Chapitres Maths en ECS2
Corrigés d’exercices : Espaces vectoriels, matrices en ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Corrigés – Algèbre linéaire ECS2
Exercice 1 : Calcul de 
Soit a est un réel de , et
.
On note l’endomorphisme de
dont la matrice dans la base canonique
de
est
.
Question 1 :
Si comme
est libre,
,
,
,
donc . Donc,
est une famille libre. Cette famille a
éléments et
,
donc c’est une base de .
Les colonnes de sont les matrices de
,
,
dans
, donc
,
,
, donc
.
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Question 2 :
Par récurrence, pour ,
.
Question 3 :
;
. Si
,
,
, alors
,
,
, donc
.
Comme , pour
,
, ce qui donne:
=
Exercice 2 : Rang et base
On considère l’application :
,(
).
Question 1 :
L’application est linéaire, donc
est un sous-espace vectoriel de
, donc c’est
ou
.
Pour , la matrice
a pour trace
, donc
, donc
.
D’après le théorème du rang,
, donc
.
Question 2 :
On utilise la base canonique de
. Si
,
,
appartient à si et seulement si
, c’est-à-dire si et seulement si
La famille des ,
et
;
,
est donc une
famille génératrice de . Elle comporte
éléments. Donc, c’est une base de
.
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Exercice 3 : Les matrices telles que 
On note .
Alors , où pour tous
et
tels que
et
,
.
La matrice appartient à
et
=
=
Donc si et seulement tous les
sont nuls, c’est-à-dire si et seulement si
.
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