Chapitres Maths en ECS2
Exercices : Variable aléatoire réelle symétrique
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECS2
Couples et n-uplets de variables aléatoires réelles : cas général
Exercice 1 :
et
sont deux v.a.r. indépendantes définies sur le même espace probabilisé.
suit la loi normale centrée réduite, on notera
sa fonction de répartition et
sa densité continue sur
.
suit la loi uniforme sur
.
On pose .
Question 1 :
Justifier l’existence de pour tout
réel, et calculer
.
Question 2 :
Montrer que tend vers
quand
tend vers
ou quand
tend vers
.
Question 3 :
On pose . Vérifier que
est une densité de probabilité. Donner la loi de
.
La loi de dépend de la loi du n-uplet
: si
est une fonction continue de
dans
et si
et
ont même loi,
et
ont même loi.
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Exercice 2 :
On considère une suite de v.a.r. indépendantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre
,
.
Pour , on pose
.
Question 1 :
Trouver la loi de , son espérance et sa variance.
Question 2 :
On pose, pour ,
. Trouver l’espérance et la variance de
.
Exercice 3 :
Une v.a.r. définie sur est symétrique si pour tout
réel,
.
Question 1 :
Donner un exemple d’une v.a.r. symétrique.
Question 2 :
Si est symétrique et admet une densité
continue sur
, que peut-on dire de la courbe de
?
Quelle est alors la loi de ? Si
admet une espérance, que vaut
?
Question 3 :
Soient et
deux v.a.r. à densité définies sur
, symétriques et indépendantes.
Montrer que et
suivent la même loi.
Est-ce encore vrai si et
ne sont plus supposées indépendantes ?
Exercice 4 :
,
, sont des v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, de fonctions de répartition
.
On définit les v.a.r. et
par
et
.
Question 1 :
Trouver la loi de , celle de
.
Question 2 :
Montrer que si sont à densité,
et
sont à densité.
Trouver les lois de et
quand
suivent des lois exponentielles de paramètres
.
Question 3 :
On suppose dans cette question ,
et
suivent des lois exponentielles de paramètres
et
.
(i) Trouver la loi de .
(ii) Trouver la loi de .
(iii) Que deviennent ces résultats si ?
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Exercice 5 :
est une v.a.r. qui suit la loi normale centrée réduite,
est définie sur le même espace probabilisé que
et suit une loi uniforme sur
.
et
sont indépendantes.
Question 1 :
On pose . Quelle est la loi de
?
Question 2 :
Trouver une densité de
.
Question 3 :
On pose .
(i) Montrer que admet une densité, que l’on exprimera en fonction de
.
(ii) Montrer que admet une espérance, en donner la valeur.
(iii) Que vaut ?
et
sont-elles indépendantes ?
Exercice 6 :
Une urne contient boules, noires et blanches. La proportion de boules blanches est
,
, les boules blanches sont numérotées de
à
.
On tire boules de l’urne, sans remise.
désigne le nombre de boules blanches obtenues.
Pour , on note
la variable aléatoire qui prend la valeur
si la boule blanche numéro
fait partie des boules tirées, la valeur
sinon.
Question 1 :
Trouver la loi de ,
. Donner son espérance et sa variance.
Question 2 :
Exprimer à l’aide des
,
. En déduire l’espérance de
.
Question 3 :
Calculer, pour ,
.
Question 4 :
Calculer la variance de .
Question 5 :
Trouver la loi de (On dit que
suit une loi hypergéométrique de paramètre
).
Question 6 :
Si on tire successivement avec remise boules de l’urne, si
désigne le nombre de boules blanches obtenues, quelle est la loi de
?
Donner l’espérance et la variance de , et les comparer à celles de
.
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