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Cours de maths sur les équations de droites en seconde générale

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Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Notre cours sur les équations de droites offre aux élèves de seconde une compréhension approfondie de ces éléments clés des mathématiques. Vous apprendrez à travailler avec les équations cartésiennes, à comprendre la colinéarité et plus encore. Pour une parfaite maîtrise de ces concepts essentiels en mathématique, un prof de maths peut vous aider et vous éclairer sur zones qui restent encore floues.

Droites et vecteurs directeurs en seconde

Définition : Vecteur directeur d’une droite

On appelle vecteur directeur d’une droite $d$ tout vecteur $\overrightarrow{AB}$ où $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$ .

Propriété : Un vecteur $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur d’une droite $d$ s’il existe deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ tels que

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ .

Remarque : Un vecteur directeur d’une droite ne peut pas être nul car les points $A$ et $B$ sont distincts.

Propriété : Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $d$ ,

Alors tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est aussi vecteur directeur de $d$ .

Exemple : Dans un repère du plan, on donne les points $A(2;-5)$ , $B(-4;10)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}(-2;6)$ .

Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est-il un vecteur directeur de la droite $(AB)$ ?

Propriété : Soient $d$ une droite du plan, le point $A$ appartient à $d$ et $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $d$ .

Un point $M$ du plan appartient à $d$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires,

C’est-à-dire $det(\vect{u};\vect{AM})=0$ .

Exemple : Soit $d$ la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(4;2)$ passant par le point $A(-3;-3)$ .

Montrer que le point $M(11;4)$ appartient à la droite $d$ .

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Droites parallèles et droites sécantes

Propriété : Soient $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $d'$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ .

Les droites $d$ et $d'$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires,

C’est-à-dire $det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=0$ .

Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires,

C’est-à-dire $det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) \neq 0$ .

Exemple : Soit $d$ la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(8;2)$ et les points $A(2;-3)$ , $B(-2;-4)$ .

Montrer que les droites $d$ et $(AB)$ sont parallèles.

Équation cartésienne d’une droite

Définition : Équation cartésienne

Dans un repère du plan, toute droite $d$ admet une équation de la forme : $ax+by+c=0$ avec $(a;b) \neq (0;0)$ .

Cette équation est appelée équation cartésienne de $d$ .

Remarque : Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes.

Ainsi, la droite $d$ d’équation $3x-y+1=0$ a aussi pour équation $6x-2y+2=0$ ou toute équation équivalente.

Propriété : $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $(a;b) \neq (0;0)$ .

Dire que $d$ admet pour équation $ax+by+c=0$ signifie qu’un point $M(x_M;y_M)$ appartient à la droite $d$ si, est seulement si, ses coordonnées vérifient cette équation ( $ax_M+by_M+c=0$ ).

Exemple : Soit $d$ la droite du plan d’équation $d:-5x+3y-8=0$ .

Le point $A(2;6)$ appartient-il à $d$ ? Même question pour le point $B(-2;-1)$ ?

Prorpiété : Dans un repère du plan, toute droite admettant une équation de la forme : $ax+by+c=0$ avec $(a;b) \neq (0;0)$ admet $\vec{u}(-b;a)$ comme vecteur directeur.

Exemple : Dans un repère du plan, on donne le point $A(2;-5)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}(-2;6)$ .

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .

Exemple : Dans un repère du plan, déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par les points $C\left(-2;\dfrac{1}{2}\right)$ et $D(4;-3)$ .

Équation réduite d’une droite

Définition : Équation réduite

Toute droite $d$ non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation de la forme $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des nombres réels.

Cette équation est l’équation réduite de la droite $d$ .

Remarque : Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées à une unique équation de la forme $x = k$ (où $k$ un nombre réel).

Elle n’a ni pente, ni ordonnée à l’origine.

Exemple : Soit $d$ la droite d’équation cartésienne $-2x+4y+8=0$ . Donner l’équation réduite de $d$ .

Propriété : Dans un plan muni d’un repère, le vecteur $\overrightarrow{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de la droite d’équation réduite $y=mx+p$ .

Exemple : Soit $d$ la droite d’équation réduite $y=-\dfrac{1}{3}x-2$ .

Donner deux vecteurs directeurs de la droite $d$ .

Exemple : Soient $d$ la droite d’équation cartésienne $6x-4y+3=0$ et $d'$ la droite d’équation réduite $y=\dfrac{3}{2}x-5$ .

Montrer que $d$ et $d'$ sont parallèles.

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Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

Définition : Equation à deux inconnues

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est la donnée de deux équations d’inconnues $x$ et $y$ de la forme :

$\ds(S):\ds\left\{\begin{array}{l} ax+by+c=0 \quad (E_1)\\ a'x+b'y+c'=0 \quad (E_2)\end{array}\right.$

Où $a$ , $b$ , $c$ , $a'$ , $b'$ et $c'$ sont des nombres réels donnés.

Une solution de ce système est le couple de valeurs $(x;y)$ qui vérifie simultanément ces deux équations.

Résoudre ce système, c’est trouver tous ses couples de solutions.

Exemple : Le couple $(-5;7)$ est-il solution du système

$\ds(S_1):\ds\left\{\begin{array}{l}2x+3y=11\\-x-3y=-16\end{array}\right.$

Interprétation graphique et nombre de couples de solutions

Soient les droites $d$ d’équation $ax+by+c=0$ et $d'$ d’équation $a'x+b'y+c'=0$ .

Soit le système : $\ds(S):\ds\left\{\begin{array}{l} ax+by+c=0 \quad (E_1)\\ a'x+b'y+c'=0 \quad (E_2)\end{array}\right.$

Résoudre le système $(S)$ , c’est déterminer les coordonnées des points d’intersection éventuels des droites $d$ et $d'$ .

Soient $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ les vecteurs directeurs respectifs de $d$ et $d'$ .

On a donc $det(\vec{u};\vec{v})=-b \times a'-a \times (-b')=ab'-a'b$

On distingue 3 possibilités pour l’ensemble des couples solutions $\mathscr{S}$ du système $(S)$ :

Exemple : Pour chaque système, discuter de l’existence des solutions.

$\ds(S_1):\ds\left\{\begin{array}{l}6x-5y=38\\3x-y=13\end{array}\right.$

$(S_2):\ds\left\{\begin{array}{l}8x-6y=1 \\ -4x+3y=-3 \end{array}\right.$

$(S_3):\ds\left\{\begin{array}{l} -8x+12y-4=0 \\2x+-3y+1=0 \end{array}\right.$

Méthodes de résolution algébriques d’un système par substitution

Exemple :

On isole une inconnue dans une équation. Par exemple, $x$ dans la seconde équation :

$(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x-2y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\x= \fbox{$2y$}\end{array}\right.$

On remplace (ou substitue) $x$ par son expression en fonction de $y$ (ici, $2y$ ) dans la première équation, afin de faire disparaître la variable $x$ :

$(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3\times\fbox{$2y$}-2y=2\\x=2y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}6y-2y=2\\x=2y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4y=2\\x=2y\end{array}\right.$

On résout l’équation avec une seule inconnue et on remplace le résultat dans l’autre :

$(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 24=\frac 12\\x=2y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\x= 2\times \left(\frac 12\right)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\x=1\end{array}\right.$

Conclusion. Le système $(S)$ admet pour unique solution le couple $\left(1;\dfrac 12\right)$ où $\mathscr{S}=\left(1;\dfrac 12\right)$ .

Méthodes de résolution algébriques d’un système par combinaison

Exemple :

On multiplie par exemple la première équation par le coefficient de $x$ dans la seconde et on multiplie la seconde équation par le coefficient de $x$ dans la première :

$(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\darkgray3}x-2y=2\\{\darkgray 1}x-2y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{\darkgray 1}\times 3x-{\darkgray 1}\times 2y={\darkgray 1}\times 2 \\ {\darkgray 3}\times \phantom{3}x-{\darkgray 3}\times 2y={\darkgray 3}\times 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\3x-6y=0\end{array}\right.$

Les coefficients de $x$ sont identiques, on remplace une équation par la différence des deux :

$(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\{\darkgray 3x-6y=0}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-2y-{\darkgray(3x-6y)}=2-{\darkgray (0)}\\ 3x-6y=0\end{array}\right.$

On résout l’équation avec une seule inconnue et on remplace le résultat dans l’autre :

$(S)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4y=2\\3x-6y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 24=\dfrac 12\\3x-6\times \left(\dfrac 12\right)=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\3x-3=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{array}{l}y=\dfrac 12\\x=\dfrac 33=1\end{array}\right.$

Conclusion. Le système $(S)$ admet pour unique solution le couple $\left(1;\dfrac 12\right)$ où $\mathscr{S}=\left(1;\dfrac 12\right)$ .

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