Chapitres Maths en ECS2
Exercices : Introduction aux fonctions de n variables en ECS2
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Cours en ligne de Maths en ECS2
Exercices – Introduction aux fonctions de n variables
Exercice 1 :
On donne la fonction de
dans
définie par
.
Question 1 :
Montrer que est continue sur
.
Question 2 :
Montrer que admet un maximum et un minimum sur
, et préciser en quels points ils sont atteints.
Question 3 :
Quelle est la ligne de niveau de
?
Exercice 2 :
On considère la fonction définie par
.
Question 1 :
Montrer que est continue sur
.
Question 2 :
Montrer que, pour tous réels ,
(on pourra remarquer que, pour tout
réel,
).
Question 3 :
Montrer que si et seulement si
. Trouver les extrema de
et dire en quels ils sont atteints.
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Exercice 3 :
Soit une fonction continue sur
.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , si
est le point de coordonnées
, on notera
.
Question 1 :
Soient et
deux points du plan tels que
et
.
Montrer qu’il existe un point de
tel que
.
Question 2 :
Soit une fonction définie sur
à valeurs réelles, continue sur
; on appelle
sa courbe représentative.
Montrer que si et
sont deux points de
de coordonnées
et
tels que
et
, il existe un point
de
, d’abscisse
, tel que:
et
.
Exercice 4 :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on donne les points
,
, et on appelle
le milieu de
.
On considère la fonction qui à tout point
associe
, où
.
Question 1 :
Calculer , et montrer que
.
Question 2 :
Quelle est la ligne de niveau de
? On la notera
.
Question 3 :
Donner, pour tout réel, l’équation de la ligne de niveau
de
, que l’on notera
.
Préciser la direction de , et son intersection avec la droite
.
Exercice 5 :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on donne
points (
,
deux à deux distincts, et pour
, on note
les coordonnées de
.
On considère la fonction qui à tout couple
associe
.
On notera le point de coordonnées
, et on pourra donc écrire
.
Question 1 :
Montrer que est continue sur
.
La fonction est-elle majorée ? minorée ?
Question 2 :
Comment peut-on interpréter géométriquement ?
Question 3 :
On suppose dans cette question .
(i) Montrer que admet un minimum, atteint en un unique point de
.
(ii) Pour tout réel , quelle est la ligne de niveau
de
(on la notera
) ?
Question 4 :
On suppose dans cette question , on note
le milieu du segment
et on pose
.
(i) En utilisant les vecteurs ,
et
, exprimer
à l’aide de
,
et
.
(ii) Montrer que admet un minimum et préciser en quel(s) point(s) il est atteint.
(iii) Pour tout réel , quelle est la ligne de niveau
de
?
Question 5 :
On se place dans le cas général .
(i) Montrer que admet un minimum atteint en un unique point
dont on donnera les coordonnées.
(ii) Trouver, pour tout réel , la ligne de niveau
de
.
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Exercice 6 :
.
Question 1 :
Tracer la ligne de niveau de
dans le plan rapporté à un repère orthonormé
.
Question 2 :
Quels sont les points de coordonnées
tels que
(resp.
) ?
Question 3 :
(i) Soit un point distinct de
.
Montrer qu’il existe et
tels que
et
.
(ii) Calculer .
(iii) En déduire, pour tout point ,
. Pour quels points
a-t-on égalité dans cette inégalité ?
(iv) Montrer que admet un maximum quand
décrit
et dire en quel(s) point(s) ce maximum est atteint.
Question 4 :
En déduire que admet un maximum sur
et préciser en quels points ce maximum est atteint.
Pour être parfaitement à jour sur ses connaissances de maths en ECS2, plusieurs cours sont à réviser en parallèle de celui-ci :