Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices et corrigés sur les Machines Thermiques

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

Voici ci-dessous plusieurs exercices de physique de maths sup pour vous entraîner au mieux pour vos concours pour les écoles d’ingénieurs. Mais pas facile de suivre le rythme soutenu imposé par la prépa scientifique. C’est pourquoi, en cas de difficultés, vous pouvez recourir à des cours particuliers de physique. Ainsi, vous ne traînerez pas de lacunes au cours de l’année, ce qui serait rédhibitoire.

Exercice sur le cycle dans le diagramme $(T,S)$

a. Quel est le nom du cycle dont le graphe dans le diagramme température, entropie $(T,S)$ est un rectangle ?

b. Que représente l’aire de ce rectangle pour un cycle réversible ?

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Exercice sur un cycle à 3 transformations

0,1 mol de GP ( $\gamma=1,4$ ) suit un cycle

(AB) compression isochore

de $(P_A=1~\mathrm{bar},V_A=2,5~\mathrm{L})$

à $(P_B=5~\mathrm{bar},V_B)$

(BC) détente isotherme

(CA) refroidissement isobare.

a. Calculer $(P,V,T)$ dans les trois états.

b. Calculer $\Delta U$ , $W$ et $Q$ pour les trois transformations.

c. Calculer le rendement du moteur.

Exercice sur une centrale nucléaire

Un centrale nucléaire fonctionne selon un cycle de Carnot entre la source chaude à $T_C=840~\mathrm{K}$ et la source froide à

$T_F=280~\mathrm{K}$

Son rendement ne vaut que $80~\%$ du rendement de Carnot.

Elle fournit en une journée un travail égal à 1 TJ.

a. Pourquoi le rendement n’est-il pas égal au rendement de Carnot ?

b. Quelle énergie thermique doit-elle évacuer au niveau de la source froide ?

c. Pourquoi met-on les centrales nucléaires à proximité des fleuves ou des mers ?

Exercices sur un réfrigérateur à air

L’air est assimilé à un GP de rapport de capacités thermiques $\gamma=1,4$ et de masse molaire $M=29~\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$

Il subit une compression adiabatique réversible de

$A(P_A=1~\mathrm{bar},T_A=280~\mathrm{K})$ à $B(P_B=5~\mathrm{bar},T_B)$

puis un refroidissement isobare de $B$ à $C(P_C,T_C)$

par la suite une détente isenthalpique de $C$ à $D(P_D,T_D=275~\mathrm{K})$

et un réchauffement isobare de $D$ à $A$

a. Calculer les pressions et températures manquantes.

b. On travaille en énergies massiques. Calculer $q_{DA}$ et $w_{u,AB}$

c. En déduire l’efficacité du réfrigérateur.

d. On valorise $q_{BC}$ pour chauffer l’air de la maison. Définir une nouvelle efficacité de toute l’installation.

Correction de l’exercice sur le cycle dans le diagramme $(T,S)$

a. Un rectangle représente un cycle formé de deux isothermes et de deux isentropiques : c’est donc un cycle de Carnot.

b. L’aire sous une branche d’un cycle tracé dans le diagramme $(T,S)$ est

$\int TdS$

Si toutes les transformations sont réversibles, l’entropie créée est nulle, la transformation est quasi statique donc la température du système est toujours égale à celle du thermostat au contact et

$\displaystyle{dS=\delta S_{\mathrm{ech}}=\frac{\delta Q}{T}}$

On en déduit que

$\int TdS=\int \delta Q=Q$

L’aire du cycle est donc égal à la valeur absolue de l’énergie thermique échangée par le système pendant un cycle.

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Correction de l’exercice sur un cycle à 3 transformations

a. Grâce à la loi des GP

$T_A=301~\mathrm{K}$

(AB) isochore donc $V_B=2,5~\mathrm{L}$

Grâce à la loi des GP

$T_B=1503~\mathrm{K}$

(BC) isotherme donc

$T_C=1503~\mathrm{K}$

(CA) isobare donc

$P_C=1~\mathrm{bar}$

Grâce à la loi des GP

$V_C=12,5~\mathrm{L}$

b. On calcule les variations d’énergie interne par la formule

$\displaystyle{\Delta U=\frac{nR}{\gamma-1}\Delta T}$

$\Delta U_{AB}=2498~\mathrm{J}$

$\Delta U_{BC}=0$

$\Delta U_{AB}=-2498~\mathrm{J}$

c. On calcule le travail en intégrant

$W=\int-PdV$

$W_{AB}=0$

$\displaystyle{W_{BC}=-nRT_B\ln\frac{V_C}{V_B}=-2011~\mathrm{J}}$

$\displaystyle{W_{CA}=-P_C(V_A-V_C)=1000~\mathrm{J}}$

On déduit $Q$ du premier principe thermodynamique

$Q=\Delta U-W$

$Q_{AB}=2498~\mathrm{J}$

$Q_{BC}=2011~\mathrm{J}$

$Q_{CA}=-3498~\mathrm{J}$

c. L’énergie utile est le travail sur la totalité du cycle, il est bien négatif car c’est un moteur

$W=-1011~\mathrm{J}$

L’énergie coûteuse est la somme des énergies thermiques reçues (elles correspondent à la combustion interne (moteur à essence, gazole, kérosène, …) ou externe (moteur de locomotive à charbon)

$Q_p=Q_{AB}+Q_{BC}=4509~\mathrm{J}$

Le rendement vaut donc

$\displaystyle{\rho=\frac{-W}{Q_p}=0,224}$

Correction de l’exercice sur une centrale nucléaire

a. Il y a des irréversibilités.

b. Le premier principe sur le cycle donne

$W+Q_C+Q_F=0$

Par définition du rendement

$\displaystyle{\rho=\frac{-W}{Q_C}=0,8\left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)}$

donc $-W=0,533Q_C$

En réinjectant dans le premier principe, on obtient

$\displaystyle{Q_F=-W-Q_C=-\left(1+\frac1{0,533}\right)W}$

$Q_F=-2,9\cdot 10^{12}~\mathrm{J}$

c. Pour évacuer cette énergie thermique, il faut un grand débit d’un fluide avec une grande capacité thermique massique, ce qui est le cas de l’eau.

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Correction de l’exercice sur un réfrigérateur à air

a. On applique la loi de Laplace entre $A$ et $B$

$\displaystyle{T_B=T_A\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}$

$T_B=443~\mathrm{K}$

(BC) est isobare donc $P_C=P_B=5~\mathrm{bar}$

(CD) est isenthalpique donc isotherme pour ce GP donc $T_C=T_D=275~\mathrm{K}$

(DA) est isobare donc $P_D=P_A=1~\mathrm{bar}$

b. On applique le premier principe industriel.

Entre D et A, l’échauffement isobare se fait dans un tuyau sans pièce mobile donc

$\Delta h_{DA}=0+q_{DA}$ soit

$c_P(T_A-T_D)=q_{DA}$

$c_P$ est la capacité thermique massique à pression constante

$\displaystyle{c_P=\frac{C_P}{m}=\frac{\gamma nR}{m(\gamma-1)}}$

$\displaystyle{c_P=\frac{C_P}{m}=\frac{\gamma R}{M(\gamma-1)}}$

$c_P=1003,4~\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}$

d’où $q_{DA}=5017~\mathrm{J\cdot kg^{-1}}$

Entre A et B, la compression est adiabatique réversible donc

$\Delta h_{AB}=w_{u,AB}+0$

donc $w_{u,AB}=c_P(T_B-T_A)=164~\mathrm{kJ}$

c. L’efficacité vaut donc

$\displaystyle{\eta=\frac{q_{DA}}{w_{u,AB}}=\frac{280-275}{443-280}=0,03}$

d. L’énergie thermique reçue par l’air de la pièce, donc l’opposé de celle cédée par le fluide, devient une énergie utile

$\displaystyle{\eta'=\frac{q_{DA}-q_{BC}}{w_{u,AB}}}$

$\displaystyle{\eta'=\frac{(280-275)+(443-280)}{443-280}=1,03}$

Elle est supérieure à 1, ce qui est tout-à-fait possible pour une efficacité.

La physique ayant un coefficient très important aux concours scientifiques, il est impensable de vouloir faire l’impasse dessus en prépa Maths Sup. Voici quelques idées de chapitres à bien maîtriser pour réussir en Maths Sup :

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Exercice sur le cycle dans le diagramme $(T,S)$

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Correction de l’exercice sur le cycle dans le diagramme $(T,S)$

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Correction de l’exercice sur une centrale nucléaire

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