Chapitres Maths en ECS2
Cours Couples et n-uplets de variables aléatoires réelles ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Ce cours en ligne gratuits sur les couples et n-upets de variables aléatoires en ECS2 vous aidera à progresser en maths. Vous êtes encouragé à renforcer votre apprentissage en associant nos cours gratuits en ligne à nos cours de maths.
Méthodes – Couples et n-uplets de var dans le cas général
1. Loi d’un couple ou d’un n-uplet
Méthode 1 : Comment trouver la fonction de répartition d’un couple de v.a.r. ? d’un n-uplet
de v.a.r. ?
La fonction de répartition d’un couple
de v.a.r. est la fonction
définie par:
.
La fonction de répartition d’un n-uplet
de v.a.r. est la fonction
définie par:
.
Exemple : et
sont deux v.a.r. définies sur le même espace probabilisé,
est constante égale à
,
.
Trouver la fonction de répartition du couple .
Réponse : Pour et
réels,
si
, et si
,
, donc
.
Donc pour tout réel,
si
,
si
.
Méthode 2 : Comment trouver la loi d’un couple de v.a.r.? d’un n-uplet
de v.a.r. ?
La loi du couple , ou du n-uplet
, est donnée en général par sa fonction de répartition.
Si les v.a.r. sont discrètes, la loi de
est le plus souvent donnée par l’ensemble
des valeurs prises par le n-uplet
et, pour tout
de
,
.
Exemple : est une v.a.r. qui suit la loi exponentielle de paramètre
. Trouver la loi du couple
.
Méthode 3 : Comment trouver les lois de et
connaissant la loi du couple
?
Que dire de la loi de , ou de
quand
est un couple de v.a.r. ou
un n-uplet de v.a.r.?
Pour tous
réels,
et
.
La loi de
dépend de la loi du couple
: si
est une fonction continue de
dans
, et si
et
ont même loi,
et
ont même loi.
La loi de dépend de la loi du n-uplet
: si
est une fonction continue de
dans
et si
et
ont même loi,
et
ont même loi.
Exemple : On suppose que et
ont même loi, que
et
ont même loi. Alors,
et
ont-elles même loi ?
Réponse : Non, on n’a pas supposé que les couples et
ont même loi.
Si ,
,
,
suivent des lois de Bernouilli de paramètre
, si
et
sont indépendantes et si
,
suit une loi binomiale de paramètre
, donc prend la valeur
avec probabilité
, alors que
, et
prend la valeur
avec probabilité
.
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2. Couple de v.a.r. indépendantes, cas des v.a.r. à densité
Méthode 4 : Si est un couple de v.a.r., quand peut-on dire que
et
sont indépendantes ?
et
sont indépendantes si pour tous
et
de
,
, c’est-à-dire
.
On peut dire aussi: et
sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles
et
de
,
ou: et
sont indépendantes si et seulement si pour tout événement
de
et tout événement
de
,
.
Si et
sont discrètes,
et
sont indépendantes si et seulement si pour tout
de
et tout
de
,
Enfin, deux v.a.r. et
liées à deux expériences indépendantes sont indépendantes.
Exemple : Peut-on dire: et
sont indépendantes si et seulement si pour tous
et
réels, a-ton
?
Réponse : Oui !
Si et
sont indépendantes,
et
sont des événements indépendants; inversement, si ces deux événements sont indépendants, leurs complémentaires le sont aussi, donc
.
Méthode 5 : Si est un couple de v.a.r. à densité indépendantes, comment trouver la loi de
?
On étudie la convolée de et
:
.
Si est définie sur
et continue sauf peut-être en un nombre fini de points,
est une densité de
.
On peut remarquer que:
– si ou
est bornée,
est définie sur
.
– si existe,
.
– si n’appartient pas à
,
.
Exemple : suit la loi exponentielle de paramètre
,
la loi exponentielle de paramètre
,
et
sont indépendantes. Trouver la loi de
.
Méthode 6 : Quelles sont les lois à densité connues qui sont stables pour la somme ?
Si et
sont deux v.a.r. indépendantes,
si
et
suivent des lois
et
, alors
suit la loi
: la loi
est stable pour la somme.
si
et
suivent des lois normales de paramètres
et
, alors
suit la loi normale de paramètre
: la loi normale est stable pour la somme.
Exemple : Si et
sont indépendantes, et suivent des lois exponentielles de paramètres
et
, alors :
(i) suit la loi exponentielle de paramètre
?
(ii) suit la loi
de paramètre
?
(iii) suit la loi exponentielle de paramètre
?
Réponse : La bonne réponse est (ii).
suit la loi exponentielle de paramètre
, qui est la loi
,
suit la loi
.
3. n-uplets de v.a.r. indépendantes, suites de v.a.r. discrètes indépendantes
Méthode 7 : Quand peut-on dire que v.a.r.
,
sont mutuellement indépendantes ?
sont mutuellement indépendantes si pour tous réels
,
, c’est-à-dire
.
On peut dire aussi:
sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles
de
,
,
ou
sont indépendantes si et seulement si pour tous événements
de
,
.
Si
sont discrètes, elles sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tous
de
,
.
Exemple : Si ,
,
sont mutuellement indépendantes, peut-on être sûr que
et
sont indépendantes ?
Réponse : Oui !
et
.
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Méthode 8 : Quand peut-on dire qu’une suite infinie de v.a.r. est formée de v.a.r. mutuellement indépendantes ?
La suite est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout entier
,
,
sont mutuellement indépendantes.
Si est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes, pour tout entier
,
, et tous entiers
,
sont mutuellement indépendantes.
Exemple : Si est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes et si
et
sont deux entiers non nuls distincts,
et
sont indépendantes.
Méthode 9 : Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?
Si sont des v.a.r. mutuellement indépendantes (
), et si
, une v.a.r. de la forme
et une v.a.r. de la forme
sont indépendantes.
Exemple : Si sont mutuellement indépendantes,
et
, alors :
(i) sont indépendantes?
(ii) on ne peut rien dire, ce n’est pas l’énoncé du lemme des coalitions ?
Peut-on trouver une base de formée de vecteurs propres de
?
Réponse : Oui : Les ensembles d’indices et
ont une intersection vide.
Méthode 10 : Quelles propriétés de l’espérance s’étendent aux v.a.r. en général ?
Les propriétés de l’espérance déjà vues s’étendent au cas général:
Positivité: si
est une v.a.r. positive qui admet une espérance, alors
;
Croissance: si
et si
et
admettent une espérance,
;
Existence par domination: si
p.s. et si
admet une espérance,
admet une espérance et
;
Linéarité : si
et
admettent une espérance, pour tous réels
et
,
admet une espérance et
;
si admettent une espérance, si
sont des réels,
admet une espérance et
;
Si
sont indépendantes et admettent une espérance,
admet une espérance et
;
si sont mutuellement indépendantes et admettent une espérance,
admet une espérance et
.
Enfin, si et
sont discrètes et indépendantes, si
appartient à
et
,
.
Exemple : est une v.a.r. positive. On pose
.
Montrer que est définie sur
et que, si
et
sont indépendantes,
.
Méthode 11 : Quelles sont les propriétés de la variance et de la covariance dans le cas général ?
Les définitions de la variance et de la covariance s’étendent au cas général :
, et
, quand ces espérances existent.
On a: .
Les propriétés vues pour les v.a.r. discrètes s’étendent au cas général :
Formule de Koenig-Huygens pour la variance:
admet une variance si et seulement si
admet un moment d’ordre
et alors
;
Formule de Koenig-Huygens pour la covariance:
existe si et seulement si
admet une espérance et alors
;
Si
admet une variance,
, et
;
Inégalité de Cauchy-Schwarz: si
et
admettent une variance,
existe et
;
Si
et
sont indépendantes et admettent une variance,
;
Si
et
sont indépendantes et admettent une variance,
admet une variance et
;
si sont mutuellement indépendantes et admettent une variance,
admet une variance et
;
Si
et
admettent une variance,
en admet une et
;
si admettent une variance,
en admet une et
.
Exemple : On suppose que pour ,
, et que pour
,
.
Calculer la variance de .
Réponse : Le nombre de couples tels que
est
, donc
.
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Méthode 12 : Dans quels cas classiques peut-on connaître la loi d’une somme de v.a.r. indépendantes ?
Si sont des v.a.r. mutuellement indépendantes qui suivent
une loi de Bernouilli de paramètre
,
suit une loi binomiale de paramètre
;
des lois binomiales de paramètre
,
suit une loi binomiale de paramètre
;
des lois de Poisson de paramètres
,
suit une loi de Poisson de paramètre
;
des lois
,
suit une loi
;
des lois exponentielles de paramètre
,
suit une loi
;
des lois exponentielles de paramètre
,
suit une loi
.
des lois normales de paramètres
,
suit une loi normale de paramètre
.
Exemple : ,
,
sont mutuellement indépendantes et suivent respectivement la loi exponentielle de paramètre
, la loi gamma de paramètre
, la loi exponentielle de paramètre
. Trouver la loi de
.
Réponse : et
suivent la loi exponentielle de paramètre
;
,
et
sont mutuellement indépendantes, donc
suit la loi
.
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