Chapitres Maths en ECS2
Cours Couples et n-uplets de variables aléatoires réelles ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
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Méthodes – Couples et n-uplets de var dans le cas général
1. Loi d’un couple ou d’un n-uplet
Méthode 1 : Comment trouver la fonction de répartition d’un couple de v.a.r. ? d’un n-uplet de v.a.r. ?
La fonction de répartition d’un couple de v.a.r. est la fonction définie par:
.
La fonction de répartition d’un n-uplet de v.a.r. est la fonction définie par: .
Exemple : et sont deux v.a.r. définies sur le même espace probabilisé, est constante égale à , .
Trouver la fonction de répartition du couple .
Réponse : Pour et réels, si , et si , , donc .
Donc pour tout réel, si , si .
Méthode 2 : Comment trouver la loi d’un couple de v.a.r.? d’un n-uplet de v.a.r. ?
La loi du couple , ou du n-uplet , est donnée en général par sa fonction de répartition.
Si les v.a.r. sont discrètes, la loi de est le plus souvent donnée par l’ensemble des valeurs prises par le n-uplet et, pour tout de ,
.
Exemple : est une v.a.r. qui suit la loi exponentielle de paramètre . Trouver la loi du couple .
Méthode 3 : Comment trouver les lois de et connaissant la loi du couple ?
Que dire de la loi de , ou de quand est un couple de v.a.r. ou un n-uplet de v.a.r.?
Pour tous réels, et .
La loi de dépend de la loi du couple : si est une fonction continue de dans , et si et ont même loi, et ont même loi.
La loi de dépend de la loi du n-uplet : si est une fonction continue de dans et si et ont même loi, et ont même loi.
Exemple : On suppose que et ont même loi, que et ont même loi. Alors,
et ont-elles même loi ?
Réponse : Non, on n’a pas supposé que les couples et ont même loi.
Si , , , suivent des lois de Bernouilli de paramètre , si et sont indépendantes et si , suit une loi binomiale de paramètre , donc prend la valeur avec probabilité , alors que , et prend la valeur avec probabilité .
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2. Couple de v.a.r. indépendantes, cas des v.a.r. à densité
Méthode 4 : Si est un couple de v.a.r., quand peut-on dire que et sont indépendantes ?
et sont indépendantes si pour tous et de , , c’est-à-dire .
On peut dire aussi: et sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles et de ,
ou: et sont indépendantes si et seulement si pour tout événement de et tout événement de , .
Si et sont discrètes, et sont indépendantes si et seulement si pour tout de et tout de ,
Enfin, deux v.a.r. et liées à deux expériences indépendantes sont indépendantes.
Exemple : Peut-on dire: et sont indépendantes si et seulement si pour tous et réels, a-ton ?
Réponse : Oui !
Si et sont indépendantes, et sont des événements indépendants; inversement, si ces deux événements sont indépendants, leurs complémentaires le sont aussi, donc .
Méthode 5 : Si est un couple de v.a.r. à densité indépendantes, comment trouver la loi de ?
On étudie la convolée de et : .
Si est définie sur et continue sauf peut-être en un nombre fini de points, est une densité de .
On peut remarquer que:
– si ou est bornée, est définie sur .
– si existe, .
– si n’appartient pas à , .
Exemple : suit la loi exponentielle de paramètre , la loi exponentielle de paramètre , et sont indépendantes. Trouver la loi de .
Méthode 6 : Quelles sont les lois à densité connues qui sont stables pour la somme ?
Si et sont deux v.a.r. indépendantes,
si et suivent des lois et , alors suit la loi : la loi est stable pour la somme.
si et suivent des lois normales de paramètres et , alors suit la loi normale de paramètre : la loi normale est stable pour la somme.
Exemple : Si et sont indépendantes, et suivent des lois exponentielles de paramètres et , alors :
(i) suit la loi exponentielle de paramètre ?
(ii) suit la loi de paramètre ?
(iii) suit la loi exponentielle de paramètre ?
Réponse : La bonne réponse est (ii).
suit la loi exponentielle de paramètre , qui est la loi , suit la loi .
3. n-uplets de v.a.r. indépendantes, suites de v.a.r. discrètes indépendantes
Méthode 7 : Quand peut-on dire que v.a.r. , sont mutuellement indépendantes ?
sont mutuellement indépendantes si pour tous réels , , c’est-à-dire .
On peut dire aussi:
sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles de , ,
ou
sont indépendantes si et seulement si pour tous événements de , .
Si sont discrètes, elles sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tous de , .
Exemple : Si , , sont mutuellement indépendantes, peut-on être sûr que et sont indépendantes ?
Réponse : Oui !
et .
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Méthode 8 : Quand peut-on dire qu’une suite infinie de v.a.r. est formée de v.a.r. mutuellement indépendantes ?
La suite est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout entier , , sont mutuellement indépendantes.
Si est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes, pour tout entier , , et tous entiers , sont mutuellement indépendantes.
Exemple : Si est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes et si et sont deux entiers non nuls distincts, et sont indépendantes.
Méthode 9 : Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?
Si sont des v.a.r. mutuellement indépendantes (), et si , une v.a.r. de la forme et une v.a.r. de la forme sont indépendantes.
Exemple : Si sont mutuellement indépendantes, et , alors :
(i) sont indépendantes?
(ii) on ne peut rien dire, ce n’est pas l’énoncé du lemme des coalitions ?
Peut-on trouver une base de formée de vecteurs propres de ?
Réponse : Oui : Les ensembles d’indices et ont une intersection vide.
Méthode 10 : Quelles propriétés de l’espérance s’étendent aux v.a.r. en général ?
Les propriétés de l’espérance déjà vues s’étendent au cas général:
Positivité: si est une v.a.r. positive qui admet une espérance, alors ;
Croissance: si et si et admettent une espérance, ;
Existence par domination: si p.s. et si admet une espérance, admet une espérance et ;
Linéarité : si et admettent une espérance, pour tous réels et , admet une espérance et ;
si admettent une espérance, si sont des réels, admet une espérance et ;
Si sont indépendantes et admettent une espérance, admet une espérance et ;
si sont mutuellement indépendantes et admettent une espérance, admet une espérance et .
Enfin, si et sont discrètes et indépendantes, si appartient à et , .
Exemple : est une v.a.r. positive. On pose .
Montrer que est définie sur et que, si et sont indépendantes, .
Méthode 11 : Quelles sont les propriétés de la variance et de la covariance dans le cas général ?
Les définitions de la variance et de la covariance s’étendent au cas général :
, et , quand ces espérances existent.
On a: .
Les propriétés vues pour les v.a.r. discrètes s’étendent au cas général :
Formule de Koenig-Huygens pour la variance: admet une variance si et seulement si admet un moment d’ordre et alors ;
Formule de Koenig-Huygens pour la covariance: existe si et seulement si admet une espérance et alors ;
Si admet une variance, , et ;
Inégalité de Cauchy-Schwarz: si et admettent une variance, existe et ;
Si et sont indépendantes et admettent une variance, ;
Si et sont indépendantes et admettent une variance, admet une variance et ;
si sont mutuellement indépendantes et admettent une variance, admet une variance et ;
Si et admettent une variance, en admet une et ;
si admettent une variance, en admet une et
.
Exemple : On suppose que pour , , et que pour , .
Calculer la variance de .
Réponse : Le nombre de couples tels que est , donc .
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Méthode 12 : Dans quels cas classiques peut-on connaître la loi d’une somme de v.a.r. indépendantes ?
Si sont des v.a.r. mutuellement indépendantes qui suivent
une loi de Bernouilli de paramètre , suit une loi binomiale de paramètre ;
des lois binomiales de paramètre , suit une loi binomiale de paramètre ;
des lois de Poisson de paramètres , suit une loi de Poisson de paramètre ;
des lois , suit une loi ;
des lois exponentielles de paramètre , suit une loi ;
des lois exponentielles de paramètre , suit une loi .
des lois normales de paramètres , suit une loi normale de paramètre .
Exemple : , , sont mutuellement indépendantes et suivent respectivement la loi exponentielle de paramètre , la loi gamma de paramètre , la loi exponentielle de paramètre . Trouver la loi de .
Réponse : et suivent la loi exponentielle de paramètre ; , et sont mutuellement indépendantes, donc suit la loi .
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