Cours en ligne Physique-Chimie en Terminale

Chapitres Physique-Chimie en Terminale Générale

Cours mouvements champ uniforme terminale générale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique-Chimie en Terminale

Maîtriser le cours Mouvements dans un Champ uniforme en terminale générale est primordial pour bien aborder le bac, quitte à prendre des professeur particulier en physique chimie. Pour les compléter, vous pouvez suivre un stage intensif de révision à n’importe quelle période de vacances scolaires. Découvrez également tous les autres chapitres de Physique-Chimie de terminale, dans nos cours en ligne de terminale en Physique-Chimie !

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A. Mouvement dans le champ de pesanteur en terminale générale

1. Définition du problème du champ de pesanteur en Terminale

Dans un référentiel galiléen (en général celui lié à la planète) on définit un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ où $O$ est un point fixe, $\vec{j}$ un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut $\vec{i}$ un vecteur horizontal et $\vec{k}$ un vecteur horizontal perpendiculaire à $\vec{i}$ .

On peut toujours choisir les axes de telle sorte que le problème étudié soit le suivant.

Un mobile $M$ assimilé à un point, de masse $m$ , est lancé avec une vitesse initiale

$\vec{v}_0=\left(\begin{array}{c} v_{0x} \\ v_{0y} \\ v_{0z}=0 \end{array}\right)$ depuis une position initiale

$\vec{OM}_0=\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0=0 \end{array}\right)$

Après son lancer, $M$ est soumis uniquement à son poids

$\vec{P}=m\vec{g}=-mg\vec{j}$

où $g$ est uniforme, partout le même pendant le vol de $M$ .

Pour toute la suite de ce chapitre, on suppose, en choisissant un repère adapté, que $O$ est le point de lancement de $M$ donc

$\vec{OM}_0=\left(\begin{array}{c} x_0=0 \\ y_0=0 \\ z_0=0 \end{array}\right)$

et que son vecteur vitesse initiale (voir exemple précédent) s’écrit

$\vec{v}_0=\left(\begin{array}{c} v_{0x}=v_0\cos\alpha \\ v_{0y}=v_0\sin\alpha \\ v_{0z}=0 \end{array}\right)$

2. Accélération et pesanteur en Terminale

L’application de la deuxième loi de Newton à $M$ dans le référentiel galiléen d’étude (lié à la planète, terrestre si on se place à la surface de la Terre) donne

$\vec{P}=m\vec{a}$

soit $m\vec{g}=m\vec{a}$

donc $\vec{a}=\vec{g}$

L’accélération est égale à l’accélération de la pesanteur, ce qui est parfaitement logique !

On en déduit

$\left\{\begin{array}{l} a_x=0 \\ a_y=-g \\ a_z=0\end{array}\right.$

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3. Vecteur vitesse en Terminale Générale

Par définition du vecteur accélération, on peut écrire

$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{dv_x}{dt}(t)}=0 \\ \displaystyle{\frac{dv_y}{dt}}(t)=-g \\ \displaystyle{\frac{dv_z}{dt}}(t)=0\end{array}\right.$

On en déduit, en primitivant par rapport à $t$ , que

$\left\{\begin{array}{l} v_x(t)=A \\ v_y(t)=-gt+B \\ v_z(t)=C\end{array}\right.$

où $A$ , $B$ et $C$ sont trois constantes d’intégration.

On les détermine en utilisant les conditions initiales. À $t=0$

$\left\{\begin{array}{l} v_0\cos\alpha=A \\ v_0\sin\alpha=-g\times 0+B \\ 0=C\end{array}\right.$

donc $\vec{v}(t)=\left(\begin{array}{l} v_x(t)=v_0\cos\alpha \\ v_y(t)=-gt+v_0\sin\alpha \\ v_z(t)=0\end{array}\right)$

La composante horizontale du vecteur vitesse est donc constante.

La composante verticale du vecteur vitesse est une fonction affine du temps.

4. Équations horaires du mouvement en Terminale

Par définition du vecteur vitesse, on peut écrire

$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{dx}{dt}}(t)=v_0\cos\alpha \\ \displaystyle{\frac{dy}{dt}}(t)=-gt+v_0\sin\alpha \\ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}(t)=0\end{array}\right.$

On en déduit, en cherchant une primitive par rapport à $t$ , que

$\left\{\begin{array}{l} x(t)=v_0\cos\alpha t+D \\ y(t)=-\frac12gt^2+v_0\sin\alpha t+E \\ z(t)=F\end{array}\right.$

où $D$ , $E$ et $F$ sont trois constantes d’intégration.

On les détermine en utilisant les conditions initiales. À $t=0$

$\left\{\begin{array}{l} 0=v_0\cos\alpha\times 0+D \\ 0=-\frac12g\times 0^2+v_0\sin\alpha\times 0+E \\ 0=F\end{array}\right.$

donc $D=E=F=0$ et

$\vec{OM}(t)=\left(\begin{array}{l} x(t)=v_0\cos\alpha t \\ y(t)=-\frac12gt^2+v_0\sin\alpha t \\ z(t)=0\end{array}\right)$

Le mouvement est donc dans le plan $z=0$ , qui contient le vecteur vitesse initiale, qui est donc le plan d’évolution (ou plan de tir) de $M$ .

5. Équation cartésienne de la trajectoire en Terminale

Une équation cartésienne est une relation entre l’abscisse et l’ordonnée indépendante du temps.

On doit donc éliminer $t$ entre les deux équations horaires, et on note simplement $x$ et $y$ les coordonnées de $M$ .

On a

$x=v_0\cos\alpha t$

donc $t=\displaystyle{\frac{x}{v_0\cos\alpha}}$

on injecte cette expression dans celle de l’ordonnée

$y=\displaystyle{-\frac12g\cdot\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+ v_0\sin\alpha\cdot\frac{x}{v_0\cos\alpha}}$

soit

$y=\displaystyle{-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+ \tan\alpha\cdot x}$

$y$ est donc une fonction du second degré de $x$ . Sa courbe représentative, la trajectoire, est donc une parabole passant par l’origine $O$ du repère

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B. Aspect énergétique (champ de pesanteur) en terminale

1. Énergie cinétique en Terminale

L’énergie cinétique d’un mobile ponctuel $M$ de masse $m$ et de vitesse $\vec{v}$ de norme $v$ vaut

$Ec=\frac12mv^2$

2. Énergie potentielle de pesanteur en Terminale

Si $y$ désigne l’altitude d’un mobile ponctuel $M$ de masse $m$ , lorsqu’on prend la référence d’énergie potentielle nulle en $z=0$ , l’énergie potentielle de pesanteur de $M$ vaut

$Ep_p=mgy$

3. Énergie mécanique au Programme de Terminale

L’énergie mécanique d’un mobile ponctuel $M$ de masse $m$ soumis seulement à son poids (les autres forces sont nulles ou négligeables devant lui) est

$Em=Ec+Ep_p=\frac12mv^2+mgy$

Le résultat suivant peut être démontré à partir de ceux du paragraphe A.

L’énergie mécanique de $M$ est constante au cours de son mouvement.

Méthode :

Quand a-t-on intérêt à utiliser cette loi de conservation de l’énergie mécanique plutôt que la deuxième loi de Newton ?

On remarque que la date $t$ n’apparaît pas explicitement dans l’expression de $Em$ .

Lorsqu’une question ne fait pas référence à la date d’un événement, mais seulement à l’altitude et à la norme de la vitesse, il est beaucoup plus facile d’utiliser cette loi plutôt que la loi de Newton.

C. Mouvement dans un champ électrique en terminale générale

1. Champ électrique uniforme en Terminale

Le champ électrique $\vec{E}$ qui règne entre deux plaques parallèles, de dimensions très supérieures à la distance qui les sépare, portant des charges constantes opposées $+Q$ pour l’une et $-Q$ pour l’autre, est uniforme, partout le même, et constant.

* Sa direction est orthogonale aux plaques

* Son sens est dirigé de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement

* Sa norme vaut

$\displaystyle{E=\frac{U}{d}}$

où $U$ est la tension électrique, exprimée en volts (V) entre la plaque positive et la plaque négative et $d$ la distance entre les plaques, exprimée en mètres (m).

La norme du champ électrique est donc exprimée en volts par mètre ( $\mathrm{V\cdot m^{-1}}$ ).

Ce dispositif forme un condensateur plan.

2. Force électrique appliquée à une particule en Terminale

Une particule $M$ , ponctuelle, de masse $m$ portant la charge $q$ , est lâchée avec une vitesse initiale nulle depuis l’origine $O$ du repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ dans une zone où règne un champ électrique uniforme $\vec{E}=E\vec{i}$

avec la convention d’orientation (implicite dans la suite de ce chapitre) $qE>0$

On néglige toute autre force (en particulier le poids) devant la force électrique

$\vec{f}=q\vec{E}$

La deuxième loi de Newton appliquée à $M$ dans le référentiel galiléen du laboratoire s’écrit

$\vec{f}=m\vec{a}$

soit $\vec{a}=\displaystyle{\frac{q}{m}\vec{E}}$

On en déduit

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} \frac{dv_x}{dt}(t)=\frac{qE}{m} \\ \frac{dv_y}{dt}(t)=0\end{array}\right.}$

On primitive par rapport au temps

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} v_x(t)=\frac{qE}{m}t+A \\ v_y(t)=B\end{array}\right.}$

où $A$ et $B$ sont deux constantes d’intégration.

La vitesse est nulle à l’instant initial donc

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} 0=\frac{qE}{m}\times 0+A \\ 0=B\end{array}\right.}$

donc $A=B=0$ et

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} v_x(t)=\frac{qE}{m}t \\ v_y(t)=0\end{array}\right.}$

soit $\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} \frac{dx}{dt}(t)=\frac{qE}{m}t \\ \frac{dy}{dt}(t)=0\end{array}\right.}$

On primitive par rapport au temps

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} x(t)=\frac12\cdot\frac{qE}{m}t^2+C \\ y(t)=D\end{array}\right.}$

où $C$ et $D$ sont deux constantes d’intégration.

Les coordonnées sont nulles à l’instant initial donc

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} 0=\frac12\cdot\frac{qE}{m}\times 0^2+C \\ 0=D\end{array}\right.}$

donc $C=D=0$ et on en déduit les équations horaires

$\displaystyle{x(t)=\frac{qE}{2m}t^2}$

$y(t)=0$

Le mouvement de la particule est donc rectiligne et uniformément accéléré.

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D. Aspect énergétique (champ électrique) en terminale

1. Travail de la force électrique en Terminale

Lorsqu’une particule ponctuelle portant la charge $q$ se déplace entre un point $A(x_A,y_A,z_A)$ et un point

$B(x_B,y_B,z_B)$ dans une zone où règne un champ électrique uniforme $\vec{E}=E\vec{i}$ , le travail de la force électrique constante $\vec{f}=q\vec{E}$ vaut

$W_{AB}(\vec{f})=\vec{f}\cdot \vec{AB}$

$W_{AB}(\vec{f})=\left(\begin{array}{c}qE \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)$

$W_{AB}(\vec{f})=qE(x_B-x_A)$

2. Vitesse d’une particule en Terminale

Une particule de charge $q$ est lâchée sans vitesse initiale au point $O$ situé au niveau de la plaque d’entrée d’un condensateur plan où règne un champ électrique uniforme

$\vec{E}=E\vec{i}$ (avec $qE>0$ ).

On a montré qu’elle avait un mouvement rectiligne (uniformément) accéléré sur l’axe $(O,x)$ .

Lorsqu’elle atteint l’abscisse $x=d$ , au niveau de l’autre plaque, au point $P$ sa vitesse $v_P$ peut être calculée en appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre $O$ et $P$

$Ec_P-Ec_O=W_{OP}(\vec{f})$

soit $\frac12mv_P^2-\frac12m\times 0^2=qE(x_P-x_O)$

donc $\frac12mv_P^2-0=qEd$

Or $Ed=U$ tension électrique

donc $v_P=\displaystyle{\sqrt{\frac{2qU}{m}}}$

Méthode :

On peut faire la même remarque qu’au paragraphe B : lorsqu’aucune référence aux dates n’est faite dans un exercice, il est souvent beaucoup plus rapide et facile d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour calculer la vitesse d’une particule chargée que d’appliquer la deuxième loi de Newton.

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Cours mouvements champ uniforme terminale générale

A. Mouvement dans le champ de pesanteur en terminale générale

1. Définition du problème du champ de pesanteur en Terminale

2. Accélération et pesanteur en Terminale

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2. Énergie potentielle de pesanteur en Terminale

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