Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices et corrigés sur l’Induction

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en maths sup

La physique ayant un très fort coefficient en prépa scientifique pour les concours des écoles d’ingénieurs, de même que les maths, il est impératif de la travailler tout au long de l’année. Et cela passe notamment par des exercices, qui permettent de mettre en pratique de manière concrète le cours et l’ensemble des connaissances du programme de prépa maths sup. C’est avec de la pratique régulière que l’on réussit ses concours. En optant pour des cours particuliers en physique-chimie, vous bénéficiez d’une diversité impressionnante de talents et d’expériences. Notre panel d’experts est constitué d’enseignants hautement qualifiés, possédant des parcours scolaire et professionnels variés, offrant ainsi une richesse de perspectives et de méthodes d’enseignement.

Exercice sur un champ créé par un fil

Un fil rectiligne infini $(O,z)$ est parcouru par un courant d’intensité $I$ dans le sens des $z$ croissants.

Un point $M$ est repéré en coordonnées cylindriques par

$\vec{OM}=r\vec{u}_r+z\vec{u}_z$

On démontre (théorème d’Ampère, vu en deuxième année) que

$\displaystyle{\vec{B}(M)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec{u}_{\theta}}$

On considère deux fils parallèles infinis $(O_1,z)$ et $(O_2,z)$ avec $\vec{O_1O_2}\bot\vec{u}_z$ , distants de $2D$ , parcourus par des courants de même intensité, et le point $M$ milieu de $[O_1O_2]$

a. Quel est le champ magnétique en $B$ si les deux courants ont même sens ?

b. Quel est le champ magnétique en $B$ si les deux courants ont des sens opposés ?

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Exercice sur le moteur électrique synchrone

Une spire magnétique est solidaire d’un cylindre en rotation autour d’un axe $(O,z)$ horizontal, de rayon $b$ , de moment d’inertie $J=\frac12mb^2$ .

Le moment dipolaire magnétique $\vec{m}$ de la spire a une norme constante $m_0$ dans le plan $(O,x,y)$

Elle est soumise à un champ magnétique tournant

$\vec{B}=B_0\cos(\omega t+\alpha)\vec{u}_x+B_0\sin(\omega t+\alpha)\vec{u}_y$

Le cylindre tourne à vitesse angulaire constante $\omega$ , $\vec{m}=m_0\vec{u}_r$ en coordonnées cylindriques avec $\theta=\omega t$ sous l’action du moment des forces de Laplace $\mathcal{M}_{(O,z),L}$ et du moment du poids d’une masse $M$ accrochée à un fil enroulé sur le cylindre.

a. Donner l’expression de $\mathcal{M}_{(O,z),L}$

b. Donner l’expression du moment du poids $\mathcal{M}_{(O,z)}(\vec{P})$

c. En déduire la valeur de $\alpha$ et montrer que $M$ ne peut pas dépasser une certaine valeur.

Exercice sur un circuit avec mutuelle inductance

Dans le circuit suivant, $e(t)=E\cos(\omega t)$

Établir le système d’équations vérifiées, en grandeurs complexes, par $\underline{i}_1$ et $\underline{i}_2$

Exercice sur le principe de l’antenne

Une onde électromagnétique crée un champ magnétique

$\vec{B}(x,t)=B_0\vec{u}_z\cos(\omega t-kx)$

avec $\omega =kc$

Une spire rectangulaire plate comporte $N$ enroulements carrées de côté $a$ selon les axes $x$ et $y$

On oriente la spire dans le sens du schéma qui définit le sens du courant dans la spire.

a. Justifier que pour la spire

$d\vec{S}=dxdy\vec{u}_z$

b. En déduire le flux $\Phi$ de $\vec{B}$ à travers la spire.

c. En déduire la fém d’induction $e$ et l’exprimer sous la forme

$e(t)=e_0\sin(\omega t+\varphi)$

On donne

$\displaystyle{\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}}$

d. En déduire l’intensité du courant $i(t)$

e. Pourquoi parle-t-on d’antenne dans le titre de l’exercice ?

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Correction de l’exercice sur le champ créé par un fil

a. Le vecteur $\vec{u}_{\theta}$ dépend du fil considéré.

Si les deux courants ont même sens, on a

$\vec{u}_{\theta,2}=-\vec{u}_{\theta,1}$

et $r_1=r_2=D$ donc $B_1=B_2$ et

$\vec{B}_1=-\vec{B}_2$ donc $\vec{B}(M)=\vec{0}$

b. $\vec{u}_{\theta,2}=\vec{u}_{\theta,1}=\vec{u}_y$

vecteur unitaire orthogonal au plan des deux fils.

De plus $r_1=r_2=D$ donc

$\displaystyle{B_1=B_2=\frac{\mu_0I}{2\pi D}}$ et

$\vec{B}_1=\vec{B}_2$ donc

$\displaystyle{\vec{B}(M)=\frac{\mu_0I}{\pi D}\vec{u}_y}$

Correction de l’exercice sur le moteur électrique synchrone

a. D’après la formule du cours

$\mathcal{M}_{(O,z),L}=(\vec{m}\wedge\vec{B})\cdot\vec{u}_z$

$\mathcal{M}_{(O,z),L}=m_0B_0\sin\alpha$

b. En utilisant le bras de levier

$\mathcal{M}_{(O,z)}(\vec{P})=-Mgb$

c. Si la montée se fait à vitesse angulaire constante, par application du TMC, la somme des moments est nulle

$m_0B_0\sin\alpha=Mgb$

donc $\displaystyle{\sin\alpha=\frac{Mgb}{m_0B_0}}$

Un sinus ne peut pas dépasser 1 donc cette relation n’est possible que si

$Mgb\leq m_0B_0$ donc un moteur à $m_0$ , $B_0$ et $b$ fixés ne peut pas soulever une masse supérieure à la valeur limite

$\displaystyle{M_{\mathrm{max}}=\frac{m_0B_0}{gb}}$

Correction de l’exercice sur un circuit avec mutuelle inductance

L’application de la loi des mailles dans chaque boucle donne

$\displaystyle{E\cos(\omega t)=L_1\frac{di_1}{dt}+M\frac{di_2}{dt}+Ri_1}$

$\displaystyle{L_2\frac{di_2}{dt}+M\frac{di_1}{dt}+u_C=0}$

avec $\displaystyle{i_2=C\frac{du_C}{dt}}$

En grandeurs complexes :

$\displaystyle{Ee^{j\omega t}=jL_1\omega\underline{i}_1+jM\omega\underline{i}_2+R\underline{i}_1}$

$\displaystyle{jL_2\omega\underline{i}_2+jM\omega\underline{i}_1+\frac1{jC\omega}\underline{i}_2=0}$

Correction de l’exercice sur le principe de l’antenne

a. La règle du tire-bouchon indique que $d\vec{S}$ est orienté selon $\vec{u}_z$ et l’élément de surface en coordonnées cartésiennes est $dS=dxdy$

b. $\Phi=N\int_{x=0}^a\int_{y=0}^aB_0\cos(\omega t-kx)dxdy$

$\displaystyle{\Phi=\frac{NB_0}{-k}\left[\sin(\omega t-kx)\right]_0^a\left[y\right]_0^a}$

$\displaystyle{\Phi=-\frac{NaB_0}{k}\left[\sin(\omega t-ka)-\sin(\omega t)\right]}$

c. Par application de la loi de Faraday

$\displaystyle{e=-\frac{d\Phi}{dt}}$

$\displaystyle{e=\frac{NaB_0\omega}{k}\left[\cos(\omega t-ka)-\cos(\omega t)\right]}$

et en utilisant $\omega =kc$ et la formule de trigonométrie

$\displaystyle{e=2NaB_0c\sin(ka)\sin\left(\omega t-\frac{ka}{2}\right)}$

d. Le circuit électrique comporte cette fém et la résistance $R$ donc

$\displaystyle{i=\frac{e}{R}}$

$\displaystyle{i=\frac{2NaB_0c\sin(ka)}{R}\sin\left(\omega t-\frac{ka}{2}\right)}$

e. C’est une antenne car elle convertit un signal électromagnétique (onde) en signal électrique (courant).

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