Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices et corrigés sur la mécanique du point en maths sup

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de physique en Maths Sup

Nos exercices en ligne couvrant l’ensemble du programme de maths sup en physique sont conçus pour vous permettre de vous entraîner sur tous les chapitres, y compris la mécanique du point. Poursuivez vos efforts dans ce domaine afin d’être parfaitement préparé lors des concours. Si vous rencontrez des difficultés lors de la révision de cet exercice, envisagez de prendre des cours de physique chimie à domicile. Nos tarifs avantageux ne comprennent pas les frais de déplacement du professeur dans le prix de l’heure de cours, vous offrant ainsi un rapport qualité-prix optimal.

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Exercice de cinématique en Maths Sup

Dans le dispositif suivant, une corde inextensible de longueur $L_0$ est accrochée en A et le point $M$ se déplace de telle sorte que la corde s’enroule sur le poteau de rayon $R$ et le tronçon de corde libre PM reste tendu.

On note $L(t)$ la longueur de ce tronçon à la date $t$ et $\theta(t)$ l’angle qui repère $P$ .

1. Exprimer $L(t)$ en fonction de $R$ , $\theta(t)$ et $L_0$

2. Déterminer $\vec{OM}$ dans la base polaire

3. Déterminer $\vec{v}$ dans la base polaire.

Exercices sur la Loi de QDM en Maths Sup

1. Pendule simple sans frottement

Un pendule simple est formé d’une masse $m$ au bout d’un fil inextensible de longueur $L$ accroché en $O$ fixe, et évoluant dans un plan vertical sans frottement.

On repère l’angle $\theta$ entre la verticale et le fil. On suppose que $\theta$ est un petit angle.

1. À $t=0$ , $\theta=\theta_0$ et la vitesse est nulle. Déterminer à quelle date le pendule passera par $\theta=0$ la première fois.

2. À cette date, quelle est la tension du fil ?

2. Pendule simple avec frottement

Un pendule simple est formé d’une masse $m$ au bout d’un fil inextensible de longueur $L$ accroché en $O$ fixe, et évoluant dans un plan vertical en subissant une force de frottement $\vec{f}=-\alpha\vec{v}$

On repère l’angle $\theta$ entre la verticale et le fil. On suppose que $\theta$ est un petit angle.

À quelle condition sur les paramètres le mouvement sera-t-il oscillatoire ?

Exercice sur le portrait de phase en Maths Sup

Portrait de phase d’une balle qui rebondit

On lâche une balle de masse $m$ de l’altitude $H$ sans vitesse initiale. On note $(O,z)$ l’axe vertical dirigé vers le haut.

1. Établir les expressions de $\stackrel{\cdot}{z}(t)$ et de $z(t)$ tant que la balle de touche pas le sol.

2. Déterminer la vitesse $v_1$ de la balle juste avant qu’elle ne touche le sol.

3. Après le rebond, la balle repart vers le haut avec une vitesse $v_2=\alpha v_1$ avec $0<\alpha<1$ . Déterminer la hauteur $H_2$ jusqu’à laquelle la balle monte.

4. Tracer l’allure du portrait de phase.

Correction de l’exercice sur la cinématique

1. La longueur enroulée vaut $R\theta(t)$ donc

$L(t)=L_0-R\theta(t)$

2. D’après Chasles

$\vec{OM}=\vec{OP}+\vec{PM}$

$\vec{OM}=R\vec{u}_r+L(t)\vec{u}_{\theta}$

3. En dérivant

$\vec{v}(t)=R\stackrel{\cdot}{\theta}\vec{u}_{\theta}+L'(t)\vec{u}_{\theta}-L(t)\stackrel{\cdot}{\theta}\vec{u}_r$

Or $L'(t)=-R\stackrel{\cdot}{\theta}$ donc

$\vec{v}=-(L_0-R\theta(t))\stackrel{\cdot}{\theta}\vec{u}_r$

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Correction des exercices sur la loi de QDM

1. Correction exercice pendule simple sans frottement

1. Le PFD donne

* Sur $\vec{u}_r$

$mg\cos\theta-T=-mL\stackrel{\cdot}{\theta}^2$

donc $T=mg\cos\theta+mL\stackrel{\cdot}{\theta}^2$

* Sur $\vec{u}-{\theta}$

$-mg\sin\theta=mL\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}$

donc $\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}+\frac{g}{L}\sin\theta=0}$

et dans l’approximation des petits angles $\sin\theta\simeq\theta$ donc

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}+\frac{g}{L}\theta=0}$

C’est une équation d’oscillateur harmonique.

On pose $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}}$ et

$\theta(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$

$\stackrel{\cdot}{\theta}(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)$

Les CI donnent

$\theta_0=A$ et $0=B\omega$ donc

$\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t)$

On a $\theta=0$ lorsque $\cos(\omega t)=0$ ce qui est le cas la première fois pour

$\omega t=\frac{\pi}{2}$

soit $\displaystyle{t=\frac{\pi}{2\omega}}$

2. À cette date, $\sin(\omega t)=1$ donc

$\displaystyle{T=mg\cos 0+mL\left(\theta_0\omega\right)^2}$

$\displaystyle{T=mg\left[1+\theta_0^2\right]}$

2. Correction exercice pendule simple avec frottement

Le PFD en projection sur $\vec{u}-{\theta}$ donne

$-mg\sin\theta-\alpha R\stackrel{\cdot}{\theta}=mL\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}$

donc $\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}+\frac{\alpha R}{L}\stackrel{\cdot}{\theta}+\frac{g}{L}\sin\theta=0}$

et dans l’approximation des petits angles $\sin\theta\simeq\theta$ donc

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}+\frac{\alpha R}{L}\stackrel{\cdot}{\theta}+\frac{g}{L}\theta=0}$

C’est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants sans second membre. Le régime dépend du signe du discriminant de l’équation caractéristique. On aura des oscillations si on est en régime pseudo-périodique donc si $\Delta <0$ donc si

$\displaystyle{\frac{\alpha^2 R^2}{L^2}<\frac{4g}{L}}$

Correction des exercices de portrait de phase

1. $\stackrel{\cdot\cdot}{z}=-g$

$\stackrel{z}=-gt$

$z(t)=-\frac12gt^2+H$

2. La balle touche le sol quand $z=0$ donc quand

$\displaystyle{t=\sqrt{\frac{2H}{g}}}$

À cette date

$|v_1|=\sqrt{2gH}$

3. En inversant la relation précédente,

$\displaystyle{H_2=\frac{v_1^2}{2g}}$

4. On remarque que dans la première phase du mouvement, on a la relation

$\displaystyle{z=-\frac{1}{2g}\stackrel{\cdot}{z}^2+H}$

Cette relation du second degré prouve que le portrait de phase est parabolique. Il en est de même pour toutes les phases, l’altitude maximale atteinte décroissant à chaque rebond. Voici donc l’allure du portrait de phase, qui présente des discontinuités de vitesse (changement du signe de $\stackrel{\cdot}{z}$ à chaque rebond).

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Exercice de cinématique en Maths Sup

Exercices sur la Loi de QDM en Maths Sup

1. Pendule simple sans frottement

2. Pendule simple avec frottement

Exercice sur le portrait de phase en Maths Sup

Portrait de phase d’une balle qui rebondit

Correction de l’exercice sur la cinématique

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1. Correction exercice pendule simple sans frottement

2. Correction exercice pendule simple avec frottement

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