Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Calcul différentiel en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices – Calcul différentiel et fonctions de n-variables

Exercice 1 :

$f$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Question 1 :

On suppose que, pour tout $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ , $f(x,y)=f(y,x)$ . Montrer que $\partial_{1}(f)(x,y)=\partial_{2}(f)(y,x)$ .

Question 2 :

Réciproquement, on suppose que, pour tout $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ , $\partial_{1}(f)(x,y)=\partial_{2}(f)(y,x)$ . Montrer que, pour tout $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ ,
$f(x,y)=f(y,x)$ .

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Exercice 2 :

La fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ .

On suppose que, pour $k\in \mathbb{R}$ , la ligne de niveau $k$ de $f$ , notée $L_{k}(f)$ , a pour équation $y=u_{k}(x)$ , où $u_{k}$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur
$\mathbb{R}$ à valeurs réelles.

On pose, pour $t$ réel, $m=(t,u_{k}(t))$ et $g(t)=f(m)$ .

Question 1 :

Calculer, pour tout $t$ réel, $g'(t)$ , puis donner l’expression de $g'(t)$ à l’aide notamment des dérivées partielles de $f$ .
Quelle relation en déduit-on?

Question 2 :

On note $(D_{m})$ la tangente à $L_{k}(f)$ en $M$ . Quelle est l’équation de $(D_{m})$ ?

Question 3 :

Montrer que $\nabla(f)(m)$ est orthogonal à $(D_{m})$ .

Exercice 3 :

La fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ .

Question 1 :

On suppose que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\nabla(f)(x)=0$ . Montrer que $f$ est constante sur $\mathbb{R}^{n}$ .

Question 2 :

On suppose que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $\nabla(f)(x)=u$ , où $u\in \mathbb{R}^{n}$ . Montrer que $f$ est affine.

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Exercice 4 :

La fonction $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ et vérifie la propriété suivante: pour tout réel $t$ strictement positif et tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ , $f(tx)=tf(x)$ . Montrer que $f$ est linéaire.

Exercice 5 :

La fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ est définie par: $f(x,y)=\dfrac{xy}{(1+x^{2})(1+y^{2})}$ .

Question 1 :

Justifier que $f$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{2}$ . Trouver les points critiques de $f$ .

Question 2 :

Trouver les extremums de $f$ .

Exercice 6 :

On donne la fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ telle que $f(x,y)=x^{3}+2x^{2}y$ .

Question 1 :

Trouver les points critiques de $f$ . Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , représenter l’ensemble des points critiques.

Question 2 :

On appelle $(D)$ la droite d’équation $x+2y=0$ . Pour tout réel $b$ non nul, on note $B$ le point de coordonnées $(0,b)$ . Montrer que si $b\neq 0$ , pour tout point $M$ de $(D)$ , $\Vert \overrightarrow{BM}\Vert^{2} >\dfrac{b^{2}}{2}$ .

Question 3 :

Montrer que si $b\neq 0$ , la fonction $f$ admet en $(0,b)$ un extremum local; en préciser la nature. Cet extremum est-il global?

Question 4 :

Le point $(0,0)$ est-il un point où $f$ atteint un extremum ?

Ces exercices vous permettront de vous entraîner sur d’autres exercices que ceux donnés en cours. Les autres cours en ligne de maths en ECS2 proposent également divers exercices corrigés, comme les cours sur :

Exercices : Calcul différentiel en ECS2

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