Chapitres Maths en ECS2
Exercices : Algèbre bilinéaire en ECS2
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Cours en ligne de Maths en ECS2
Exercices : Produit Scalaire, matrices commutantes et base orthonormée
Exercice 1 : Calcul de 
Si et
sont deux éléments de
, on pose:
=
Question 1 :
Montrer que est une forme bilinéaire sur
et trouver sa matrice
dans la base canonique de
.
Question 2 :
Est-ce que est symétrique?
Question 3 :
Est-ce que est un produit scalaire ?
Question 4 :
est l’endomorphisme de
dont la matrice est
.
On pose, pour ,
, dans
,
.
Montrer que est une forme bilinéaire sur
et en donner la matrice.
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Exercice 2 : Produit scalaire
,
, est muni de la base canonique
, et
est une application continue.
On définit l’application par:
est bilinéaire, et, pour tous
de
,
.
Question 1 :






Question 2 :
Montrer que est un produit scalaire.
Exercice 3 : Calcul de produit scalaire
est l’ensemble des applications
continues sur
, telles que l’intégrale
converge.
Question 1 :
Montrer que est un espace vectoriel sur
.
Question 2 :
Montrer que pour tout de
, la fonction
qui à tout
associe
, appartient à
.
Question 3 :
On pose, pour ,
dans
,
.
Montrer que est un produit scalaire sur
.
Question 4 :
Calculer, pour tous ,
de
,
.
Exercice 4 : Matrices commutantes
Pour , on désigne par
l’espace vectoriel
des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
.
On donne réels
, non nécessairement distincts, et pour
,
appartenant à
, on pose
=
.
Question 1 :
Montrer que est un produit scalaire sur
.
Question 2 :
On prend dans la suite de l’exercice .
La famille est-elle orthogonale pour ce produit scalaire?
Question 3 :
Donner une base de orthonormée pour ce produit scalaire, et les coordonnées d’un polynôme
de
dans cette base.
Ce résultat était-il prévisible?
Exercice 5 : Base orthonormée de 
Pour et
appartenant à
, on pose:
=
+
Question 1 :
Montrer que est un produit scalaire sur
.
Question 2 :
On notera
La base canonique de est-elle orthogonale pour ce produit scalaire?
Construire une base orthonormée de pour ce produit scalaire.
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Exercice 6 : Existence d’un produit scalaire
est muni de la base canonique
. On définit
par:
=
,
=
,
=
.
Question 1 :
Montrer que est une base de
. Trouver la matrice de passage
de
à
.
Question 2 :
Montrer qu’il existe un unique produit scalaire sur
tel que
soit une base orthonormée pour ce produit scalaire.
Exercice 7 : Suites et inégalité de Cauchy-Schwarz
Question 1 :
On donne deux suites réelles et
. Montrer que, pour tout
de
,
.
Question 2 :
Trouver toutes les suites réelles telles que, pour tout
de
,
.
Exercice 8 : Propriétés d’un espace vectoriel muni d’un produit scalaire
est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
Question 1 :
et
sont deux parties de
. Montrer que
.
Question 2 :
et
sont deux sous-espaces vectoriels de
. Montrer que
.
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