\cos\left(\pi t-\frac{\pi}{6}\right)}$
On identifie donc
$x_e=2,50~\mathrm{m}$
$C=2~\mathrm{m}$
$\omega_0=\pi~\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$
$\displaystyle{\varphi=-\frac{\pi}{6}}$
On en déduit
$\displaystyle{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2~\mathrm{s}}$
et $f_0=1/T_0=0,5~\mathrm{Hz}$
2. Le cosinus oscille entre $-1$ et $+1$ donc
$x_{\mathrm{min}}=x_e-C=0,50~\mathrm{m}$
$x_{\mathrm{max}}=x_e+C=4,50~\mathrm{m}$

3. Aspect énergétique

Exercice 1 : Égalité initiale de $Ec$ et $Ep$

Un oscillateur harmonique de valeur moyenne $x=0$ , d’amplitude $C$ , de pulsation propre $\omega_0$ est tel qu’à la date $t=0$ $Ec=Ep=E_0$

Déterminer l’une des équations horaires compatibles avec ces données.

Corrigé :

On cherche une équation horaire du type
$x(t)=C\cos(\omega_0t+\varphi)$
donc $\stackrel{\cdot}{x}=-C\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)$
À $t=0$ on a donc
$\displaystyle{E_0=\frac12kC^2\cos^2\varphi}$
$\displaystyle{E_0=\frac12mC^2\omega_0^2\sin^2\varphi}$
Or $\displaystyle{\omega_0^2=\frac{k}{m}}$ donc
$\displaystyle{E_0=\frac12kC^2\cos^2\varphi}$
$\displaystyle{E_0=\frac12kC^2\sin^2\varphi}$
En divisant la seconde égalité par la première, on en déduit
$\tan^2\varphi=1$ donc $\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}}$
et par exemple, pour $n=0$
$\displaystyle{x(t)=C\cos\left(\omega_0t+\frac{\pi}{4}\right)}$

COURS DE PHYSIQUE-CHIMIE

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs profs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION EN PHYSIQUE-CHIMIE, JE TROUVE DES

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Évitez de prendre du retard dès les premiers mois de cours en vous entraînant régulièrement sur les cours en ligne et les exercices corrigés de physique en Maths Sup :

Corrigés : Oscillateur harmonique en MPSI, PCSI, PTSI

Corrigés – vibrations

1. Oscillateur élastique

COURS PARTICULIERS DE PHYSIQUE

Nous avons recruté pour vous les meilleurs profs de physique.

POUR M'AMÉLIORER EN PHYSIQUE, JE CHERCHE DES

2. Mouvement harmonique

3. Aspect énergétique

COURS DE PHYSIQUE-CHIMIE

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs profs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION EN PHYSIQUE-CHIMIE, JE TROUVE DES

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales