Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Variable aléatoire réelle symétrique

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECS2

Couples et n-uplets de variables aléatoires réelles : cas général

Exercice 1 :

$X$ et $Y$ sont deux v.a.r. indépendantes définies sur le même espace probabilisé. $X$ suit la loi normale centrée réduite, on notera $\phi$ sa fonction de répartition et $\varphi$ sa densité continue sur $\mathbb{R}$ . $Y$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$ .

On pose $T=X+Y$ .

Question 1 :

Justifier l’existence de $f_{X}*f_ {Y}(x)$ pour tout $x$ réel, et calculer $f_{X}*f_{Y}(x)$ .

Question 2 :

Montrer que $x(\phi(x)-\phi(x-1))$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou quand $x$ tend vers $-\infty$ .

Question 3 :

On pose $h=f_{X}*f_{Y}$ . Vérifier que $h$ est une densité de probabilité. Donner la loi de $T$ .

La loi de $g(X_{1},\dots,X_{n})$ dépend de la loi du n-uplet $(X_{1},\dots,X_{n})$ : si $g$ est une fonction continue de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$ et si $(X_{1},\dots,X_{n})$ et $(Y_{1},\dots,Y_{n})$ ont même loi, $g(X_{1},\dots,X_{n})$ et $g(Y_{1},\dots,Y_{n})$ ont même loi.

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Exercice 2 :

On considère une suite $(X_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ de v.a.r. indépendantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre $p$ , $p\in ]0,1[$ .

Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ , on pose $Y_{n}=X_{n}+X_{n+1}$ .

Question 1 :

Trouver la loi de $Y_{n}$ , son espérance et sa variance.

Question 2 :

On pose, pour $n\geq 2$ , $T_{n}=\dfrac{1}{n}(Y_{1}+\dots+Y_{n})$ . Trouver l’espérance et la variance de $T_{n}$ .

Exercice 3 :

Une v.a.r. définie sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ est symétrique si pour tout $x$ réel, $\mathbb{P}([X < x])=\mathbb{P}([X > -x])$ .

Question 1 :

Donner un exemple d’une v.a.r. symétrique.

Question 2 :

Si $X$ est symétrique et admet une densité $f$ continue sur $\mathbb{R}$ , que peut-on dire de la courbe de $f$ ?
Quelle est alors la loi de $-X$ ? Si $X$ admet une espérance, que vaut $\mathbb{E}(X)$ ?

Question 3 :

Soient $X$ et $Y$ deux v.a.r. à densité définies sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , symétriques et indépendantes.

Montrer que $X+Y$ et $X-Y$ suivent la même loi.

Est-ce encore vrai si $X$ et $Y$ ne sont plus supposées indépendantes ?

Exercice 4 :

$X_{1},\dots,X_{n}$ , $n\geq 2$ , sont des v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, de fonctions de répartition $F_{1},\dots,F_{n}$ .

On définit les v.a.r. $V_{n}$ et $U_{n}$ par $V_{n}=\textrm{sup}(X_{1},\dots,X_{n})$ et $U_{n}=\textrm{inf}(X_{1},\dots,X_{n})$ .

Question 1 :

Trouver la loi de $V_{n}$ , celle de $U_{n}$ .

Question 2 :

Montrer que si $X_{1},\dots,X_{n}$ sont à densité, $V_{n}$ et $U_{n}$ sont à densité.

Trouver les lois de $V_{n}$ et $U_{n}$ quand $X_{1},\dots,X_{n}$ suivent des lois exponentielles de paramètres $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ .

Question 3 :

On suppose dans cette question $n=2$ , $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent des lois exponentielles de paramètres $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ .

(i) Trouver la loi de $|X_{1}-X_{2}|$ .

(ii) Trouver la loi de $V_{2}-U_{2}$ .

(iii) Que deviennent ces résultats si $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda$ ?

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Exercice 5 :

$X$ est une v.a.r. qui suit la loi normale centrée réduite, $Y$ est définie sur le même espace probabilisé que $X$ et suit une loi uniforme sur $\{-1,1\}$ . $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Question 1 :

On pose $Z=XY$ . Quelle est la loi de $Z$ ?

Question 2 :

Trouver une densité $g$ de $X^{2}$ .

Question 3 :

On pose $T=XZ=X^{2}Y$ .

(i) Montrer que $T$ admet une densité, que l’on exprimera en fonction de $g$ .

(ii) Montrer que $T$ admet une espérance, en donner la valeur.

(iii) Que vaut $\textrm{cov}(X,Z)$ ? $X$ et $Z$ sont-elles indépendantes ?

Exercice 6 :

Une urne contient $N$ boules, noires et blanches. La proportion de boules blanches est $p$ , $(0 < p < 1)$ , les boules blanches sont numérotées de $1$ à $Np$ .

On tire $n$ boules de l’urne, sans remise. $X$ désigne le nombre de boules blanches obtenues.

Pour $1\leq i\leq Np$ , on note $T_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur $1$ si la boule blanche numéro $i$ fait partie des boules tirées, la valeur $0$ sinon.

Question 1 :

Trouver la loi de $T_{i}$ , $1\leq i\leq Np$ . Donner son espérance et sa variance.

Question 2 :

Exprimer $X$ à l’aide des $T_{i}$ , $1\leq i\leq Np$ . En déduire l’espérance de $X$ .

Question 3 :

Calculer, pour $1\leq i,j\leq Np$ , $\textrm{cov}(T_{i},T_{j})$ .

Question 4 :

Calculer la variance de $X$ .

Question 5 :

Trouver la loi de $X$ (On dit que $X$ suit une loi hypergéométrique de paramètre $(N,n,p)$ ).

Question 6 :

Si on tire successivement avec remise $n$ boules de l’urne, si $Y$ désigne le nombre de boules blanches obtenues, quelle est la loi de $Y$ ?
Donner l’espérance et la variance de $Y$ , et les comparer à celles de $X$ .

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