Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Espaces vectoriels, matrices en ECS2

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices – Rang et base, matrices commutantes et matrices de passage

Exercice 1 : Calcul de $M^{k}$

Soit a est un réel de $]0,1[$ , et $M=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 1-a & a& 0\\ 0&1-a &a\end{pmatrix}$ .

On note $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}_{0}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ de $\mathbb{R}^{3}$ est $M$ .

Question 1 :

Vérifier que la famille $\mathcal{B}=(e_{1}+e_{2}+e_{3},e_{3},e_{2})$ est une base de $\mathbb{R}^{3}$ et trouver la matrice de $f$ dans cette base; on la notera $C$ .

Question 2 :

Calculer, pour tout $k$ de $\mathbb{N}$ , $C^{k}$ .

Question 3 :

En déduire $M^{k}$ .

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Exercice 2 : Rang et base

On considère l’application :

$Tr: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ ,( $n\in \mathbb{N}^{*}$ ).

Question 1 :

Quel est le rang de cette application ?

Question 2 :

Donner une base du noyau de cette application.

Exercice 3 : Les matrices telles que $Tr(A(^{t}A))=0$

Trouver les matrices $A$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ( $n$ , $p \in \mathbb{N}^{*}$ ) telles que $Tr(A(^{t}A))=0$ .

Exercice 4 : Matrices commutantes

On donne la matrice $P=\begin{pmatrix} 2& 3& 0\\ 1& 1& 1\\ -2& -2& -1 \end{pmatrix}$ . On note $\mathcal{B}_{0}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ .

Question 1 :

Montrer que la matrice $P$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{B}_{0}$ à une base $\mathcal{B}$ que l’on précisera.

Question 2 :

Calculer $P^{-1}$ .

Question 3 :

Soit $A=\begin{pmatrix} 8& 18& 18\\ 3& 13& 10\\ -6& -20& -17 \end{pmatrix}$ et $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ canoniquement associé.

Trouver la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ . On notera $D$ cette matrice.

Question 4 :

Trouver l’ensemble $\mathcal{C}(D)$ des matrices qui commutent avec $D$ .

Question 5 :

En déduire l’ensemble $\mathcal{C}(A)$ des matrices qui commutent avec $A$ .

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Exercice 5 : Matrices semblables

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix} 1& -12& 2 \\ 1& 1& 1 \\ 4& 8& 3 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -1& 0& 0 \\ 0& 3& 1 \\ 0& 0& 3 \end{pmatrix}$
$A$ et $B$ sont-elles semblables ? Répondez à la question en justifiant votre réponse.

Exercice 6 : Matrices de passage

Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ , l’espace vectoriel $R_{n}[X]$ des polynômes à coefficients réels de degré au plus $n$ est muni de la base canonique
$\mathcal{B}=(1,X,\dots,X^{n})$ .