Chapitres Maths en ECS2
Les corrigés classiques d’algèbre bilinéaire en ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Corrigés classiques d’algèbre bilinéaire ECS2
Exercice 1 : Calcul de 
Si et
sont deux éléments de
, on pose:
=
Question 1 :
D’après l’énoncé, est de la forme
, donc
est une forme bilinéaire sur
:
où
, c’est-à-dire ici
.
Question 2 :
La matrice est symétrique, donc
est symétrique.
Question 3 :
On voit que , et
n’est pas le vecteur nul. Donc
n’est pas un produit scalaire.
Question 4 :
La matrice de (dans la base canonique) est
, donc
, donc
est bilinéaire et sa matrice est
:
.
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Exercice 2 : Produit scalaire
,
, est muni de la base canonique
, et
est une application continue.
On définit l’application par:
est bilinéaire, et, pour tous
de
,
.
Question 1 :
En écrivant ,
, et en utilisant la bilinéarité de
, on obtient :
.
Question 2 :
On voit que , quelque soient
et
, donc
est symétrique.
Pour tout de
,
=
=.
Comme est positive, la fonction intégrée est positive, et les bornes de l’intégrale sont dans l’ordre croissant, donc
.
Si , comme la fonction intégrée est continue et positive, elle est nulle sur
, et comme
est strictement positive sur
, pour tout de
,
.
Le polynôme admet donc une infinité de racines (tous les
,
), donc c’est le polynôme nul, donc tous ses coefficients sont nuls. Donc pour tout
de
,
, donc
.
Donc est définie positive.
est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, donc c’est un produit scalaire.
Exercice 3 : Calcul de produit scalaire
est l’ensemble des applications
continues sur
, telles que l’intégrale
converge.
Question 1 :
est inclus dans l’espace vectoriel
des applications définies sur
, à valeurs dans
.
Question 2 :
La fonction nulle appartient à .
Si appartient à
et si
est un réel,
appartient à
.
Si et
appartiennent à
, pour tout
de
,
, donc
, donc
.
Par comparaison des fonctions intégrées, converge, donc
appartient à
.
Donc est un sous-espace vectoriel de
, donc
est un espace vectoriel sur
.
Question 3 :
Si et
appartiennent à
, le intégrales
et
convergent.
Comme , par comparaison des fonctions intégrées,
converge.
Donc est bien une application de
dans
.
Pour tous et
de
,
, donc
est symétrique.
Si ,
,
sont éléments de
, si
et
sont des réels, par linéarité de l’intégrale,
,
donc l’application est linéaire à droite, et comme elle est symétrique, elle est bilinéaire.
: la fonction intégrée est positive, les bornes sont dans l’ordre croissant, donc
.
Si , comme la fonction intégrée est continue et positive sur
, elle est identiquement nulle sur
, et comme, pour tout
,
,
pour tout
de
, donc
.
Donc est définie positive.
Donc est un produit scalaire.
Question 4 :
On calcule: .
(On peut aussi calculer directement cette intégrale en intégrant par parties).
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Exercice 4 : Matrices commutantes
Pour , on désigne par
l’espace vectoriel
des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
.
On donne réels
, non nécessairement distincts, et pour
,
appartenant à
, on pose
=
.
Question 1 :
L’application est bien définie sur
, à valeurs réelles, puisque des polynômes admettent des dérivés de tout ordre.
Pour tous et
de
,
, donc cette application est symétrique.
Question 2 :
Pour tout et
de
,
est égal à
si
, et vaut
si
.
Si et si
, alors
dès que
, et si
,
,
donc . Comme
,
, donc
.
Donc la base canonique de est orthogonale pour ce produit scalaire.
Question 3 :
Pour tout ,
, donc
est de norme
.
Donc est une base orthonormée de
.
Pour tout de
, on a:
. Comme
pour
,
, donc
.
On retrouve l’expression de obtenue à l’aide de la formule de Taylor pour les polynômes.
Exercice 5 : Base orthonormée de 
Pour et
appartenant à
, on pose:
=
+
Question 1 :
est de la forme
, donc
est bilinéaire et, si
et
sont les matrices
(colonnes) de et
dans la base canonique,
où
.
La matrice est symétrique, donc
est symétrique.
Pour tout de
,
=
=
+
=,
Donc .
Si , alors
et
, donc
.
Donc est définie positive.
Donc est un produit scalaire.
Question 2 :
La matrice de n’est pas diagonale: si
est la base canonique de
, on a par exemple
;
donc la base canonique n’est pas orthogonale pour ce produit scalaire.
On construit une b.o.n. en utilisant le procédé de Schmidt:
;
= et
=
=,
Donc ;
=
= et
=,
Donc .
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