Chapitres Maths en ECS2

Les corrigés classiques d’algèbre bilinéaire en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Corrigés classiques d’algèbre bilinéaire ECS2

Exercice 1 : Calcul de $M^{k}$

Si $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ sont deux éléments de $\mathbb{R}^{3}$ , on pose:

$\varphi(x,y)$ = $x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}$

Question 1 :

D’après l’énoncé, $\varphi(x,y)$ est de la forme $\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq 3} a_{i,j}x_{i}y_{j}$ , donc $\varphi$ est une forme bilinéaire sur $\mathbb{R}^{3}$ : $\varphi(x,y)=(^{t}X)AY$ où $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq 3}$ , c’est-à-dire ici

$A=\begin{pmatrix} 0& -1&0 \\-1& 1& 1 \\ 0& 1& 2 \end{pmatrix}$ .

Question 2 :

La matrice $A$ est symétrique, donc $\varphi$ est symétrique.

Question 3 :

On voit que $\varphi(e_{1},e_{1})=0$ , et $e_{1}$ n’est pas le vecteur nul. Donc $\varphi$ n’est pas un produit scalaire.

Question 4 :

La matrice de $f(y)$ (dans la base canonique) est $MY$ , donc $\psi(x,y)=(^{t}X)A(MY)=(^{t}X)(AM)Y$ , donc $\psi$ est bilinéaire et sa matrice est $AM$ : $AM=\begin{pmatrix} 1& -1& 1\\ 0& -2& 1\\ 3& -1& 1\end{pmatrix}$ .

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Exercice 2 : Produit scalaire

$\mathbb{R}^{n}$ , $n\geq2$ , est muni de la base canonique $(e_{1},\dots,e_{n})$ , et $f:[0,1]\to\mathbb{R}^{+*}$ est une application continue.

On définit l’application $\varphi:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ par:

$\varphi$ est bilinéaire, et, pour tous $i,j$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ , $\varphi(e_{i},e_{j})=\displaystyle \int_{0}^{1}e^{(i+j)t}f(t)dt$ .

Question 1 :

En écrivant $x=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}$ , $\ y=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}y_{j}$ , et en utilisant la bilinéarité de $\varphi$ , on obtient :

$\varphi(x,y)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\int_{0}^{1}e^{(i+j)t}f(t)dt$ .

Question 2 :

On voit que $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$ , quelque soient $x$ et $y$ , donc $\varphi$ est symétrique.

Pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ ,

$\varphi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{1}x_{i}e^{it}x_{j}e^{jt}f(t)dt$
= $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}e^{it}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}e^{jt}\right)f(t)dt$
= $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}e^{kt}\right)^{2}f(t)dt$ .

Comme $f$ est positive, la fonction intégrée est positive, et les bornes de l’intégrale sont dans l’ordre croissant, donc $\varphi(x,x)\geq 0$ .

Si $\varphi(x,x)=0$ , comme la fonction intégrée est continue et positive, elle est nulle sur $[0,1]$ , et comme $f$ est strictement positive sur $[0,1]$ , pour tout de $[0,1]$ , $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}e^{kt}=0$ .

Le polynôme $P(X)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}X^{k}$ admet donc une infinité de racines (tous les $e^{kt}$ , $t\in[0,1]$ ), donc c’est le polynôme nul, donc tous ses coefficients sont nuls. Donc pour tout $k$ de $\llbracket 0,n \rrbracket$ , $x_{k}=0$ , donc $x=0$ .

Donc $\varphi$ est définie positive.

$\varphi$ est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, donc c’est un produit scalaire.

Exercice 3 : Calcul de produit scalaire

$E$ est l’ensemble des applications $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ continues sur $[0,+\infty[$ , telles que l’intégrale

$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (f(t))^{2}e^{-t}dt$ converge.

Question 1 :

$E$ est inclus dans l’espace vectoriel $C^{0}([0,+\infty[)$ des applications définies sur $[0,+\infty[$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Question 2 :

La fonction nulle appartient à $E$ .

Si $f$ appartient à $E$ et si $\lambda$ est un réel, $\lambda f$ appartient à $E$ .

Si $f$ et $g$ appartiennent à $E$ , pour tout $t$ de $[0,+\infty[$ , $2f(t)g(t)\leq (f(t))^{2}+(g(t))^{2}$ , donc

$(f(t)+g(t))^{2}\leq 2(f(t)^{2}+g(t)^{2})$ , donc

$0\leq (f(t)+g(t))^{2}e^{-t}$
$\leq 2(f(t)^{2}e^{-t}+g(t)^{2}e^{-t})$ .

Par comparaison des fonctions intégrées, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (f(t)+g(t))^{2}e^{-t}dt$ converge, donc $f+g$ appartient à $E$ .

Donc $E$ est un sous-espace vectoriel de $C^{0}([0,+\infty[)$ , donc $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ .

Question 3 :

Si $f$ et $g$ appartiennent à $E$ , le intégrales $\displaystyle \int_{0}^{+\infty[}(f(t)^{2}e^{-t}dt$ et
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty[}(g(t)^{2}e^{-t}dt$ convergent.

Comme $0\leq|fg|\leq \dfrac{1}{2}(f^{2}+g^{2})$ , par comparaison des fonctions intégrées, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}dt$ converge.

Donc $<,>$ est bien une application de $E\times E$ dans $\mathbb{R}$ .

Pour tous $f$ et $g$ de $E$ , $<f,g>=<g,f>$ , donc $<,>$ est symétrique.

Si $f$ , $g$ , $h$ sont éléments de $E$ , si $\lambda$ et $\mu$ sont des réels, par linéarité de l’intégrale,

$<f,\lambda g+\mu h>=\lambda <f,g>+\mu <f,h>$ ,
donc l’application $<,>$ est linéaire à droite, et comme elle est symétrique, elle est bilinéaire.

$<f,f>=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)^{2}e^{-t}dt$ : la fonction intégrée est positive, les bornes sont dans l’ordre croissant, donc $<f,f> \geq 0$ .

Si $<f,f>=0$ , comme la fonction intégrée est continue et positive sur $(0,+\infty[$ , elle est identiquement nulle sur $[0,+\infty[$ , et comme, pour tout $t$ ,

$e^{-t}>0$ , $\ f(t)=0$ pour tout $t$ de $[0,+\infty[$ , donc $f=0$ .

Donc $<,>$ est définie positive.

Donc $<,>$ est un produit scalaire.

Question 4 :

On calcule: $<f_{k},f_{p}>=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}t^{k+p}e^{-t}dt=\Gamma(k+p+1)=(k+p)!$ .

(On peut aussi calculer directement cette intégrale en intégrant par parties).

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Exercice 4 : Matrices commutantes

Pour $n\geq 2$ , on désigne par $E$ l’espace vectoriel $\mathbb{R}_{n}[X]$ des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ .

On donne $n+1$ réels $a_{0},\dots,a_{n}$ , non nécessairement distincts, et pour $P$ , $Q$ appartenant à $E$ , on pose

$<P,Q>$ = $\displaystyle \sum_{j=0}^{n} P^{(j)}(a_{j})Q^{(j)}(a_{j})$ .

Question 1 :

L’application $(P,Q)\to P,Q$ est bien définie sur $E\times E$ , à valeurs réelles, puisque des polynômes admettent des dérivés de tout ordre.

Pour tous $P$ et $Q$ de $E$ , $P,Q=Q,P$ , donc cette application est symétrique.

Question 2 :

Pour tout $j$ et $k$ de $\llbracket 0,n \rrbracket$ , $(X^{k})^{(j)}$ est égal à $\dfrac{k!}{(k-j)!}X^{k-j}$ si $j\leq k$ , et vaut $0$ si $j>k$ .

Si $0\leq k< p\leq n$ et si $j\in \llbracket 0,n \rrbracket$ , alors $(X^{k})^{(j)}(X^{p})^{(j)}=0$ dès que $j>k$ , et si $j<k$ , $(X^{k})^{(j)}(0)=0$ ,

donc $<X^{k},X^{p}>=(X^{k})^{(k)}({0})(X^{p})^{(k)}(0)$ . Comme $k<p$ , $\ (X^{p})^{(k)}(0)=0$ , donc $<X^{k},X^{p}>=0$ .

Donc la base canonique de $\mathbb{R}_{n}([X])$ est orthogonale pour ce produit scalaire.

Question 3 :

Pour tout $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$ , $||X^{k}||^{2}=(X^{k})^{(k)}(0))^{2}=(k!)^{2}$ , donc $\dfrac{1}{k!}X^{k}$ est de norme $1$ .

Donc $(1,X,\dfrac{1}{2!}{X^{2}},\dots,\dfrac{1}{n!}X^{n})$ est une base orthonormée de $E$ .

Pour tout $P$ de $E$ , on a: $P(X)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n} <P,\dfrac{1}{k!}X^{k}> \dfrac{1}{k!}X^{k}$ . Comme $(X^{k})^{j}(0)=0$ pour $j\neq k$ ,

$\ <P,X^{k}>=P^{(k)}(0)((X^{k})^{(k)}(0))=P^{(k)}(0)\times k!$ , donc $P(X)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P^{(k)}(0)\dfrac{1}{k!}X^{k}$ .

On retrouve l’expression de $P(X)$ obtenue à l’aide de la formule de Taylor pour les polynômes.

Exercice 5 : Base orthonormée de $\mathbb{R}^{3}$

Pour $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ appartenant à $\mathbb{R}^{3}$ , on pose:

$\varphi(x,y)$
= $x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}+x_{1}y_{2}$
+ $x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}$

Question 1 :

$\varphi(x,y)$ est de la forme $\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq3} a_{i,j}x_{i}y_{j}$ , donc $\varphi$ est bilinéaire et, si $X$ et $Y$ sont les matrices
(colonnes) de $x$ et $y$ dans la base canonique, $\varphi(x,y)=(^{t}X)AY$ où $A=\begin{pmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{pmatrix}$ .

La matrice $A$ est symétrique, donc $\varphi$ est symétrique.

Pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{3}$ ,

$\varphi(x,x)$
= $x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$
= $x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}$
+ $\left((x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\right)$
= $(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}$ ,

Donc $\varphi(x,x)\geq 0$ .

Si $\varphi(x,x)=0$ , alors $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, x_{2}=0$ et $x_{3}=0$ , donc $x=0$ .

Donc $\varphi$ est définie positive.

Donc $\varphi$ est un produit scalaire.

Question 2 :

La matrice de $<,>$ n’est pas diagonale: si $(e_{1},e_{2},e_{3})$ est la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ , on a par exemple $<e_{1},e_{2}>=1$ ;
donc la base canonique n’est pas orthogonale pour ce produit scalaire.