Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours sur l’induction en MPSI, PCSI et PTSI

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

Si vous souhaitez intégrer Polytechnique, Centrale ou une des autres des meilleures écoles d’ingénieurs post-prépa, il vous faudra assurer une maîtrise totale des cours de physique, dont celui sur l’induction, n’hésitez à prendre des cours en physique chimie. En effet, la Physique, comme d’ailleurs les Maths, ont un coefficient particulièrement élevé aux concours des écoles d’ingénieurs. Vous pouvez le constater sur notre simulateur d’admissibilité.

A. Champ magnétique en Maths Sup

1. Champ magnétique en Maths Sup

$\bullet$ Le champ magnétique est un champ vectoriel : en tout point $M$ de l’espace et à toute date $t$ , on peut définir le champ $\vec{B}(M,t)$ dont la direction et le sens sont ceux d’une boussole placée en $M$ et dont la norme est exprimée en teslas (T).

$\bullet$ Si le champ magnétique est indépendant du temps, on parle de champ magnétostatique.

$\bullet$ Le champ magnétostatique est créé par les distributions de courant électrique, il agit sur les charges en mouvement par la force de Lorentz

$\vec{f}_{\mathrm{Lorentz}}=q\vec{v}\wedge\vec{B}$

$\bullet$ Dans un aimant permanent, le champ magnétique peut être interprété, en physique classique, comme le champ créé par des spires de courant microscopiques, dont les axes sont presque tous colinéaires. Dans un aimant permanent, le champ $\vec{B}$ sort du pôle nord et entre par le pôle sud.

$\bullet$ Le champ magnétique vérifie le théorème de superposition : le champ créé par deux distributions ou aimants est la somme des champs créés par chaque distribution ou aimant.

2. Champ créé par une bobine

Un solénoïde est un bobinage cylindrique, de longueur très grande devant son rayon, le long duquel un très long fil est enroulé.

Il est caractérisé par le nombre de spires par mètre $n$ (en $\mathrm{m^{-1}}$ ), égal au nombre total de tours divisé par la longueur du cylindre.

Lorsque le fil est parcouru par un courant d’intensité $i$ , le champ magnétique est nul à l’extérieur, et à peu près uniforme et axial à l’intérieur du solénoïde

$\vec{B}=\mu_0ni\vec{u}_z$

où $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}~\mathrm{H\cdot m^{-1}}$ est la perméabilité magnétique du vide.

Le sens du champ magnétique est donné par la règle du tire-bouchon, c’est celui dans lequel on progresse quand on fait tourner le cylindre dans le sens de $i$

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B. Force de Laplace en Maths Sup

1. Expression de la Force de Laplace en Maths Sup

Un conducteur filiforme et rectiligne de longueur $L$ est parcouru par un courant d’intensité $i$ .

Lorsqu’il est plongé dans un champ magnétique $\vec{B}$ uniforme sur le conducteur, chaque électron qui se déplace (pour former le courant électrique) subit une force de Lorentz.

La résultante des forces de Lorentz forme, pour le conducteur filiforme, la force de Laplace

$\vec{F}_L=i\vec{L}\wedge\vec{B}$

où $\vec{L}$ est le vecteur dans la direction du conducteur et dans le sens de $i$

2. Force de Laplace élémentaire en Maths Sup

Lorsque le champ $\vec{B}$ n’est pas uniforme, lorsque le conducteur n’est pas rectiligne, ou lorsqu’on veut calculer le moment des forces de Laplace, on procède à une intégrale des forces de Laplace élémentaires.

Sur un tronçon de conducteur filiforme de longueur $dL$ , la force de Laplace élémentaire a pour expression

$d\vec{F}_L=id\vec{L}\wedge\vec{B}$

3. Moment des forces de Laplace sur une spire plane

Une spire plane est formée d’un conducteur filiforme formant un lacet (ou boucle) plan(e), parcourue par un courant d’intensité $i$

Le moment dipolaire de la spire est

$\vec{m}=i\vec{S}$

où $\vec{S}$ est le vecteur surface, orthogonal au plan de la spire, orienté dans le sens donné par la règle du tire-bouchon, de norme égale à la surface $S$ délimitée par la spire.

Lorsqu’une spire est plongée dans un champ magnétique uniforme, on démontre que les forces de Laplace ont une somme nulle, et un moment résultant autour d’un axe de vecteur unitaire directeur $\vec{u}_{\Delta}$

$\mathcal{M}_{\Delta,L}=\vec{m}\wedge\vec{B}$

C. Induction : circuit fixe dans un champ variable

1. Flux du champ magnétique à travers un circuit filiforme

Un circuit filiforme forme un lacet $\mathcal{C}$ orienté et est soumis à un champ magnétique $\vec{B}$

On tend une surface $S$ sur le lacet $\mathcal{C}$ et en tout point de $S$ , on définit un vecteur surface élémentaire $d\vec{S}$ orthogonal à $S$ , orienté selon la règle du tire-bouchon, de norme égale à la surface élémentaire autour du point.

Le flux de $\vec{B}$ à travers $\mathcal{C}$ est

$\Phi=\iint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$

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2. Loi de Faraday en Maths Sup

Lorsque le circuit est traversé par un flux magnétique qui varie au cours du temps, il apparaît une force électromotrice d’induction donnée par la loi de Faraday

$\displaystyle{e=-\frac{d\Phi}{dt}}$

On dessine le circuit électrique équivalent du circuit en prenant en l’orientant en prenant $i$ dans le sens de l’orientation du circuit, en prenant en compte les dipôles qu’il contient (résistance en particulier) et en ajoutant un générateur de tension $e$ qui pousse dans le sens de $i$ (convention générateur).

3. Calcul d’inductance propre en Maths Sup

Lorsqu’un circuit filiforme est parcouru par un courant d’intensité $i$ variable

$\bullet$ Il crée un champ magnétique propre $\vec{B}_P$

$\bullet$ ce champ magnétique traverse le circuit lui-même, on peut donc exprimer le flux propre

$\Phi_P=\iint\vec{B}_P\cdot d\vec{S}$

On démontre que ce flux est proportionnel à $i$ et on pose

$\Phi_P=Li$

où $L$ est l’inductance propre du circuit.

* La loi de Faraday donne l’expression de la force électromotrice d’autoinduction

$\displaystyle{e=-\frac{d\Phi_P}{dt}=-L\frac{di}{dt}}$

en convention générateur donc en convention récepteur

$\displaystyle{u=L\frac{di}{dt}}$

4. Mutuelle inductance en Maths Sup

Deux circuits sont placés côte à côte. Le circuit 1 parcouru par un courant d’intensité $i_1$ crée un champ magnétique $\vec{B}_1$ , le circuit 2 parcouru par un courant d’intensité $i_2$ crée un champ magnétique $\vec{B}_2$ .

$\bullet$ Le flux de $\vec{B}_1$ à travers le circuit 1 est

$\Phi_{11}=L_1i_1$

$\bullet$ Le flux de $\vec{B}_2$ à travers le circuit 1 est

$\Phi_{21}=Mi_2$

$\bullet$ Le flux de $\vec{B}_1$ à travers le circuit 2 est

$\Phi_{12}=Mi_1$

$\bullet$ Le flux de $\vec{B}_2$ à travers le circuit 2 est

$\Phi_{22}=L_2i_2$

$\bullet$ $L_1$ et $L_2$ sont les inductances propres des circuits 1 et 2 (voir paragraphe précédent)

$\bullet$ $M$ est la mutuelle inductance entre les deux circuits.

$\bullet$ Électriquement parlant, on dit que les circuits sont couplés par inductance mutuelle.

On a alors

$\displaystyle{u_1=L_1\frac{di_1}{dt}+M\frac{di_2}{dt}}$

$\displaystyle{u_2=L_2\frac{di_2}{dt}+M\frac{di_1}{dt}}$

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D. Induction : circuit mobile dans champ stationnaire

Méthode : étude d’un système électromécanique

L’exemple typique est l’étude de la tige sur les rails de Laplace.

1. On définit qualitativement la généalogie des phénomènes : quelle est l’origine du phénomène (force, mouvement, générateur, etc.), puis la chaîne des conséquences par aspect mécanique, électrique, induction, force de Laplace, etc.

2. On flèche le circuit et on définit des axes.

3. On écrit l’équation mécanique sans oublier la force de Laplace.

4. On dessine le circuit électrique équivalent, sans oublier la fém d’induction.

5. Deux alternatives sont possibles.

5.a. On résout le système dont les inconnues sont en général l’intensité $i(t)$ et la position du rail de Laplace $x(t)$

5.b. En multipliant l’équation électrique par $i$ et l’équation mécanique par la vitesse, on obtient deux équations homogènes à des puissances. On met en exergue, on nomme et on interprète les différents termes, et on veille à vérifier une loi importante, qui traduit le couplage électromécanique : la puissance de la force de Laplace est exactement opposée à la puissance d’induction.

Au-delà de vos fiches de révisions, vous avez également la possibilité de prendre des cours particuliers de Physique, pour remédier à vos lacunes ou tout simplement pour renforcer votre niveau. Et pour travailler efficacement même entre les cours particuliers, maintenez-vous à niveau grâce aux nombreux cours en ligne de physique, dont en voici quelques uns :

Cours sur l’induction en MPSI, PCSI et PTSI

A. Champ magnétique en Maths Sup

1. Champ magnétique en Maths Sup

2. Champ créé par une bobine

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B. Force de Laplace en Maths Sup

1. Expression de la Force de Laplace en Maths Sup

2. Force de Laplace élémentaire en Maths Sup

3. Moment des forces de Laplace sur une spire plane

C. Induction : circuit fixe dans un champ variable

1. Flux du champ magnétique à travers un circuit filiforme

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2. Loi de Faraday en Maths Sup

3. Calcul d’inductance propre en Maths Sup

4. Mutuelle inductance en Maths Sup

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