Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Algèbre bilinéaire en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices : Produit Scalaire, matrices commutantes et base orthonormée

Exercice 1 : Calcul de $M^{k}$

Si $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ sont deux éléments de $\mathbb{R}^{3}$ , on pose:

$\varphi(x,y)$ = $x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}$

Question 1 :

Montrer que $\varphi$ est une forme bilinéaire sur $\mathbb{R}^{3}$ et trouver sa matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ .

Question 2 :

Est-ce que $\varphi$ est symétrique?

Question 3 :

Est-ce que $\varphi$ est un produit scalaire ?

Question 4 :

$f$ est l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice est $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ -1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}$ .

On pose, pour $x$ , $y$ , dans $\mathbb{R}^{3}$ , $\psi(x,y)=\varphi(x,f(y))$ .

Montrer que $\psi$ est une forme bilinéaire sur $\mathbb{R}^{3}$ et en donner la matrice.

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Exercice 2 : Produit scalaire

$\mathbb{R}^{n}$ , $n\geq2$ , est muni de la base canonique $(e_{1},\dots,e_{n})$ , et $f:[0,1]\to\mathbb{R}^{+*}$ est une application continue.

On définit l’application $\varphi:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ par:

$\varphi$ est bilinéaire, et, pour tous $i,j$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ , $\varphi(e_{i},e_{j})=\displaystyle \int_{0}^{1}e^{(i+j)t}f(t)dt$ .

Question 1 :

Donner, pour

$x$ ,

$y$ dans

$\mathbb{R}^{n}$ , l’expression de

$\varphi(x,y)$ à l’aide des coordonnées de

$x$ et

$y$ .

Question 2 :

Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire.

Exercice 3 : Calcul de produit scalaire

$E$ est l’ensemble des applications $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ continues sur $[0,+\infty[$ , telles que l’intégrale

$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (f(t))^{2}e^{-t}dt$ converge.

Question 1 :

Montrer que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ .

Question 2 :

Montrer que pour tout $k$ de $\mathbb{N}$ , la fonction $f_{k}$ qui à tout $t\geq0$ associe $t^{k}$ , appartient à $E$ .

Question 3 :

On pose, pour $f$ , $g$ dans $E$ , $<f,g>=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}dt$ .

Montrer que $<,>$ est un produit scalaire sur $E$ .

Question 4 :

Calculer, pour tous $k$ , $p$ de $\mathbb{N}$ , $\ <f_{k},f_{p}>$ .

Exercice 4 : Matrices commutantes

Pour $n\geq 2$ , on désigne par $E$ l’espace vectoriel $\mathbb{R}_{n}[X]$ des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ .

On donne $n+1$ réels $a_{0},\dots,a_{n}$ , non nécessairement distincts, et pour $P$ , $Q$ appartenant à $E$ , on pose

$<P,Q>$ = $\displaystyle \sum_{j=0}^{n} P^{(j)}(a_{j})Q^{(j)}(a_{j})$ .

Question 1 :

Montrer que $<,>$ est un produit scalaire sur $E$ .

Question 2 :

On prend dans la suite de l’exercice $a_{0}=\dots=a_{n}=0$ .

La famille $(1,X,\dots,X^{n})$ est-elle orthogonale pour ce produit scalaire?

Question 3 :

Donner une base de $E$ orthonormée pour ce produit scalaire, et les coordonnées d’un polynôme $P$ de $E$ dans cette base.

Ce résultat était-il prévisible?

Exercice 5 : Base orthonormée de $\mathbb{R}^{3}$

Pour $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ appartenant à $\mathbb{R}^{3}$ , on pose:

$\varphi(x,y)$
= $x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}+x_{1}y_{2}$
+ $x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}$

Question 1 :

Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^{3}$ .

Question 2 :

On notera $\varphi(x,y)=<x,y>$

La base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ est-elle orthogonale pour ce produit scalaire?

Construire une base orthonormée de $\mathbb{R}^{3}$ pour ce produit scalaire.

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Exercice 6 : Existence d’un produit scalaire

$\mathbb{R}^{3}$ est muni de la base canonique $\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ . On définit $\mathcal{B}'=(v_{1},v_{2},v_{3})$ par:

$v_{1}$ = $e_{1}+e_{3}$ ,
$v_{2}$ = $e_{2}-e_{3}$ ,
$v_{3}$ = $e_{1}+e_{2}+e_{3}$ .

Question 1 :

Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^{3}$ . Trouver la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$ .

Question 2 :

Montrer qu’il existe un unique produit scalaire $(\ |\ )$ sur $\mathbb{R}^{3}$ tel que $\mathcal{B}'$ soit une base orthonormée pour ce produit scalaire.