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Fiche de cours en maths sur les vecteurs en seconde

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Seconde générale

Ce cours sur les vecteurs est parfait pour les secondes qui veulent se familiariser avec les bases de la géométrie vectorielle. Vous y apprendrez tout sur les translations, les égalités et les propriétés des vecteurs. Si vous avez besoin d’une aide plus ciblée, pensez à des cours particuliers maths avec professeur qualifié qui peut vous guider étape par étape.

Résumé de cours vecteur et translation en 2nde

Définition : On considère deux points $A$ et $B$ du plan.

La translation qui transforme $A$ en $B$ est appelée translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Remarque : Le point $A$ est l’origine du vecteur, le point $B$ son extrémité.

Si les points $A$ et $B$ sont confondus ( $A=B$ ), on parle de vecteur nul. On le note $\overrightarrow{0}$ .

Définition d’un vecteur en seconde

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par :

Sa direction (celle de la droite $(AB)$ ),
Sa norme (la longueur du segment $[AB]$ ),
Son sens (de $A$ vers $B$ ).

Remarque : La longueur $AB$ est appelée norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ . On la note $||\overrightarrow{AB}||$ .

Exemple 1 :

Construire les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{FE}$ .

Construire le point $G$ , image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$ .

Construire le point $H$ , image du point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$ suivie de la translation du vecteur $\overrightarrow{FE}$ .

Construire le point $A'$ sachant que $A$ est l’image de $A'$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$

Construire le point $B'$ sachant que $B$ est l’image de $B'$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FE}$

Égalité de deux vecteurs en seconde

Propriété : Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Exemple 2. En utilisant les résultats de l’exemple 1, indiquer les vecteurs qui sont égaux.

Propriété : $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement « aplati ») si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ .

Remarque : Attention à l’ordre des sommets. Ici $ABDC$ et non $ABCD$ .

Propriété : $M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ .

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Somme de vecteurs : cours de seconde

Propriété : La somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , notée $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ , est le vecteur associé à la translation obtenue par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$ .

Remarque : L’ordre choisi n’a pas d’influence sur l’enchainement de deux translations.

En effet, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ .

Propriété : L’opposé d’un vecteur $\overrightarrow{u}$ , noté $-\overrightarrow{u}$ , est le vecteur qui a la même direction et la même norme que le vecteur $\overrightarrow{u}$ , mais qui a un sens contraire (ou opposé) à $\overrightarrow{u}$ .

Remarque : L’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}$ on a donc $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ .

Propriété : Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ (commutativité)

( $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$

Théoreme : Relation de Chalses

Pour tous $A,B,C$ du plan, on a $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ .

En conséquence, l’enchaînement de deux translations de vecteurs respectifs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$ .

Exemple : Simplifier l’écriture suivante : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DB}=$

Propriété : Règle du parallélogramme

Le quadrilatère $ABDC$ un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ .

Produit d’un vecteur par un nombre réel

Definition : Le vecteur $k\overrightarrow{u}$

Soit $k$ un réel non nul et $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul du plan, alors le vecteur $k\overrightarrow{u}$ est le vecteur ayant :

même direction que $\overrightarrow{u}$ ,
même sens que $\overrightarrow{u}$ si $k > 0$ et de sens contraire si $k <0$ ,
$||k\overrightarrow{u}||=|k| ||\overrightarrow{u}||$ ;

Si $k = 0$ , alors pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $0\overrightarrow{u} =\overrightarrow{0}$ .

Propriété : Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et tous nombres réels $a$ et $b$ on a :

$a(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})=a\overrightarrow{u} + a\overrightarrow{v}$

$(a+b)\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{u}$

$a(b\overrightarrow{u} )= (ab)\overrightarrow{u}$

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Vecteurs colinéaires en 2nde

Définition

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls sont dits colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.

Alors il existe un réel non nul $k$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ .

Remarque : Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est colinéaire à tout vecteur puisque $\overrightarrow{0}=0\overrightarrow{u}$ .

Théorème : Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires

$\Leftrightarrow$ les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles

$\Leftrightarrow$ Il existe $k \in\ R$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{CD}$ (ou $k\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ )

Exemple : Soient trois points $A$ , $B$ et $C$ distincts non alignés.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils colinéaires dans les cas suivants :

$\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=-6\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{v}=9\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$

Propriété : Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

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