Chapitres Maths en ECS2

Exercices : Introduction aux fonctions de n variables en ECS2

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Cours en ligne de Maths en ECS2

Exercices – Introduction aux fonctions de n variables

Exercice 1 :

On donne la fonction $f$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x,y)=\sin(x)\sin(y)$ .

Question 1 :

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Question 2 :

Montrer que $f$ admet un maximum et un minimum sur $\mathbb{R}^{2}$ , et préciser en quels points ils sont atteints.

Question 3 :

Quelle est la ligne de niveau $0$ de $f$ ?

Exercice 2 :

On considère la fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x,y)=\dfrac{xy}{(1+x^{2})(1+y^{2})}$ .

Question 1 :

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Question 2 :

Montrer que, pour tous réels $x,y$ , $|f(x,y)|\leq\dfrac{1}{4}$ (on pourra remarquer que, pour tout $x$ réel, $(|x|-1)^{2}\geq 0$ ).

Question 3 :

Montrer que $|f(x,y)|=\dfrac{1}{4}$ si et seulement si $|x|=|y|=1$ . Trouver les extrema de $f$ et dire en quels ils sont atteints.

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Exercice 3 :

Soit $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec {i},\vec{j})$ , si $M$ est le point de coordonnées $(x,y)$ , on notera $M=(x,y)$ .

Question 1 :

Soient $A=(a,a')$ et $B=(b,b')$ deux points du plan tels que $f(A)>0$ et $f(B)<0$ .
Montrer qu’il existe un point $T$ de $[AB]$ tel que $f(T)=0$ .

Question 2 :

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs réelles, continue sur $\mathbb{R}$ ; on appelle $(C)$ sa courbe représentative.

Montrer que si $H$ et $K$ sont deux points de $(C)$ de coordonnées $(h,h')$ et $(k,k')$ tels que $f(H)>0$ et $f(K) < 0$ , il existe un point $R$ de $(C)$ , d’abscisse $r$ , tel que: $h < r < k$ et $f(R)=0$ .

Exercice 4 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,e_{1},e_{2})$ , on donne les points $A=(a_{1},a_{2})$ , $B=(b_{1},b_{2})$ , et on appelle $I$ le milieu de $[AB]$ .

On considère la fonction $f$ qui à tout point $M=(x,y)$ associe $f(M)$ , où $f(M)=d(M,A)^{2}-d(M,B)^{2}$ .

Question 1 :

Calculer $f(x,y)$ , et montrer que $f(M)=2 < \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IM} >$ .

Question 2 :

Quelle est la ligne de niveau $0$ de $f$ ? On la notera $\Delta_{0}$ .

Question 3 :

Donner, pour tout $k$ réel, l’équation de la ligne de niveau $k$ de $f$ , que l’on notera $\Delta_{k}$ .

Préciser la direction de $\Delta_{k}$ , et son intersection avec la droite $(AB)$ .

Exercice 5 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,e_{1},e_{2})$ , on donne $n$ points ( $n\geq 2)$ , $A_{1},\dots,A_{n}$ deux à deux distincts, et pour $1\leq i\leq n$ , on note $(a_{i},b_{i})$ les coordonnées de $A_{i}$ .

On considère la fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ qui à tout couple $(x,y)$ associe $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left( (x-a_{i})^{2}+(y-b_{i})^{2} \right)$ .

On notera $M$ le point de coordonnées $(x,y)$ , et on pourra donc écrire $f(x,y)=f(M)$ .

Question 1 :

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ .

La fonction $f$ est-elle majorée ? minorée ?

Question 2 :

Comment peut-on interpréter géométriquement $f(M)$ ?

Question 3 :

On suppose dans cette question $n=1$ .

(i) Montrer que $f$ admet un minimum, atteint en un unique point de $\mathbb{R}^{2}$ .

(ii) Pour tout réel $k$ , quelle est la ligne de niveau $k$ de $f$ (on la notera $L_{k}(f)$ ) ?

Question 4 :

On suppose dans cette question $n=2$ , on note $I$ le milieu du segment $[A_{1}A_{2}]$ et on pose $l=d(A_{1},A_{2})$ .

(i) En utilisant les vecteurs $\overrightarrow{MI}$ , $\overrightarrow{IA_{1}}$ et $\overrightarrow{IA_{2}}$ , exprimer $f(M)$ à l’aide de $M$ , $I$ et $l$ .