Chapitres Maths en ECS2
Corrigés : Introduction aux fonctions de n variables en ECS2
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Corrigés classiques – Fonctions de n variables
Exercice 1 :
On donne la fonction de dans définie par .
Question 1 :
La fonction est produit de et .
Les fonctions coordonnées et sont continues sur , à valeurs dans ,
et la fonction sinus est continue sur ,
donc les composées et sont continues sur , donc est continue sur .
Question 2 :
On a pour tous et réels , et
si et seulement si
ou ,
C’est-à-dire
, ,
ou
,.
si et seulement si
et
ou et ,
c’est-à-dire
, ,
ou
,.
Question 3 :
La ligne de niveau de est l’ensemble des points de coordonnées tels que
,
c’est-à-dire ou .
Donc c’est l’ensemble des points de coordonnées
, .
Si on trace, dans le plan rapporté à un repère orthonormé ,
les droites d’équation , , et les droites d’équation , ,
On obtient un quadrillage dont les sommets constituent la ligne de niveau de .
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Exercice 2 :
On considère la fonction définie par
.
Question 1 :
La fonction est rationnelle et définie sur puisque son dénominateur est toujours strictement positif,
Donc elle est continue sur .
Question 2 :
L’inégalité
donne ,
donc ,
et de même
,
d’où
.
Question 3 :
Si , on a ,
donc ,
donc .
De même,
si , .
Donc,
si , .
Réciproquement,
et .
Donc admet un maximum atteint en et en ,
et un minimum égal à atteint en et en .
Exercice 3 :
Soit une fonction continue sur .
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , si est le point de coordonnées , on notera .
Question 1 :
Le segment est l’ensemble des , .
On note la fonction qui à tout de associe .
On a : ;
les fonctions qui à associent et sont affines,
donc continues sur ,
et est continue sur ,
donc est continue sur .
Comme
et ,
il existe tel que .
Si , .
Question 2 :
La fonction qui à associe est continue sur , et , . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe , , tel que .
Le point de coordonnées appartient à la courbe , et .
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Exercice 4 :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé ,
on donne les points , ,
et on appelle le milieu de .
On considère la fonction qui à tout point associe ,
où .
Question 1 :
Par définition de ,
,
donc
.
Comme
,
on a bien
.
Question 2 :
est l’ensemble des points
tels que :
c’est la médiatrice de .
Elle a pour équation :
.
Question 3 :
L’équation de est
.
C’est une droite orthogonale au vecteur .
Soit le point d’intersection de et de ;
alors ,
, c’est-à-dire
,,
et appartient à
donc ,
soit .
Donc
,
et est la droite passant par , orthogonale à .
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