Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices et corrigés sur les Particules Chargées en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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SKU: Cours Particuliers
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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

La physique est une matière qu’il faut impérativement maîtriser pour réussir sa prépa scientifique et obtenir l’école d’ingénieurs de ses rêves. En effet, comme vous pouvez le constater sur notre simulateur d’admissibilité pour les prépas scientifiques, c’est une matière qui pèse dans la réussite des concours, tant son coefficient pour les prépas scientifique est élevé. Ces exercices sur les particules chargées en maths sup ne seront donc pas de trop pour vous entraîner.

De plus, ces cours particuliers physique chimie mettent l’accent sur le développement d’une méthodologie adaptée à la physique-chimie et au niveau requis pour les concours. Les enseignants vous guident dans la manière d’aborder les exercices spécifiques à cette discipline, vous enseignant des techniques de résolution et vous familiarisant avec les stratégies efficaces pour répondre aux questions des concours.

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QCM sur les Particules Chargées en Maths Sup

Question sur la Force de Coulomb en Maths Sup

On place une particule de charge $Q>0$ en A et une de charge $-Q$ en B.

En I, milieu du segment AB, le champ électrique

a. est nul

b. est dans le sens de $\vec{AB}$

c. est dans le sens de $\vec{BA}$

d. est orthogonale à $\vec{AB}$

Question sur la Force de Lorentz en Maths Sup

Le tesla peut aussi s’exprimer en

a. $\mathrm{V\cdot m^{-1}}$

b. $\mathrm{N\cdot C^{-1}}$

c. $\mathrm{N\cdot C^{-1}\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}$

d. $\mathrm{N\cdot C^{-1}\cdot m^{-1}\cdot s}$

Question sur les Particules dans champ E et/ou B

Une particule chargée soumise à un champ électrique et à aucune autre force a une trajectoire

a. toujours circulaire

b. toujours parabolique ou linéaire

c. qui dépend du champ $\vec{E}$

Correction du QCM sur les particules chargées en Maths Sup

Correction du QCM sur la force de Coulomb en Maths Sup

Réponse B, dans le sens de $\vec{AB}$ : $\vec{E}$ fuit les charges positives et est attiré par les charges négatives.

Correction du QCM sur la force de Lorentz en Maths Sup

Réponse D, $\mathrm{N\cdot C^{-1}\cdot m^{-1}\cdot s}$ : cela résulte de $\vec{f}=q\vec{v}\wedge\vec{B}$

Correction du QCM sur les particules dans champ E et/ou B

Réponse C, dépend du champ $\vec{E}$ : la trajectoire n’est parabolique ou rectiligne que si $\vec{E}$ est uniforme.

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Exercices sur les particules chargées en Maths Sup

Exercice sur la force de Coulomb en Maths Sup

Deux protons de charge $+e$ et de masse $m$ sont placés en $x=-a$ et en $x=+a$ , sans vitesse initiale.

1. Établir l’équation différentielle vérifiée par $x$ , abscisse du proton placé en $+a$

2. On note $t_2$ la date à laquelle la distance entre les deux protons est doublée.

En multipliant l’équation différentielle obtenue au 1 par $\stackrel{\cdot}{x}$ , donner une intégrale première de l’équation.

En déduire l’expression de $t_2$ par une intégrale sur $x$ qu’on ne cherchera pas à calculer.

3. Lorsque la distance entre les deux protons est doublée, quelle est la vitesse $v_2$ des protons ?

Exercice sur la force de Lorentz en Maths Sup

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ , de position initiale $O$ origine du repère cartésien et de vitesse initiale $\vec{v}_0=v_0\vec{u}_x$ est soumise à un unique champ électrique uniforme $\vec{E}$

1. À quelle condition la particule a-t-elle un mouvement rectiligne ?

2. Quelle est la nature du mouvement dans ce cas ?

Exercice sur les particules dans champ E et/ou B

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ est injectée en $O$ avec une vitesse $\vec{v}=v_0\vec{u}_x+v_1\vec{u}_z$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}=B\vec{u}_z$

1. Établir le système d’équations différentielles vérifié par $x$ , $y$ et $z$

2. En déduire $z(t)$ et montrer que $x(t)$ et $y(t)$ sont des fonctions sinusoïdales du temps.

3. Conclure sur la nature de la trajectoire.

Correction des exercices sur les particules chargées en Maths Sup

Correction de l’exercice sur la force de Coulomb en Maths Sup

1. Le PFD s’écrit symétriquement sur les deux protons.
À tout instant, leurs abscisses sont opposées.

Sur le proton d’abscisse positive, on a

$\displaystyle{m\stackrel{\cdot\cdot}{x}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(2x)^2}}$

soit $\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}=\frac{\beta}{x^2}}$

avec $\displaystyle{\beta=\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0 m}}$

2. En multipliant de chaque côté par $\stackrel{\cdot}{x}$ on obtient

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}\stackrel{\cdot}{x}=\frac{\beta\stackrel{\cdot}{x}}{x^2}}$

soit en primitivant

$\displaystyle{\frac{\stackrel{\cdot}{x}^2}{2}=-\frac{2\beta}{x}+\frac{2\beta}{a}}$

donc $\displaystyle{\frac{dx}{dt}=\sqrt{-\frac{2\beta}{x}+\frac{2\beta}{a}}}$

donc $\displaystyle{\frac{dx}{\sqrt{-\frac{2\beta}{x}+\frac{2\beta}{a}}}= dt}$

donc $\displaystyle{\int_a^{2a}\frac{dx}{\sqrt{-\frac{2\beta}{x}+\frac{2\beta}{a}}}= t_2}$

3. En repartant de la relation de la question 2 (qui s’assimile à la conservation de l’énergie)

$\displaystyle{v_2=\sqrt{-\frac{2\beta}{2a}+\frac{2\beta}{a}}=\sqrt{\frac{\beta}{a}}}$

Correction de l’exercice sur la force de Lorentz

1. Notons $E_x$ , $E_y$ et $E_z$ les trois composantes du champ électrique sur les trois axes.

Le PFD donne

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}=\frac{qE_x}{m}}$

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{y}=\frac{qE_y}{m}}$

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{z}=\frac{qE_z}{m}}$

La vitesse initiale étant selon $\vec{u}_x$ , le mouvement est rectiligne s’il est selon cet axe, donc si les accélérations sur les deux autres axes sont nulles, donc si $E_y=E_z=0$ donc si $\vec{E}$ est selon $\vec{u}_x$

2. Le champ étant uniforme, on a une accélération constante donc un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Correction de l’exercice sur les particules dans champ E et/ou B

1. Le vecteur vitesse est

$\vec{v}=\stackrel{\cdot}{x}\vec{u}_x+ \stackrel{\cdot}{y}\vec{u}_y+\stackrel{\cdot}{z}\vec{u}_z$

On en déduit les composantes de la force de Lorentz magnétique et on applique le PFD, d’où on tire

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}=\frac{qB}{m}\stackrel{\cdot}{y}}$

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{y}=-\frac{qB}{m}\stackrel{\cdot}{x}}$

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{z}=0}$

2. En intégrant la troisième équation

$\stackrel{\cdot}{z}=v_1$

et $z(t)=v_1t$

En intégrant la deuxième et en tenant compte des conditions initiales

$\displaystyle{\stackrel{\cdot}{y}=-\frac{qB}{m}x}$

et en injectant dans la première

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{x}+\frac{q^2B^2}{m^2}x=0}$

C’est une équation d’oscillateur harmonique de pulsation propre

$\displaystyle{\omega_0=\frac{qB}{m}}$

qui s’intègre en

$\displaystyle{x(t)=\frac{mv_0}{qB}\sin(\omega_0t)}$

On en déduit

$\displaystyle{y(t)=\frac{mv_0}{qB}\left[\cos(\omega_0t)-1\right]}$

3. $x$ et $y$ décrivent un cercle de rayon

$\displaystyle{R=\frac{mv_0}{qB}}$

et la particule se déplace à la vitesse $v_1$ sur l’axe $z$

On retrouve bien un mouvement hélicoïdal comme dit dans le cours.

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