Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Réduction des endomorphismes en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices – Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres

Dans ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$ , $n \geq 1$ , sur $\mathbb{K}$ , ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ),
$\mathcal{B}=(e_{1},...,e_{n})$ est une base de $E$ , $f$ est un endomorphisme de $E$ , $M$ est la matrice dans la base $\mathcal{B}$ de $f$ .

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Exercice 1 : Valeurs propres et vecteurs propres

$A=\begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 3& -2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 3& 2& -2 \\ -1& 0& 2 \\ 1& 2& 0\end{pmatrix}$ .

Question 1 :

Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$ .

Question 2 :

Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $B$ .

Exercice 2 : Valeurs propres et sous-espaces propres

$A=\begin{pmatrix} 2& 0& 4\\ 3& -4& 12\\ 1& -2& 5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -4& -4& 2\\ 3& 0& 1\\ 2& 1& 0\end{pmatrix}$

Calculer $AB$ . En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de $A$ .

Exercice 3 : Valeurs propres et sous-espaces propres

$A$ est une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Question 1 :

$A$ et $^{t}A$ ont-elles les mêmes valeurs propres ? Si oui, montrez-le.

Question 2 :

$A$ et $B$ sont deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

$AB$ et $BA$ ont-elles les mêmes valeurs propres. Si oui, montrez le.

Exercice 4 : Familles libres et suites

$A$ est une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}$ , $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C})$ qui admet $n$ valeurs propres distinctes.

La famille $(I, A,\dots, A^{n-1})$ est-elle libre ? Si oui, montrez-le.

Exercice 5 : Suites

Deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont définies par la donnée de leurs premiers termes $u_{0}$ et $v_{0}$ et les relations:

$\forall n\in \mathbb{N}$ ,

$u_{n+1}=-6u_{n}+11v_{n}, v_{n+1}=-3u_{n}+8v_{n}$

Calculer, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n, u_{0}, v_{0}$ .

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Exercice 6 : Vecteur propre associé à une valeur propre

$E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ de dimension $n$ , $n\geq 2$ , et $f\in \mathcal{L}(E)$ , $f\neq 0$ .

Question 1 :

Montrer qu’un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle de $f$ appartient à $\textrm{Im}(f)$ .

On suppose dans toute la suite que $f$ est de rang $1$ .

Question 2 :

On suppose $f^{2}=0$ .

Trouver les valeurs propres de $f$ .

Question 3 :

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) $f^{2} \neq 0$ ;

(ii) $E=\textrm{Ker}(f)\oplus \textrm{Im}(f)$ ;

(iii) $f$ est diagonalisable.

Exercice 7 : Valeurs propres et sous-espaces propres de $A(^{t}B)$

$A$ et $B$ sont deux matrices non nulles de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ .

Trouver les valeurs et les sous-espaces propres de $A(^{t}B)$ .

N’hésitez pas à vous rendre aussi sur les autres chapitres de maths au programme d’ECS2 pour compléter vos révisions :

Exercices : Réduction des endomorphismes en ECS2

Exercices – Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres

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